矩陣的初等變換在向量空間中的應(yīng)用

1、矩陣的初等變換在向量空間中的應(yīng)用 摘 要：向量貫穿了整個(gè)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)。本文主要談?wù)摿讼蛄靠臻g的一些核心問(wèn)題，輔以不同的解法，通過(guò)對(duì)比，顯示出矩陣的初等變換在向量空間中的重要作用，體現(xiàn)出用矩陣解向量空間中問(wèn)題的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：矩陣的初等變換；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)Abstract：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined with a differ

2、ent solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority.Key words：Elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent1 相關(guān)定理及問(wèn)題的引出設(shè)定義1.1 維向量：數(shù)域中n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組定義1.

3、2 維向量空間：以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱(chēng)為數(shù)域上的維向量空間。維向量空間表面上看是一個(gè)非常陌生的概念，其實(shí)質(zhì)只不過(guò)是由很多個(gè)維向量作為小單元，并且這些向量對(duì)于定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法滿(mǎn)足封閉性，即若，,具有這樣性質(zhì)的向量構(gòu)成的向量組。故對(duì)于向量空間有關(guān)問(wèn)題的討論，應(yīng)該從向量組出發(fā)。之所以向量空間讓我們感覺(jué)變化多端，關(guān)鍵在于這些向量對(duì)于定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法滿(mǎn)足封閉性。向量空間的理論的核心問(wèn)題是向量間的線性關(guān)系,其主要內(nèi)容有向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)性、向量組的極大無(wú)關(guān)組、兩個(gè)向量組的等價(jià)、向量空間的基與維數(shù)、一個(gè)基到另

4、一個(gè)基的過(guò)渡矩陣和線性變換等。在向量空間中主要研究的是數(shù)域上的維空間,因此在中解決上述問(wèn)題成為學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。通常這些問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化為線性方程組或齊次線性方程組來(lái)解決的。本文給出了多種解決這些問(wèn)題的方法，更重要的是給出了利用矩陣的初等變換來(lái)解決的統(tǒng)一方法。在對(duì)比中，我們可以很容易的感覺(jué)到矩陣在解決向量空間有關(guān)問(wèn)題的重要作用與優(yōu)越性。定理1.11 一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)r級(jí)子式不為零，同時(shí)所有r+1級(jí)子式全為零。定理1.21 級(jí)矩陣為可逆的充分必要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積。定理1.32 設(shè)可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為,則與的列向量有完全相同的線性關(guān)系。即當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別為A,

5、B的列向量。 定理1.41 一個(gè)向量組的任何一個(gè)線性無(wú)關(guān)組都可以擴(kuò)充成一極大線性無(wú)關(guān)組。 定理1.53 設(shè)是n維向量，是以為列向量的矩陣，將經(jīng)過(guò)行的初等變換得到階梯形，則階梯“角”所對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 若是數(shù)域P上一個(gè)矩陣，。不妨設(shè)的前r行r列構(gòu)成的r階子式不為零，則將分塊為，那么僅對(duì)的行施行初等變換可以得到標(biāo)準(zhǔn)形，其中為以r個(gè)單位向量作列構(gòu)成的單位矩陣。記，則由基本定理三可知，則與具有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)的列向量的線性關(guān)系可以直接看出。2 判斷一個(gè)向量是否可由一組向量線性表出2.1 定義法如果向量組，(2)線性相關(guān)的充分必要條件是，中的某一個(gè)向量是其余向量的線性組合2.2 利用

6、系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩 線性方程組有解判別定理：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的的秩。若判斷是否可以被一組向量，線性表出，其中（，）（i=1、2、）。設(shè)線性方程組為 于是線性方程足可以改寫(xiě)成向量方程 顯然，若可以表示成向量組，的線性組合的充要條件為線性方程組有解。又由有解判別定理和充要條件的等價(jià)性可知，可以表示成向量組，的線性組合的充要條件為 特別，若當(dāng)為零向量時(shí)，則恒成立，即始終存在零解，有，即可由向量組，線性表出。2.3 利用矩陣的初等行變換設(shè)，,其中。若可由B的列向量線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)可由B的前r個(gè)列向量線性表出，此時(shí)必有且，又由基本定理三知，。例1 判斷向量

