多元統(tǒng)計第三章

1、應用多元統(tǒng)計分析第三章多元正態(tài)總體參數的假設檢驗主講人 ：王筱麗制作者-王筱麗1第三章多元正態(tài)總體參數的假設檢驗§3.1§3.2§3.3§3.4§3.5§3.6幾個重要統(tǒng)計量的分布單總體均值向量的檢驗及置信域多總體均值向量的檢驗協差陣的檢驗 獨立性檢驗正態(tài)性檢驗§3.1幾個重要統(tǒng)計量的分布一、正態(tài)變量二次型的分布1. 分量獨立維隨機向量X的二次型設 Xi N(m i , s 2)( i= 1, , n ), 且相互獨立，X = ( X1 , , Xn )¢記則X Nn (m , s2In ) , 其中m = (m

2、1 , , m n ) ¢結論 1當m i = 0 ( i= 1, , n ), s 2 = 1 時, 則nXxX¢= åX2c 2 () ni當m= 01,i =1 n ), s 2 ¹ 1 時, 則i ,n1¢ X= 1åX2c 2 ( n )s2ii =1l j¥å¢- lc(X<) t=n+j)<2(Xe P(2t )j!j = 0m m¢其中 l=2結論 2當m i ¹ 0 ( i= 1, n )時, X¢X 的分布常稱為非中心的c2分布.注:設 n維隨

3、機向量X Nn (m , s2In ) , m ¹ 0 ,且s2 ¹ 1 ,令 Yi = Xi /s1Y ¢YX ¢X c(d )=2則sn211nm ¢m =其中dåi =1m=2i.ss22Þ 必要性：因為A=A¢ , 所以存在正交陣G 使G ¢AG = diag(l1 , , lr ,0 , , 0 )證明:令 Y=G ¢X Nn (0n , s2In ) ,則X=G YG ¢AG = diag(l1 , , lr ,0 , , 0 )Y=G ¢X Nn (0n , s

4、2In) , X=G Yns ¢AGX/ G2Y=s ¢lA¢xX=s= å222/YY/則iii =1且Y1, Yr 相互獨立同N(0 , s2)分布. 故而Yi/s c (1) ( i = 1, , r ), 且相互獨立.222nåls /22 的特征函數為Yiii =1(1-2il1 t)-1/22 -1 il(2 t) -1/2 ··· (1-2ilr t) -1/2Þ 必要性： G ¢AG = diag(l1 , , lr ,0 , , 0 )nx = X ¢AX / s=

5、å l Y/ s c 2 (r )又已知222iii =1故x 的特征函數為所以(1-2il1 t) (1-2il2 t) ··· (1-2ilr t)1/2 = (1-2i t) r /2(1-2i t)-r /2l1 = = lr = 1從而diag(1 , , 1 ,0 , , 0 )=G ¢AG =G ¢AG G ¢AG =G ¢A2GA2 = A故Ü 充分性：因為 A為對稱冪等矩陣,存在正交陣G 使所以IæOöGGA¢= ç÷O ø&#

6、232; OY = G ¢X( 即X = G Y )令Y Nn (0n , s2 G ¢ In G ) = Nn (0n , s2In )則¢IæOö1111r¢YG¢G¢åi =1çYY÷ Oø= sA = s Y2r= s2s A2XYi22Oè¢IæOö1111r¢¢¢YGGçOèYY÷ Oøåi =1=A =r=2XA2XY2Yissss22因為Y1

7、, Yr 相互獨立同N (0 , s2) 分布所以1rc 2¢x =åAX=2Y(r )ssi22i =1cn (d )的特征函數為2j (t ) = (1 - 2it )itd1- 2 it-n2e必要性證明不要求證明:只證充分性不妨設 rank(A) = r > 0 (當r = 0時, A = O)因 A為對稱矩陣, 所以存在正交陣G 使él10 ùúúDéOù= êA = GG ¢ ,rDOOúOêêrëûê 0ú

8、lër û其中l(wèi)1 , , lr 是A的非零特征值.él10 ùúúé DOù= êA = GG ¢ ,rDOOúê Oêrëûê 0úlër û其中l(wèi)1因為, , lr是A的非零特征值.æOöæOöDD÷G¢ =(C)ç÷G¢ =(C DO)G¢ =OGç= BrrBAC121rè OO

