[研究生入學(xué)考試]考研數(shù)學(xué)一公式總結(jié)及復(fù)習(xí)資料--清航傾力推薦

1、數(shù)學(xué)一 普用公式 高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展開(kāi)有無(wú)窮級(jí)數(shù)，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。 三角函數(shù)作為微分方程的解： 對(duì)于微分方程組 y=-y;y=y，有通解Q,可證明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。 補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。

2、特殊三角函數(shù)值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0導(dǎo)數(shù)公式：根本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式： 函數(shù)角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ct

3、g360+sincostgctg和差角公式： 和差化積公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲Leibniz公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)審斂法：絕對(duì)收斂與條件收斂：冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：歐拉公式：三角級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)：周期為的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：微分方程的相

4、關(guān)概念：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)?教程第一講 函數(shù)、連續(xù)與極限一、理論要求1.函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的根本性質(zhì)單調(diào)、有界、奇偶、周期幾類常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)2.極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小和羅必達(dá)法那么求極限3.連續(xù)函數(shù)連續(xù)左、右連續(xù)與間斷理解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值、有界、介值二、題型與解法A.極限的求法1用定義求2代入法對(duì)連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子3變量替換法4兩個(gè)

5、重要極限法5用夾逼定理和單調(diào)有界定理求6等價(jià)無(wú)窮小量替換法7洛必達(dá)法那么與Taylor級(jí)數(shù)法8其他微積分性質(zhì)，數(shù)列與級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.等價(jià)小量與洛必達(dá)2.解： 洛必達(dá)3. 重要極限4.a、b為正常數(shù)，解：令變量替換5.解：令變量替換6.設(shè)連續(xù)，求 洛必達(dá)與微積分性質(zhì)7.在x=0連續(xù)，求a解：令 連續(xù)性的概念三、補(bǔ)充習(xí)題作業(yè) 1. 洛必達(dá)2. 洛必達(dá)或Taylor3. 洛必達(dá)與微積分性質(zhì)第二講 導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、理論要求1.導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會(huì)求導(dǎo)根本公式、四那么、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)會(huì)求平面曲線的切線與法線方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrang

6、e、Cauchy、Taylor定理會(huì)用定理證明相關(guān)問(wèn)題3.應(yīng)用會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問(wèn)題，能畫(huà)簡(jiǎn)圖會(huì)計(jì)算曲率半徑二、題型與解法A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算根本公式、四那么、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.決定，求2.決定，求解：兩邊微分得x=0時(shí)，將x=0代入等式得y=13.決定，那么 B.曲線切法線問(wèn)題4.求對(duì)數(shù)螺線處切線的直角坐標(biāo)方程。解：5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在6，f(6)處的切線方程。解：需求，等式取x-0的極限有：f(1)=0C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題6.，求點(diǎn)的性

7、質(zhì)。解：令，故為極小值點(diǎn)。7.，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。解：定義域8.求函數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。解：，D.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題9.或：10.求解：= E.不等式的證明11.設(shè)，證：1令 2令F.中值定理問(wèn)題12.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：在-1，1上存在一點(diǎn)證：其中將x=1，x=-1代入有兩式相減：13.，求證： 證：令令 關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)三、補(bǔ)充習(xí)題作業(yè)1.2.曲線3.4.證明x0時(shí) 證：令 第三講 不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)線性、與微分的關(guān)系會(huì)求不定積分根本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上

8、限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法會(huì)求定積分、廣義積分會(huì)用定積分求幾何問(wèn)題長(zhǎng)、面、體會(huì)用定積分求物理問(wèn)題功、引力、壓力及函數(shù)平均值二、題型與解法A.積分計(jì)算1.2.3.設(shè)，求解：4.B.積分性質(zhì)5.連續(xù)，,且，求并討論在的連續(xù)性。解： 6. C.積分的應(yīng)用7.設(shè)在0，1連續(xù)，在0，1上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解： 8.曲線，過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的外表積。解：切線繞x軸旋轉(zhuǎn)的外表積為 曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的外表積為 總外表積為三、補(bǔ)充習(xí)題作業(yè)1.2.3.第四講 向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求1.向

9、量代數(shù)理解向量的概念單位向量、方向余弦、模了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件向量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示2.多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法3.多元微分應(yīng)用理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求極值4.空間解析幾何掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法會(huì)求平面、直線方程與點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離二、題型與解法A.求偏導(dǎo)、全微分1.有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿足，求解：2.3.，求B.空間幾何問(wèn)題4.求上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之和。解：5.曲面在點(diǎn)處的法線方程。C.極值問(wèn)題6.設(shè)是由

