空間兩條直線的位置關(guān)系

1、空間兩條直線的位置關(guān)系知識點一 空間兩條直線的位置關(guān)系1異面直線 定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩直線叫做異面直線。 特點：既不相交，也不平行。理解：“不同在任何一個平面內(nèi)”，指這兩條直線永不具備確定平面的條件，因此，異面直線既不相交，也不平行，要注意把握異面直線的不共面性。“不同在任”也可以理解為“任何一個平面都不可能同時經(jīng)過這兩條直線”。不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線也就是說，在兩個不同平面內(nèi)的直線，它們既可以是平行直線，也可以是相交直線2空間兩條直線的位置關(guān)系 相交在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點； 異面不同在任何個平面內(nèi)，沒有公共

2、點例1、正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論： 直線AM與CC1是相交直線； 直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線； 直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)答案：例2、異面直線是指_ 空間中兩條不相交的直線； 分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線； 平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線；不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線變式1、一個正方體中共有對異面直線知識點二 平行直線1公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.abbcÞac符號表示： ABCDB11A1C1B1D1ABCDEF

3、2等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等. 例3、如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分別為AB、BC的中點，求證：EFA1C1.ABCDEFGHABCDEFGH折疊變式1、如圖E、F、G、H是平面四邊形ABCD四邊中點，四邊形EFGH的形狀是平行四邊形嗎？為什么？如果將ABCD沿著對角線BD折起就形成空間四邊形ABCD，那么四邊形EFGH的形狀還是平行四邊形嗎？E1EA1C1B1D1ABCD1例4、如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分別為A1D1、AD的中點，求證：C1E1B1=CEB知識點三 異面直線1、 異面直

4、線的畫法：為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強直觀性，如下圖(l)，若畫成如下圖(2)的情形，就分不開了，千萬不能畫成(2)的圖形。畫平面襯托時，通常畫成下圖中的情形。2、異面直線的判定異面直線判定定理：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線 判定兩條直線為異面直線的常用方法有：定義法：不同在任一平面內(nèi)的兩條直線定理法：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線 推論法：一條異面直線上兩點與另一條異面直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線 反證法：反證法是證明立體幾何問題的一種重要方法，證明步驟有

5、三步：一是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；二是由此假設(shè)推出與題目條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾結(jié)果；三是推翻假設(shè)，從而肯定與假設(shè)相反的結(jié)論，即命題的結(jié)論成立，3、異面直線所成的角 a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線aa，b /b，直線a和b 所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角如下圖所示異面直線所成角的范圍是0°<90°； (2)為了求異面直線a，b所成的角，可以在空間中任取一點O，為了簡便，點O常常取這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點或異面直線連線中點，也可以是異面直線中某一條上的一個特殊點. 將這個角放入某個三角形中計

6、算這個角的大小，若該三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小. (3)我們規(guī)定：兩條平行直線所成的角為0°角，兩條相交直線所成的角為這兩條相交直線所成的四個角中的銳角（或直角），因此在空間中的兩條直線所成的角的范圍為(0°，90°；特別地，若兩異面直線所成角為90°，則稱兩異面直線互相垂直； (4)求異面直線所成角的一般步驟是： 構(gòu)造恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點，用平移法構(gòu)造異面直線所成的角 證明 證明中所作出的角就是所求異面直線所成的角， 計算通過解三角形（常用余弦定理）等知識，求中所構(gòu)造的角的大小，結(jié)論假如所構(gòu)造的角的大小為，若0°

7、<90°，則即為所求異面直線所成角的大?。蝗?0°<<180°，則180°即為所求。例5、已知平面，直線直線，求證：直線a和b是異面直線例6、如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點，問： (1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由解：(1)不是異面直線理由如下：M、N分別是A1B1、B1C1的中點，MNA1C1.又A1AD1D，而D1DC1C，A1AC1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，得到MNAC，A，M，N，C在同一個平面內(nèi)，故AM和CN

8、不是異面直線(2)是異面直線理由如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個平面D1CC1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1，BC平面CC1D1，這與BC是正方體的棱相矛盾，假例7、如圖21218，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點P，Aa，Ba，Cb，Dc，求證：AD和BC是異面直線 證法一：（反證法）：假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為，那么點P、A、B、C、D都在平面內(nèi)， 直線a、b、c都在平面內(nèi)，與已知條件a、b、c不共面相矛盾 AD與BC是異面直線 證法二：（直接用判定定理）： acP， a和c確定一個平面，設(shè)為，巳知CÏ平面，B平面，ADÌ平面，BÏAD

9、， AD和BC是異面直線 變式1、 如圖21219，a，b是異面直線，A、Ba，C、Db，E、F分別為線段AC和BD的中點，判斷直線EF和a的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論答案：EF和a是異面直線，可用反證法證明例8、正方體ACl中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1Cl的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大小。變式1、空間四邊形ABCD中，E、F分別是對角線BD、AC的中點，若BCAD2EF，求直線EF與直線AD所成的角。 例9、直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于A30° B45° C60° D90°解：C變式1、已知空間四邊形ABCD各邊長相等，求異面直線

10、AB和CD所成 的角的大小.解：異面直線AB、CD成90°角.鞏固練習(xí)：一、 判斷題1. 若三條直線兩兩平行，則這三條直線必共面 ( )2. 互不平行的兩條直線是異面直線 ( )二、 單選題1. 關(guān)于異面直線，有下列3個命題：分別在兩個不同平面內(nèi)的兩直線是異面直線平面內(nèi)的一直線與平面外的一直線是異面直線都不在某一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線其中真命題的個數(shù)是A0 B1 C2 D32. 直線a、b是兩條異面直線，A、B與C、D分別為直線a、b上不同的點，則直線AC與BD的關(guān)系是A可能相交 B可能平行 C異面 D相交或異面3. 兩條異面直線指的是A在空間不相交的兩條直線 B分別位于兩個不同

11、平面內(nèi)的兩條直線C一個平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線 D不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線4. 下列命題中，真命題的是A兩兩相交的三條直線共面 B兩兩相交且不共點的四條直線共面C不共面的四點中可以有三點共線 D邊長相等的四邊形一定是菱形5. 空間兩條互相平行的直線，指的是A在空間沒有公共點的兩條直線B分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線C位于同一平面內(nèi)且沒有公共點的兩條直線D分別與第三條直線成等角的兩條直線6. 平面M、N相交于EF，分別在平面M、N內(nèi)作EAC=FBD，則AC和BD的關(guān)系是A異面 B平行 C相交 D不確定7. 直線a和b是異面直線，直線ca，那么b與cA異面 B不異面 C相交 D

12、異面或相交8. 如果一條直線和兩條異面直線都相交，那么它們可確定A4個平面 B3個平面C2個平面 D1個平面9. 若m和n是異面直線，n和l也是異面直線，則A當(dāng)ml=時，m與l異面 Bml=C當(dāng)m與l共面時，ml Dm與l相交、異面、平行都可能10若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則()A過點P有且僅有一條直線與l、m都平行B過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直C過點P有且僅有一條直線與l、m都相交D過點P有且僅有一條直線與l、m都異面11過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A1條 B2條 C3條 D4條三、 填

13、空題1. “直線a、b異面”的否定說法是“_”2. 不平行的兩條直線的位置關(guān)系是_3. “直線a、b相交”的否定說法是“_”4. 過已知直線外一點，可以作_條直線與已知直線垂直5. 分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是_6. 已知直線a和b是異面直線，直線c和a平行而不和b相交，則c和b的位置關(guān)系是_7. 直線a、b確定一個平面，則a、b的位置關(guān)系是_8. “直線a、b異面”還可以說成“直線a、b既不_，又不_”9. 空間有三條直線a、b、c，如果ba，ca，那么直線b、c的位置關(guān)系是_10. 和兩條異面直線中的一條相交的直線與另一條直線的位置關(guān)系是_11. 已知直線a、b、c滿足ab，b與

14、c是異面直線，則a與c的位置關(guān)系是_12. 正方體ABCDA1B1C1D1中，與側(cè)面對角線AD1成異面直線的棱共有_條，它們分別是_13. 正方體ABCDA1B1C1D1中，與棱AB成異面直線的棱共有_條，它們分別是_14. 正方體的12條棱中，互為異面直線的有_對.答案一、 判斷題1. ×2. ×二、 單選題1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10.B 11.D三、 填空題1. a、b共面 2. 相交或異面 3. a、b不相交或a、b無公共點4. 無數(shù) 5. 平行或相交或異面 6. 異面 7. 相交或平行 8. 相交，

15、平行9. 平行或相交或異面 10. 相交或平行或異面 11. 相交或異面12. 6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B1 13. 4；A1D1，B1C1，CC1，DD114. 24空間兩條直線的位置關(guān)系1. 已知直線都在平面外, 則下列推斷錯誤的是（ ）A BC D【答案】C2. 已知直線l平面，P，那么過點P且平行于l的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B只有一條，在平面內(nèi)C有兩條，不一定都在平面內(nèi)D有無數(shù)條，不一定都在平面內(nèi)【答案】B3. 下列命題正確的是（ ）A若兩條直線與同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面C若一

16、條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C4. 下列四個條件中,能確定一個平面的是（ ）A. 一條直線和一個點 B.空間兩條直線C. 空間任意三點 D.兩條平行直線【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根筆直的鋼管,則在地面上必存在直線與鋼管所在的直線()A.平行 B.相交 C.異面 D.垂直【答案】D6. 平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系（ ）A平行 B相交 C異面 D平行、相交或異面【答案】D7. 下列命題中，錯誤的是()A三角形的兩條邊平行一個平面，則第三邊也平行于這個平面B平面 平面，a，過內(nèi)的一點B有惟一的一

17、條直線b，使ba.C，、的交線為a、b、c、d，則abcd.D一條直線與兩個平面所成角相等，則這兩個平面平行【答案】D8. 直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）A內(nèi)所有直線與異面 B內(nèi)不存在與平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與平行 D內(nèi)的直線與都相交【答案】B9. 正三棱錐P-ABC的高為2，側(cè)棱與底面所成的角為450，則點A到側(cè)面PBC的距離是（ ）A. B. C. D.【答案】D10. 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（ ）A B C D【答案】D11. 已知直線，平面，且，給出下列四個命題：若，則；

18、若，則；若，則；若，則其中真命題的個數(shù)為( )A1 B2 C3 D4【答案】B12. 設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不重合的平面，給定下列四個命題：若，則； 若，則；若，則； 若，則其中真命題的是（ ）A和 B和 C和 D和【答案】B13. 如圖，在正四棱柱中，分別是，的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（ ）ABCFA與垂直B與垂直 C與異面D與異面【答案】D14. 異面直線a、b，ab，c與a成30°角，則c與b成角的范圍是( )A. B. C. D. 【答案】A15. 在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成的角的大小（ ）ABCD【答案】D16. 已知空間直角坐標(biāo)系中，

19、O為原點，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）則經(jīng)過O、A、B、C四點的球的體積為（ ）ABCD【答案】17. 設(shè)m,n是兩條不同直線,是兩個不同的平面,給出下列四個命題若若若其中正確的命題是( )A.B.C.D.【答案】D18. 已知直線和平面，（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D19. 在下列條件下，可判斷平面與平面平行的是（ ）A. 、都垂直于平面B. 內(nèi)不共線的三個點到的距離相等C. l,m是內(nèi)兩條直線且l,mD. l,m是異面直線,且l,m,l,m 【答案】D20. 設(shè)是空間兩條不同直線，是空間兩個不同平面，當(dāng)時,下列命題正確的是A若，則 B若，則C若，則

20、 D若，則【答案】C21. 已知直線、,平面，則下列命題中：若，,則 若，,則若，,則 若，, ,則，其中真命題有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個【答案】B22. 如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，如圖2所示，那么，在四面體AEFH中必有()AAHEFH所在平面 BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面 DHGAEF所在平面【答案】A23. 如圖，平行四邊形ABCD中，ABBD，沿BD將ABD折起，使面ABD面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，

21、互相垂直的平面的對數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C24. 棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N分別在線段AB1,BC1上,且AM=BN,給出以下結(jié)論:AA1MN 異面直線AB1,BC1所成的角為60° 四面體B1-D1CA的體積為A1CAB1,A1CBC1,其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A4 B3C2D1【答案】A 25. 已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關(guān)系是()A平行 B垂直 C斜交 D不能確定【答案】B26. 已知兩個不重合的平面，給定以下條件：內(nèi)不共線的三點到的距離相等；是內(nèi)的兩條直線，且；是兩條異面

22、直線，且；其中可以判定的是 （ ）A B C D【答案】D27. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，ABBC，CDDA，E、F、G分別為CD、DA和AC的中點求證：平面BEF平面BGD.【答案】ABBC，CDAD，G是AC的中點，BGAC，DGAC.AC平面BGD.又EFAC，EF平面BGD.又EF？平面BEF，平面BDG平面BEF. 28. 已知三條不重合的直線，兩個不重合的平面，有下列命題：若，且，則 若，且，則若，則 若，則其中真命題的個數(shù)是（ ）A4 B3 C2 D1【答案】C29. 若M、N分別是ABC邊AB、AC的中點，MN與過直線BC的平面的位置關(guān)系是（ ）A.MN B.MN與相交或MN C. MN或MN D. MN或MN與相交或MN【答案】C30. 空間三條直線互相平行,由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個