7、是否可以由向量線性表出，其中，解法一：將作列，構(gòu)成矩陣所以可以由線性表出，且解法二：設(shè)，分別寫(xiě)出系數(shù)矩陣和增廣矩陣，利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)判斷，矩陣的初等變換同解法一。例2 判斷向量可否由向量組，線性表出。解：作矩陣，下面對(duì)A作初等行變換，若可以化最后一行的元素全部為零，則可由線性表出。具體思想見(jiàn)例3。即可由線性表出。3. 判斷中向量組的線性相關(guān)性3.1 定義法對(duì)于向量組稱(chēng)為線性相關(guān)，如果有數(shù)域P中不全為零的數(shù) ，使，否則線性無(wú)關(guān)。3.2 拉長(zhǎng)縮短法若n維向量組，線性相關(guān)，把每個(gè)向量的維數(shù)減少后，得到的新的向量組仍線性相關(guān)。3.3 增加法若向量組，線性相關(guān)，則增加向量的個(gè)數(shù)構(gòu)成的新的向量

8、組，也線性相關(guān)。3.4 行列式法若向量的個(gè)數(shù)與維數(shù)相同，即有n個(gè)n維列向量，令為n階方陣，則：（1） 當(dāng)時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)；（2） 當(dāng)時(shí)，向量組線性相關(guān)。3.5 利用矩陣的秩判別設(shè)有個(gè)維列向量組，記，則可利用矩陣A的秩判斷向量組的線性相關(guān)性，即：（1） 當(dāng)rank(A)= 時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)；（2） 當(dāng)rank(A)< 時(shí)，向量組線性相關(guān)。3.6 利用維數(shù)與向量的個(gè)數(shù)判斷m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)小于向量個(gè)數(shù)時(shí)一定線性相關(guān)。3.7 利用向量組間的關(guān)系判斷若向量組可由線性表出，且，則線性相關(guān)。3.8 利用初等變換判斷設(shè)向量組，作矩陣，若線性相關(guān)，則可以使用矩陣的行初等變換把矩陣A的其

9、中一行元素全部化為0.事實(shí)上，由于線性相關(guān)，因此存在一組不全為零的數(shù)使，這時(shí)只要把矩陣A的第一行、第二行、.、第r行分別乘上在全部加入最后一行，即可使A的最后一行全部化為0.例3討論向量組的線性相關(guān)性。解法一：定義法。假定,即：求解方程組解得：故：向量組線性無(wú)關(guān)。解法二：拉長(zhǎng)縮短法。對(duì)向量組刪去第4第5個(gè)分量成為新的分量組。由于行列式。向量組線性無(wú)關(guān)，則拉長(zhǎng)后的向量組也線性無(wú)關(guān)。解法三：利用矩陣的秩rank(A)=3=m=3，故向量組線性無(wú)關(guān)。例4 設(shè)向量組，求不全為零的實(shí)數(shù)a,b,c,使。解：做矩陣，下面對(duì)A施行行初等變換：因此，。特別的，也可以利用此法判斷一個(gè)向量可否由一組向量線性表出。4

10、求向量組的極大無(wú)關(guān)組以及向量組的秩。例5 中，=（1,0,2,1），=（1,2,0,1），=（2,1,3,0），=（2,5，-1,4），（1，-1,3,1），求的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組和秩。解：令由上可知為極大無(wú)關(guān)組，且向量組的秩為3.5 判斷兩個(gè)向量組是否等價(jià)5.1 定義法。如果向量組中的每一個(gè)向量都可以經(jīng)過(guò)向量組線性表出，那么向量組就稱(chēng)為可以經(jīng)過(guò)向量組線性表出。如果兩個(gè)向量組相互可以線性表出，他們就稱(chēng)為等價(jià)。例如，設(shè)，； ，則向量組與向量組是等價(jià)的5.2 利用等價(jià)性質(zhì)的傳遞性 如果向量組 與等價(jià)，與等價(jià)，那么向量組與等價(jià)。5.3 利用滿(mǎn)秩矩陣，A是n階滿(mǎn)秩矩陣，則可由線性表出，又因?yàn)锳是n階滿(mǎn)秩矩