10、確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)與極值。三、補(bǔ)充習(xí)題作業(yè)1.2.3. 第五講 多元函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二、三重積分的計(jì)算方法直角、極、柱、球會(huì)用重積分解決簡(jiǎn)單幾何物理問(wèn)題體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法熟悉Green公式，會(huì)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件3.曲面積分理解兩類曲面積分的概念質(zhì)量、通量、關(guān)系熟悉Gauss與Stokes公式，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分二、題型與解法A.重積分計(jì)算1.為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。解：2.為與圍域。3.，求 (49/20)B.曲線、曲面積分4. 解：令 5.,。解：取包含(

11、0,0)的正向， 6.對(duì)空間x0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S， ，且在x0有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，,求。解： 第六講 常微分方程一、理論要求1.一階方程熟練掌握可別離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法2.高階方程會(huì)求3.二階線性常系數(shù)(齊次)(非齊次)(非齊次)二、題型與解法A.微分方程求解1.求通解。2.利用代換化簡(jiǎn)并求通解。3.設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過(guò)處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：三、補(bǔ)充習(xí)題作業(yè)1.函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量。(2.求的通解。3.求的通解。4.求的特解。第七講 無(wú)窮級(jí)數(shù)一、理論要求1.收斂性判別級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)斂散條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比擬、比值

12、、根式判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法2.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的根本性質(zhì)和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分Taylor與Maclaulin展開(kāi)級(jí)數(shù)了解Fourier級(jí)數(shù)概念與Dirichlet收斂定理會(huì)求的Fourier級(jí)數(shù)與正余弦級(jí)數(shù)第八講 線性代數(shù)一、理論要求1.行列式會(huì)用按行列展開(kāi)計(jì)算行列式2.矩陣幾種矩陣單位、數(shù)量、對(duì)角、三角、對(duì)稱、反對(duì)稱、逆、伴隨矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式矩陣可逆的充要條件，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價(jià)用初等變換求矩陣的秩與逆理解并會(huì)計(jì)算矩陣的特征值與特征向量理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對(duì)角化的沖要條

13、件掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)3.向量理解n維向量、向量的線性組合與線性表示掌握線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判別理解并向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩了解基變換與坐標(biāo)變換公式、過(guò)渡矩陣、施密特方法了解標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)4.線性方程組理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件理解齊次、非齊次線性方程組的根底解系及通解掌握用初等行變換求解線性方程組的方法5.二次型二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、標(biāo)準(zhǔn)形及慣性定理掌握用正交變換、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法了解二次型的對(duì)應(yīng)矩陣的正定性及其判別法第九講 概率統(tǒng)計(jì)初步一、理

14、論要求1.隨機(jī)事件與概率了解樣本空間根本領(lǐng)件空間的概念，理解隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算會(huì)計(jì)算古典型概率與幾何型概率掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式2.隨機(jī)變量與分布理解隨機(jī)變量與分布的概念理解分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型變量的概率密度掌握0-1、二項(xiàng)、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會(huì)求分布函數(shù)3.二維隨機(jī)變量理解二維離散、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布4.數(shù)字特征理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望5.

15、大數(shù)定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理6.數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念了解正態(tài)分布的常用抽樣分布7.參數(shù)估計(jì)掌握矩估計(jì)與極大似然估計(jì)法了解無(wú)偏性、有效性與一致性的概念，會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間8.假設(shè)檢驗(yàn)掌握假設(shè)檢驗(yàn)的根本步驟了解單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)第十講 總結(jié)1.極限求解變量替換作對(duì)數(shù)替換，洛必達(dá)法那么，其他重要極限，微積分性質(zhì)，級(jí)數(shù)，等價(jià)小量替換1. (幾何級(jí)數(shù))2.

16、(對(duì)數(shù)替換)3.4.5.6.，求2.導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.2.，求dy/dx3.決定函數(shù)，求dy4.，驗(yàn)證5.,求3.一元函數(shù)積分1.求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。02.3.4.5.6.4.多元函數(shù)微分1.，求2.由給出，求證：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.證明滿足7.求內(nèi)的最值。5.多元函數(shù)積分1.求證：2.3.4.改變積分次序5.圍域。6.常微分方程1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。?高等數(shù)學(xué)考研題型分析? 填空題：極限指數(shù)變換，羅必達(dá)、求導(dǎo)隱函數(shù)，切法線、不定積分、二重積分、變上限定積分選擇題：等