9、øè OOø其中B為m´n矩陣, C1為m´r 矩陣, C2為m´(n-r)矩陣,故C1 Dr=O,又Dr 可逆,故C1 =O.Y=G ¢X即X=G Y,令Y Nn (G ¢ m , s2 In )則即Y1, Yn 相互獨立,因= Y ¢æ DrO örX ¢AX= Y ¢G ¢AGYåi =1l YçO÷YO=2iièø而é Yùúúúû

10、3;Yêùúúúûr + 1M1)ê= (CB G YBX= CCMêêêë122êëY nY n由于Y1, Yr與Yr + 1, Yn 相互獨立, 故X ¢AX 與BX相互獨立.¾充分性證明同上¾必要性證明不要求2. 一般 p 維正態(tài)隨機向量的二次型證明: 因 S > O , 則 S = C C ¢ ( C為p 階可逆矩陣)Y = C -1X,即 X =CY令-1-1-1Y Np (Cm , CS (C) ¢

11、)則證明: 因 S > O , 則 S = C C ¢ ( C為p 階可逆矩陣)Y = C -1X,即 X =CY令-1-1-1Y Np (Cm , CS (C) ¢)-1= C C ¢ , 所以 Y Np (Cm , Ip ), 且有則因SX¢S -1X = Y ¢C ¢S -1C Y = Y ¢Y c2( p , d )d = (C -1m )¢ C -1m = m ¢S -1m其中證明:因 S > O , 則 rank(S ) = p ,且存在正交陣G 和li ( i =1, , p )

12、 , 使得S= S 1/2 .S 1/2l p )G ¢S= Gdiag(l1 ,L,1 / 2其中l(wèi) p )G ¢S= Gdiag(l1 ,L,1 / 2æö11= G ¢diagç,L, ÷GS-1/ 2記ç÷l1l pèøY = S -1/2 (X- m ) Np ( 0p , Ip )令這里 D(Y ) = S -1/2 S (S -1/2 )¢ = Ip(X- m )¢A (X- m ) = Y ¢S 1/2 AS 1/2 Y =Y ¢

13、CY由1.結論 3 知二次型Y ¢CY c2(p) Û C 2 = C即 S ½ AS ½ S ½ AS ½ = S ½ AS ½ÛAS A =A證明:因 S > O , 則 rank(S ) = p ,且存在正交陣G 和li ( i =1, , p ) , 使得S= S 1/2 .S 1/2S= Gdiag(l1 ,L,l p )G ¢1 / 2其中l(wèi) p )G ¢S= Gdiag(l1 ,L,1 / 2æö11= Gdiagç,L, ÷

14、G ¢S-1/ 2記ç÷l1l pèøY = S -1/2 (X- m ) Np ( 0p , Ip )令這里 D(Y ) = S -1/2 S (S -1/2 )¢ = Ip(X- m )¢A (X- m ) = Y ¢S 1/2 AS 1/2 Y =(X- m )¢B (X- m ) = Y ¢S 1/2 BS 1/2 Y =Y ¢CYY ¢DY由1.結論 6 知Y ¢CY 與 Y ¢DY 相互獨立Û即 S ½ AS ½

15、S ½ BS ½ = OÛ S AS BS = OÛ AS B = OCD = O3. 非中心 t 分布 和 非中心F 分布4. 非中心 c2分布, 非中心 t 分布和非中心F 分布的應用一元統(tǒng)計中，在一個正態(tài)總體N(m , s 2)的均值檢驗中，檢驗H0 : m =m 0時，檢驗統(tǒng)計量為m-XT=02S/ n否定域為|T|> l ，其中l(wèi) 滿足P|T|> l=a(顯著性水平).當否定H0時，可能犯第一類錯誤，且第一類錯誤的概率 = P“ 以真當假”T>lm顯=著性水平a= 0 P當H0相容時，可能犯第二類錯誤，且lT£ mm