11、陣，所以A可逆，即有，則可由線性表出，所以與等價(jià)。由于，且A是n階滿(mǎn)秩矩陣，因此有，即有，且不會(huì)同時(shí)為0。因此，能被線性表出，因而由線性相關(guān)的定義知：可由線性表出，同理可知可由線性表出，故知與等價(jià)。5.4利用矩陣的初等行變換令，對(duì)C的行施行初等變換后得到H，使H的前m列為A的標(biāo)準(zhǔn)形B由（1）給出，即,其中為陣，為陣。因?yàn)镃與H有相同的線性關(guān)系,要使能被線性表出則必有= 0,并且。同樣,對(duì)C的行施行初等變換得到,使的后r列為A的標(biāo)準(zhǔn)形, 由(1)給出,即其中: 為r×m陣, 為(n-r)×m陣。若要使能夠被線性表出,則必有= 0,并且相互表出的兩個(gè)向量組等價(jià)。例6 令，是的向

12、量組，判斷與等價(jià)。解： 以為列矩陣A，為列矩陣，令。令的列向量為，易見(jiàn)。因此。同樣，對(duì)C的行施行初等變換得到,即。令的列向量為，因此，與相互線性表出，是等價(jià)的。6. 求一個(gè)向量關(guān)于一個(gè)基的坐標(biāo)6.1 利用克拉默法則若n維向量構(gòu)成的n維向量空間，求一個(gè)向量關(guān)于一組基的坐標(biāo)，可以寫(xiě)成線性方程組的形式，利用克拉默法則求解。6.2 利用矩陣的初等變換，則是關(guān)于基的坐標(biāo)。例7 求在基，下的坐標(biāo)。解：將作列構(gòu)成矩陣故是關(guān)于基的坐標(biāo)。7. 將向量空間的線性無(wú)關(guān)組擴(kuò)充為V的基。例 8 中將，擴(kuò)充為的一個(gè)基。解：取的標(biāo)準(zhǔn)基由此可知，線性無(wú)關(guān)，故為的基。8. 求一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣。 若與是的兩個(gè)基。，T即

13、為基到過(guò)渡矩陣。9. 求兩個(gè)子空間的和與交的基與維數(shù).利用矩陣的初等變換，可以很方便的求出,的一組基與維數(shù)，同時(shí)也確定了的一組基與維數(shù)，可謂一箭四雕.具體思想方法如下：令 ,，其中，。(1)以為列向量，做矩陣,對(duì)施行行列初等變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣.(2) 中若某一為中某些的線性組合，則去掉，中若某些的對(duì)應(yīng)分量成比例，則只保留其中一個(gè)。對(duì)中的作同樣的處理，得到(3)若,則為零空間，其維數(shù)為0。若中有個(gè)非零向量，則每一個(gè)可由中的向量線性表出，由此得個(gè)等式，從而得的基。特別的，我們還可以通過(guò)此法證明維數(shù)公式：例9 設(shè)，且，求的基與維數(shù)。解：以為列向量，做矩陣,為的線性組合的基為，的基為，的基為，的一個(gè)基為，顯然有=4 參考文獻(xiàn)：1 王鄂芳，石生明.高等代數(shù)：第3版M.北京:高等教育出版社,2003.2 劉云英,張益敏.高等代數(shù)習(xí)題課講義M.北京:北京師范大學(xué)出版社,1984.3 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研室.高等代數(shù).廣州:華南理工大學(xué)出版社，19944 郝炳新.高