角動量及角動量定理

1、第五講角動量及角動量定律5-0 回顧回顧5-1 角動量的定義角動量的定義5-2 角動量定理角動量定理5-3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動5-0 回顧回顧功的定義：功的定義：動能動能質(zhì)點(diǎn)的動能定理：質(zhì)點(diǎn)的動能定理：勢能勢能質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：W外外W內(nèi)內(nèi)EKB - EKA彈性勢能彈性勢能重力勢能重力勢能萬有引力勢能萬有引力勢能機(jī)械能機(jī)械能:EEk + EP 功能定理：功能定理： W外外 W非保內(nèi)非保內(nèi)EB EA機(jī)械能守恒定律：機(jī)械能守恒定律：若若 則則E=CBArdFW221mvEK0KKEEW）（保PaPbEEWmgzEP221kxEPrMmGEP00dd內(nèi)非外WW0Pr0pE

2、rCrdFE1.1.角動量概念的引入角動量概念的引入0 CvMp總總由于該系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，所以，系統(tǒng)總動量為零，由于該系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，所以，系統(tǒng)總動量為零，系統(tǒng)有機(jī)械運(yùn)動，總動量卻為零？系統(tǒng)有機(jī)械運(yùn)動，總動量卻為零？說明不宜使用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機(jī)械運(yùn)動量。說明不宜使用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機(jī)械運(yùn)動量。問題：將一繞通過質(zhì)心的固定軸問題：將一繞通過質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，系轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，系統(tǒng)總動量為多少？統(tǒng)總動量為多少？C C M M* *引入與動量引入與動量 對應(yīng)的角量對應(yīng)的角量 角動量（動量矩）角動量（動量矩）pL動量對參考點(diǎn)（或軸）求矩動量對參考點(diǎn)（或軸）求矩

3、5-1 5-1 角動量的定義角動量的定義r定義定義：質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量為質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量為OrL)(vmrPrL角動量大小：角動量大?。?-平行四邊形面積平行四邊形面積sinrmvL LvLvm角動量方向：右手螺旋定則角動量方向：右手螺旋定則2 角動量的定義角動量的定義*質(zhì)點(diǎn)對某參考點(diǎn)的角動量反映質(zhì)點(diǎn)繞該參考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的強(qiáng)弱。質(zhì)點(diǎn)對某參考點(diǎn)的角動量反映質(zhì)點(diǎn)繞該參考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的強(qiáng)弱。（1 1）質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量，不但與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動有關(guān)，）質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量，不但與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動有關(guān)，且與參考點(diǎn)位置有關(guān)。且與參考點(diǎn)位置有關(guān)。討討 論論 以以A點(diǎn)為參考點(diǎn)，任意時(shí)刻點(diǎn)為參考點(diǎn)，任意時(shí)刻t，有，有21,.2rgtpmv

4、mgt 00,().;rRr LrPRrpRmgtLRmgt其大小: 方向垂直向里 以以O(shè)為參考點(diǎn)，任意時(shí)刻的角動量為：為參考點(diǎn)，任意時(shí)刻的角動量為：3102ALrpmt ggrR rOAvmrL（2 2）做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，由于）做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，由于 ，質(zhì)點(diǎn)對圓，質(zhì)點(diǎn)對圓心的角動量大小為：心的角動量大小為：vr2LrmvmrLL質(zhì)點(diǎn)對圓心質(zhì)點(diǎn)對圓心O的角動量為恒量的角動量為恒量大小不變大小不變大小不變方向不變方向不變方向不變vOmrvvmrLvmrL r rLrmvL LvmrLsinrmv（3）圓錐擺）圓錐擺mv0 0rF()dLddrdprpprdtdtdtdtdpFdt?dLdt1.

5、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)MrF定義：力對坐標(biāo)原點(diǎn)定義：力對坐標(biāo)原點(diǎn)O的力矩：的力矩： OFmrM方向：方向：大?。捍笮。?0| | | sin|MFrFr0r力臂力臂dpFdtMdtdL21ttMdt 12LL FdtdP2121ttFdtPPdLMdt角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式 若力矩作用一段有限時(shí)間，則有質(zhì)點(diǎn)角動量定理的若力矩作用一段有限時(shí)間，則有質(zhì)點(diǎn)角動量定理的積分形式：積分形式： 沖量矩沖量矩反映在一段時(shí)間內(nèi)力矩的時(shí)間積累反映在一段時(shí)間內(nèi)力矩的時(shí)間積累 質(zhì)點(diǎn)系的角動量：質(zhì)點(diǎn)系對給定參考點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系的角動量：質(zhì)點(diǎn)系對給定參考點(diǎn)的角動量，等于各質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)的角動量角動量，等于各質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn)

6、的角動量的矢量和，即的矢量和，即iiiiiivmrprLLiiiidpdrdLrpdtdtdt2. 質(zhì)點(diǎn)系角動量定理：質(zhì)點(diǎn)系角動量定理：總外力矩總外力矩M外總內(nèi)力矩總內(nèi)力矩 M內(nèi)d diiiLMMMMt外內(nèi)外內(nèi)（）()iiiijiiijrFrfoimiFjmijf=iiijijdpFfdt？)( ijijiiiifrMM內(nèi)內(nèi) m1mjOm2miijfjifirjrijrr一對內(nèi)力一對內(nèi)力的力矩和的力矩和)(ijjiijfff和0iiMM內(nèi)內(nèi)與質(zhì)點(diǎn)角動量定律形式一樣與質(zhì)點(diǎn)角動量定律形式一樣辯一辯：總外力矩與合外力的力矩的區(qū)別辯一辯：總外力矩與合外力的力矩的區(qū)別 iijjjirfrf0)(ijji

7、frrdLMdt外LM和外（ 都對同一點(diǎn)）都對同一點(diǎn)） dLMdtxyzLL iL jL k/xxyyzzMdLdtMdLdtMdLdtxyzMM iMjM k3. 角動量定律的分量形式：角動量定律的分量形式：2121ttMdtLL212121212121txxxttyyyttzzztM dtLLM dtLLM dtLL5-3 5-3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量iiiivmRLiivR的大小為的大小為iLiiiivRmL對對O O點(diǎn)的角動量為：點(diǎn)的角動量為：imcosiziLL coscosziiiiLLm RvziRLimiLizLOir2i

8、 iii imrvmrcosiiiiRrvr定義：剛體繞軸轉(zhuǎn)動的定義：剛體繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量：剛體繞定軸的角動量剛體繞定軸的角動量zzLJ特例：質(zhì)點(diǎn)特例：質(zhì)點(diǎn)2zJmriiizrmJ22zi iLmr2LmrziRLimiLizLOirZ轉(zhuǎn)動平面rAFMrFMZM對定軸轉(zhuǎn)動起作用的是對定軸轉(zhuǎn)動起作用的是力矩力矩 沿沿Z Z 軸分量軸分量ZMMsinrFM FrM對對O O 點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩：F2.2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動的力矩對軸的力矩對軸的力矩O大?。捍笮。悍较颍悍较颍?FF2Fr 注注 ：在：在定軸動問題中，如不加說明，所指的定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在

9、轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。FrM 只能引起軸的只能引起軸的變形變形, , 對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。1Fr轉(zhuǎn)動平面)(21FFr21FrFr-力臂力臂。sinrd 22sinZMF rF d轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+ +、- -號表示號表示d3.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定律剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定律轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律zzzzzdLdJdMJJdtdtdtzzMJzzzzzdpdvdmFvmmadtdtdtzzFma討論：討論： （3 3）Jz 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)