16、第二類錯誤的概率= P“以假當真 =”¹0 P-Xm（m + mm設m=m1=-¹）0£l0mm =b=11P12S/n, d )0)/）此時檢驗統(tǒng)計量T t(非中心參d數m=m (ns1此時檢驗統(tǒng)計量T t (n, d ) ,d =n(m1 - m0)/s）(非中心參數利用非中心t分布可以計算第二類錯誤b 的值。類似地，利用非中心c2 和非中心F分布在一元統(tǒng)計相應的檢驗中，可以計算第二類錯誤b 的值。二、威沙特( Wishart )分布1.威沙特分布的定義設 X(a) (a = 1, , n )為來自總體Np(0, S ) 的隨機樣本, 記X = (X(1) ,

17、 , X(n) ) ¢為n´p樣本數據陣, 考慮隨機陣nå X (a ) X (¢a )a = 1= X ¢XW =的分布?當p =1時, X(a) N (0, s 2) , 此時W= X2+ +X2 s 2c2 (n)(1)(n)即 W1(n, s就是 s 2c2 (n) .2)注: 當p =1時, X(a) N (0, s 2) , 此時W= X2+(1) +X2 s 2c2 (n)(n)即W1(n, s 2) 就是s 2c2 (n)當p =1, s 2 =1時, W1(n, 1) 就是c2 (n) .定義 3.1.4 ¢設 X(

18、a) Np(m , S ) (a = 1, , n )相互獨立,記 X = (X(1) , , X(n) ) ¢為n´p 矩陣,é m1m p ùL= êúM= 1m ¢MMêúm p úûnêë m1L則稱隨機陣W =X¢X 服從非中心參數為D的非中心威沙特分布, 記為 W Wp(n, S , D) ,其中D= M¢M= (1nm ¢) ¢1nm ¢ = m 1n¢1nm ¢ = nmm

19、62;定義 3.1.4 ¢ ¢Np(ma , S ) (a = 1, , n )相互獨立,(1) , , X(n) ) ¢為n´p 矩陣,設 X(a)記 X =則稱隨機陣W =X¢X 服從非中心參數為D的非中心威沙特分布, 記為 W Wp(n, S , D) ,其中é m 11m 1 p ùé m 1¢ ùL= êú = êM ú D,n¢¢åmm=MMMMMêúúûê

20、0;aaa = 1êë mmê m ¢ úLën ûn 1np注:當X(a) Np(ma , S ) (a = 1, , n )相互獨立時,nD = å ma ma¢M ¢Mm1 p ù=非中心參數a = 1é m11é m1¢ ùL= êú = êúMMMm npMêúúûêú這里êë m n 1êë m

21、n¢ úûL其中p為隨機陣W的階數, n為自由度.隨機陣W的概率密度是威沙特于1928年推導出來的，當n > p時 W Wp(n, S )的概率密度為ì1 (n-p+1-1exp-trSW)W2ï(W )= ï2, W>Ofí/n2p2pn/2p ( p-1p )S/Õi =1(Gn-i +14)ï2ï0其他î2.威沙特( Wishart )分布的性質n - 1A = å Z a Z a¢證明:根據定理2.5.2知,a = 1而 Za Np(0, S )

22、 (a = 1, , n-1 )相互獨立,A Wp(n-1, S ) .由定義3.1.4可知,證明:只需證明n = 2 .即設 Wi Wp(ni , S) (i= 1,互獨立, 則W1 + W2 Wp(n1 + n2, S )根據定義3.1.4知,n1n2ddX¢(X¢(= åXi = 1=Wå Xi =n1+1W,)( a ) a( a ) a12)其中X(a) Np(m , S ) (a = 1, , n1+ n2) 相互獨立,又根據定義3.1.4知,dn 1 + n2a X¢(2 S, n= åXi=1W 1+p( 1W+)n(

23、 a )2)證明:根據定義3.1.4知,W = å Z a Z a¢dni = 1其中Za Np(0, S ) (a = 1, , n) 相互獨立 ., 則Ya Nm(0 , CS C ¢) . 故令Ya = CZadnnå Ya Ya¢ = å CZa × Za¢ C ¢= CWC ¢ Wm (n, CSC ¢)i =1i =1注:(1)a W Wp(n , a S ) (a > 0, 為常數)(2)設l ¢ =(l1, , lp), 則l¢Wl =x W1