17、價(jià)小量概念，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)圖形，多元極限計(jì)算題：中值定理或不等式，定積分幾何應(yīng)用，偏導(dǎo)數(shù)及幾何應(yīng)用，常微分方程及應(yīng)用特別的總結(jié)： 積 分 整個(gè)高數(shù)課本,我們一共學(xué)習(xí)了不定積分,定積分,重積分(二重,三重),曲線積分(兩類),曲面積分(兩類).在此,我們對(duì)積分總結(jié),比擬,以期同學(xué)們對(duì)積分有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí). 一、不定積分 不定積分是微分的逆運(yùn)算,其計(jì)算方法、各種技巧是我們后面各種積分計(jì)算的根底，希望同學(xué)們熟記積分公式，及各種方法(兩類換元,分部積分,有理函數(shù)積分等) 二、定積分 1.定義式: 2.定義域:一維區(qū)間,例如 3.性質(zhì):見(jiàn)課本P229-P232 特殊:假設(shè),那么,即區(qū)間長(zhǎng)度.

18、4.積分技巧:奇偶對(duì)稱性. 注意:定積分中積分變量可以任意替換即,而不定積分不具有這種性質(zhì). 5.積分方法:與不定積分的方法相同. 6.幾何應(yīng)用: 定積分的幾何意義: 表示以為頂與軸所夾區(qū)域面積的代數(shù)和(注意如,那么面積為負(fù)); 其他應(yīng)用:如表示截面積,那么積分為體積;平面弧長(zhǎng)等. 三、二重積分 1.定義式: 2.定義域:二維平面區(qū)域 3.性質(zhì):見(jiàn)下冊(cè)課本P77 特殊: 假設(shè),那么,即為的面積.4.坐標(biāo)系: 直角坐標(biāo)系:型區(qū)域,型區(qū)域極坐標(biāo)系:適用范圍為圓域或扇形區(qū)域,注意坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后不要漏掉,積分時(shí)一般先確定的范圍,再確定的范圍.5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性(見(jiàn)后),質(zhì)心;6.幾何應(yīng)用:二重積分的

19、幾何意義:假設(shè),那么表示以為頂以為底的曲頂柱體體積;其他應(yīng)用:求曲面的面積四、三重積分2.定義域:三維空間區(qū)域;3.性質(zhì):與二重積分類似; 特殊: 假設(shè),那么,其中表示的體積.4.坐標(biāo)系: 直角坐標(biāo)系:投影法,截面法(一般被積函數(shù)有一個(gè)自變量,而當(dāng)該變量固定時(shí)所得截面 積易求時(shí)采用) 柱坐標(biāo)系:積分區(qū)域?yàn)橹螀^(qū)域,錐形區(qū)域,拋物面所圍區(qū)域時(shí)可采用; 球坐標(biāo)系:積分區(qū)域?yàn)榍蛴蚧蚺c球面相關(guān)的區(qū)域時(shí),確定自變量范圍時(shí),先,后,最后 . 5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性,變量對(duì)稱性(見(jiàn)后),質(zhì)心等. 6.應(yīng)用: 表示密度,那么為物體質(zhì)量.(不考慮幾何意義)五、第一類曲線積分1.定義式:(二維) (三維)2.定

20、義域:平面曲線弧 空間曲線弧3.性質(zhì):見(jiàn)課本P128 特殊: 那么,表示曲線弧長(zhǎng).4.計(jì)算公式(二維為例): 類似可推出的公式.注意化為定積分時(shí)下限小于上限.5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性,變量對(duì)稱性,質(zhì)心;6.幾何應(yīng)用:見(jiàn)上3.六、第二類曲線積分1.定義式: (二維) (三維)2.定義域:有向平面曲線弧(二維)或有向空間曲線弧(三維)3.性質(zhì):見(jiàn)課本P1354.計(jì)算公式: 注意:曲線積分化為定積分時(shí),下限為起始點(diǎn),上限為終點(diǎn).5.積分技巧:二維曲線積分可以應(yīng)用格林公式(注意使用條件).積分與路徑無(wú)關(guān).不能使用奇偶對(duì)稱性.6.應(yīng)用:力做功.七、第一類曲面積分1.定義式: 2.定義域:空間曲面 注意:空間曲面與坐標(biāo)面重合或平行時(shí),即為二重積分,故二重積分時(shí)第一類曲面積分的特例.3.性質(zhì):見(jiàn)課本:與第一類曲線積分類似 特殊: 那么,表示曲線面積.4.計(jì)算公式:類似可得在另兩個(gè)曲面上的投影公式. 注意對(duì)于特殊的曲面如柱面考慮使用柱坐標(biāo),曲面考慮使用球坐標(biāo).5.積分技巧:奇偶對(duì)稱性,變量對(duì)稱性,質(zhì)心.6.幾何應(yīng)用:見(jiàn)上3.八、第二類曲面積分2.定義域:有向空間曲面3.性質(zhì):見(jiàn)課本P1624.計(jì)算公式: