矩陣的初等變換在向量空間中的應用

1、矩陣的初等變換在向量空間中的應用 摘 要：向量貫穿了整個高等代數(shù)的學習。本文主要談論了向量空間的一些核心問題，輔以不同的解法，通過對比，顯示出矩陣的初等變換在向量空間中的重要作用，體現(xiàn)出用矩陣解向量空間中問題的優(yōu)越性。關鍵詞：矩陣的初等變換；線性相關；線性無關Abstract：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined with a differ

2、ent solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority.Key words：Elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent1 相關定理及問題的引出設定義1.1 維向量：數(shù)域中n個數(shù)組成的有序數(shù)組定義1.

3、2 維向量空間：以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間。維向量空間表面上看是一個非常陌生的概念，其實質(zhì)只不過是由很多個維向量作為小單元，并且這些向量對于定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法滿足封閉性，即若，,具有這樣性質(zhì)的向量構(gòu)成的向量組。故對于向量空間有關問題的討論，應該從向量組出發(fā)。之所以向量空間讓我們感覺變化多端，關鍵在于這些向量對于定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法滿足封閉性。向量空間的理論的核心問題是向量間的線性關系,其主要內(nèi)容有向量的線性表示、向量組的線性相關性、向量組的極大無關組、兩個向量組的等價、向量空間的基與維數(shù)、一個基到另

4、一個基的過渡矩陣和線性變換等。在向量空間中主要研究的是數(shù)域上的維空間,因此在中解決上述問題成為學習的關鍵。通常這些問題都是轉(zhuǎn)化為線性方程組或齊次線性方程組來解決的。本文給出了多種解決這些問題的方法，更重要的是給出了利用矩陣的初等變換來解決的統(tǒng)一方法。在對比中，我們可以很容易的感覺到矩陣在解決向量空間有關問題的重要作用與優(yōu)越性。定理1.11 一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個r級子式不為零，同時所有r+1級子式全為零。定理1.21 級矩陣為可逆的充分必要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積。定理1.32 設可以經(jīng)過初等行變換化為,則與的列向量有完全相同的線性關系。即當且僅當，其中分別為A,

5、B的列向量。 定理1.41 一個向量組的任何一個線性無關組都可以擴充成一極大線性無關組。 定理1.53 設是n維向量，是以為列向量的矩陣，將經(jīng)過行的初等變換得到階梯形，則階梯“角”所對應的列向量構(gòu)成一個最大無關組。 若是數(shù)域P上一個矩陣，。不妨設的前r行r列構(gòu)成的r階子式不為零，則將分塊為，那么僅對的行施行初等變換可以得到標準形，其中為以r個單位向量作列構(gòu)成的單位矩陣。記，則由基本定理三可知，則與具有相同的線性關系，而B的列向量的線性關系可以直接看出。2 判斷一個向量是否可由一組向量線性表出2.1 定義法如果向量組，(2)線性相關的充分必要條件是，中的某一個向量是其余向量的線性組合2.2 利用

6、系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩 線性方程組有解判別定理：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的的秩。若判斷是否可以被一組向量，線性表出，其中（，）（i=1、2、）。設線性方程組為 于是線性方程足可以改寫成向量方程 顯然，若可以表示成向量組，的線性組合的充要條件為線性方程組有解。又由有解判別定理和充要條件的等價性可知，可以表示成向量組，的線性組合的充要條件為 特別，若當為零向量時，則恒成立，即始終存在零解，有，即可由向量組，線性表出。2.3 利用矩陣的初等行變換設，,其中。若可由B的列向量線性表出，當且僅當可由B的前r個列向量線性表出，此時必有且，又由基本定理三知，。例1 判斷向量

7、是否可以由向量線性表出，其中，解法一：將作列，構(gòu)成矩陣所以可以由線性表出，且解法二：設，分別寫出系數(shù)矩陣和增廣矩陣，利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來判斷，矩陣的初等變換同解法一。例2 判斷向量可否由向量組，線性表出。解：作矩陣，下面對A作初等行變換，若可以化最后一行的元素全部為零，則可由線性表出。具體思想見例3。即可由線性表出。3. 判斷中向量組的線性相關性3.1 定義法對于向量組稱為線性相關，如果有數(shù)域P中不全為零的數(shù) ，使，否則線性無關。3.2 拉長縮短法若n維向量組，線性相關，把每個向量的維數(shù)減少后，得到的新的向量組仍線性相關。3.3 增加法若向量組，線性相關，則增加向量的個數(shù)構(gòu)成的新的向量

8、組，也線性相關。3.4 行列式法若向量的個數(shù)與維數(shù)相同，即有n個n維列向量，令為n階方陣，則：（1） 當時，向量組線性無關；（2） 當時，向量組線性相關。3.5 利用矩陣的秩判別設有個維列向量組，記，則可利用矩陣A的秩判斷向量組的線性相關性，即：（1） 當rank(A)= 時，向量組線性無關；（2） 當rank(A)< 時，向量組線性相關。3.6 利用維數(shù)與向量的個數(shù)判斷m個n維向量組成的向量組，當維數(shù)小于向量個數(shù)時一定線性相關。3.7 利用向量組間的關系判斷若向量組可由線性表出，且，則線性相關。3.8 利用初等變換判斷設向量組，作矩陣，若線性相關，則可以使用矩陣的行初等變換把矩陣A的其