10、物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動慣量不同。動慣量不同。 （2 2）Jz 和質(zhì)量分布有關(guān)；和質(zhì)量分布有關(guān)；（1 1）轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度）轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度iiizrmJ2試一試：由牛頓方程推出剛體定軸轉(zhuǎn)動定律試一試：由牛頓方程推出剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O OiFifiiimir對剛體中任一質(zhì)量元對剛體中任一質(zhì)量元im- -外力外力iF- -內(nèi)力內(nèi)力ifiiiim afF采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：iiiiiiiirmamfFsinsinO OzzMJ想一想：想一想：1. 對靜止剛體施以外力作用，如果合外力

11、為零，對靜止剛體施以外力作用，如果合外力為零，剛體會不會運(yùn)動？剛體會不會運(yùn)動？2.如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否很大？）作用在它上面的力是否很大？（2）作用在它上面的力矩很大？）作用在它上面的力矩很大？4. 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算2221 12 2zi iiJmrm rm r分立的質(zhì)點(diǎn)系：分立的質(zhì)點(diǎn)系：dmrJz2dVr2dsr2dlr2例例1 1：一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平：一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框架，邊長為面正方形框架，邊長為a ，其四個(gè)頂點(diǎn)上分別有一個(gè)質(zhì)其四個(gè)頂點(diǎn)上分別有一個(gè)質(zhì)量為量為m m 的質(zhì)點(diǎn)，求此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)，求此質(zhì)點(diǎn)

12、系繞垂直于正方形平面且過其繞垂直于正方形平面且過其中心的軸中心的軸OZOZ的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。222)22(4maamJZ若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個(gè)頂點(diǎn)若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個(gè)頂點(diǎn)2224)2(2maammaJZ 若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點(diǎn)若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點(diǎn)ZJ22223)2()2(2maaamamaamozmmm zz解：解：例例2 2、求長為、求長為L L、質(zhì)量為質(zhì)量為m m的均勻細(xì)棒對圖中不同的均勻細(xì)棒對圖中不同 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，dm=dm= dxdx2023

13、1mLdxxJLA2212122mLdxxJLLC/m L2221122ACcLJmLmJmd平行軸定理平行軸定理試一試：證明平行軸定理試一試：證明平行軸定理例例3 3、求質(zhì)量為求質(zhì)量為m m、半徑為半徑為R R、厚為厚為l l 的均勻圓盤的均勻圓盤 的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：任取半徑為任取半徑為r r 寬為寬為dr dr 的同心的同心細(xì)細(xì)圓環(huán)圓環(huán), ,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221mRJlRm 轉(zhuǎn)動慣量與其厚度轉(zhuǎn)動慣量與其厚度 l 無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其軸的無關(guān)。所以，實(shí)心

14、圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也轉(zhuǎn)動慣量也是是221mRJ 一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量表一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量表竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？討論：討論：例題例題4 4 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為分別懸有質(zhì)量為m m1 1和和m m2 2的物體的物體1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如圖所示。如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為設(shè)滑輪的質(zhì)量為m m ，半徑為，半徑為r r，所受的摩擦阻力矩為，所受的摩擦阻力矩為M M。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體

15、的加速度和繩的。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。張力。解解: :用隔離體法受力分析用隔離體法受力分析21T rTrMJ對對a1m2m1T1T2T2Taa2m1m1G2G111222TGm aGTm a12,mm對滑輪對滑輪11122221TGm aGTm aT rT rMJra 約束條件：約束條件：212122121/2rmmgMrmmgMrammJ rmmm2121212/2/2mmmgMrTm gammm1211212/2/2mmmgMrTmgammm1T1T2T2Taa2m1m1G2G當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m m=0=0、M M

16、=0=0時(shí)，有時(shí)，有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因?yàn)樵谝阎暮唵窝b置。因?yàn)樵谝阎猰 m1 1、 m m2 2 、r r和和J J的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測出物體的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a a，再通過加速度把再通過加速度把g g算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m m1 1和和m m2 2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a a和速度和速度v v都較小，都較小，這樣就能角精確地測出這樣就能角精確地測出a a來。來。例題例題5 5 一半徑為一半徑為R R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m勻質(zhì)圓盤，