9、中一行元素全部化為0.事實上，由于線性相關，因此存在一組不全為零的數(shù)使，這時只要把矩陣A的第一行、第二行、.、第r行分別乘上在全部加入最后一行，即可使A的最后一行全部化為0.例3討論向量組的線性相關性。解法一：定義法。假定,即：求解方程組解得：故：向量組線性無關。解法二：拉長縮短法。對向量組刪去第4第5個分量成為新的分量組。由于行列式。向量組線性無關，則拉長后的向量組也線性無關。解法三：利用矩陣的秩rank(A)=3=m=3，故向量組線性無關。例4 設向量組，求不全為零的實數(shù)a,b,c,使。解：做矩陣，下面對A施行行初等變換：因此，。特別的，也可以利用此法判斷一個向量可否由一組向量線性表出。4

10、求向量組的極大無關組以及向量組的秩。例5 中，=（1,0,2,1），=（1,2,0,1），=（2,1,3,0），=（2,5，-1,4），（1，-1,3,1），求的一個極大無關組和秩。解：令由上可知為極大無關組，且向量組的秩為3.5 判斷兩個向量組是否等價5.1 定義法。如果向量組中的每一個向量都可以經(jīng)過向量組線性表出，那么向量組就稱為可以經(jīng)過向量組線性表出。如果兩個向量組相互可以線性表出，他們就稱為等價。例如，設，； ，則向量組與向量組是等價的5.2 利用等價性質(zhì)的傳遞性 如果向量組 與等價，與等價，那么向量組與等價。5.3 利用滿秩矩陣，A是n階滿秩矩陣，則可由線性表出，又因為A是n階滿秩矩

11、陣，所以A可逆，即有，則可由線性表出，所以與等價。由于，且A是n階滿秩矩陣，因此有，即有，且不會同時為0。因此，能被線性表出，因而由線性相關的定義知：可由線性表出，同理可知可由線性表出，故知與等價。5.4利用矩陣的初等行變換令，對C的行施行初等變換后得到H，使H的前m列為A的標準形B由（1）給出，即,其中為陣，為陣。因為C與H有相同的線性關系,要使能被線性表出則必有= 0,并且。同樣,對C的行施行初等變換得到,使的后r列為A的標準形, 由(1)給出,即其中: 為r×m陣, 為(n-r)×m陣。若要使能夠被線性表出,則必有= 0,并且相互表出的兩個向量組等價。例6 令，是的向

12、量組，判斷與等價。解： 以為列矩陣A，為列矩陣，令。令的列向量為，易見。因此。同樣，對C的行施行初等變換得到,即。令的列向量為，因此，與相互線性表出，是等價的。6. 求一個向量關于一個基的坐標6.1 利用克拉默法則若n維向量構(gòu)成的n維向量空間，求一個向量關于一組基的坐標，可以寫成線性方程組的形式，利用克拉默法則求解。6.2 利用矩陣的初等變換，則是關于基的坐標。例7 求在基，下的坐標。解：將作列構(gòu)成矩陣故是關于基的坐標。7. 將向量空間的線性無關組擴充為V的基。例 8 中將，擴充為的一個基。解：取的標準基由此可知，線性無關，故為的基。8. 求一個基到另一個基的過渡矩陣。 若與是的兩個基。，T即

13、為基到過渡矩陣。9. 求兩個子空間的和與交的基與維數(shù).利用矩陣的初等變換，可以很方便的求出,的一組基與維數(shù)，同時也確定了的一組基與維數(shù)，可謂一箭四雕.具體思想方法如下：令 ,，其中，。(1)以為列向量，做矩陣,對施行行列初等變換，將化為標準階梯形矩陣.(2) 中若某一為中某些的線性組合，則去掉，中若某些的對應分量成比例，則只保留其中一個。對中的作同樣的處理，得到(3)若,則為零空間，其維數(shù)為0。若中有個非零向量，則每一個可由中的向量線性表出，由此得個等式，從而得的基。特別的，我們還可以通過此法證明維數(shù)公式：例9 設，且，求的基與維數(shù)。解：以為列向量，做矩陣,為的線性組合的基為，的基為，的基為，的一個基為，顯然有=4 參考文獻：1 王鄂芳，石生明.高等代數(shù)：第3版M.北京:高等教育出版社,2003.2 劉云英,張益敏.高等代數(shù)習題課講義M.北京:北京師范大學出版社,1984.3 華南師范大學數(shù)學系代數(shù)教研室.高等代數(shù).廣州:華南理工大學出版社，19944 郝炳新.高