24、(n , l¢S l ) ,即x s2c2 (n)(其中s 2 = l¢S l ).分塊威沙特矩陣的分布性質4設 X(a) Np(0 , S ) (a = 1, , n )相互獨立,其= é S 11S 12ù中又已知隨機陣SêSúSë22 û21= éW11W12 ùrnX ¢åa =1 W (n, S )W =則XêWWú p - r(a )(a )pë2122 û(1) W11 Wr(n , S11 ) , W22 Wp - r

25、(n , S22 ) ;(2) 當S12=O時,W11與W22相互獨立.取(p-r)´p 常數矩陣證明:C = - W W-1Ip- r2111則CWC ¢ =Wùé- Wù-1WéW-1- W11121112 ú = WûWIêêWúp- r22·12111WIë2122 ûëp- réSSSùé- SSù-1 11CSC ¢ =- SS12 ú = Sû-11112I

26、34;p- rêSú22·12111Ië2122 ûëp- r根據性質3知,CWC¢ = W22.1 Wp - r (n-r, S22.1 )dn( a ) aX¢(¢åX=)=證明: WXXa = 1其中Xa Np(0, S ) (a = 1, , n) 相互獨立 .因此nn¢( )X¢(E å() =XEåa = 1S) =) =)W(a )XaX(n( a ) aa =注: 這是一元統(tǒng)計中n維觀測向量X的二次型分布在p維情況下的推廣.注:這是一元統(tǒng)計

27、中( p =1)n維觀測向量X的兩個二次型相互獨立的條件在p維情況下的推廣.三、霍特林( Hotelling )T2分布1.霍特林T2分布的義, x c 2(n) , X與x, 若X(0一元統(tǒng)計相互獨立, 則隨機變量Xt =t( n)x / n下面把t 2 = nX2/x = nX¢x -1 X的分布推廣到p元總體.設 XNp(0, S ) , 隨機陣W Wp(n, S )(S > 0 , n ³ p) , 討論T2 = nX¢ W -1 X的分布?定義 3.1.5設 X Np(0, S ) , 隨機陣W Wp(n, S )(S >O,T2 = nX&

28、#162;p) , 且 X與W相互獨立, 則稱統(tǒng)計量-1X為霍特林T2統(tǒng)計量, 其分布稱為的T2分布，記為 T2 T2( p, n) .服從n個自2.霍特林T2分布的性質Tn證明:S1Nm(因X,)pnX )- mS0則 (npN(,)而 A Wp(n-1, S ) ,且 A相互獨立,由定義3.1.5可知,m-)¢ -1A-nm(2n=2 1n= 1)-T(n (n(XXT (-),p) m-A¢-(1X- m )( X-n1X注: 一元統(tǒng)計中, 若t = t ( n ), 則x / n2X/ 1=t 2 F (1, n )x / n當p = 1時, 一元總體X N (0,

29、 s 2), X(a)(a = 1, , n )為來自總體 X 的隨機樣本 , 則dnnX¢X¢ W (n,s ) = sc (n)W = åX= åX222(a)(a)(a)(a)1a=1a=1( X / s )22nnX¢- 1T= nX WnX =2所以 F (1, n )W / s2 nW注: 一般地,n - p + 1 · T 2n - p + 1d¢-1=X WXpnpX ¢S -1 X X ¢W -1 Xn - p + 1x= n - p + 1def=X S¢-1· h

30、Xpp=x / p F( p, n - p + 1)h / n - p + 1其中x =X ¢S -1Xc2(p, d )(d = 0).還可證明X ¢S -1 XX ¢W -1 Xh = c 2(n - p + 1)且x與h獨立.性質3設X(a) (a = 1, , n )是來自p元正態(tài)總體Np(m ,S )的隨機樣本,X 和A分別是樣本均值向量和樣本離差陣, 記= n(n - 1)X ¢A-1 XT 2則統(tǒng)計量 n - p ×T 2 F ( p, n - p,d )n - 1p其中d = n m ¢S -1m.性質4T2 統(tǒng)計量的

31、分布只與p, n有關, 而與S無關.設U Np( 0 , Ip ) , W0 Wp(n, Ip ) , U和W0 相dU¢X¢-10-1Wn=2(XnU互獨立W, 則,)T事實上, 因X Np(0, S ) (S > 0) , W Wp(n, S ),則S -1/2 X Np(0 , Ip ) ,且S -1/2WS -1/2 Wp(n, Ip )ddS 1- X/W=SS/-2- 1/=212因此UW,W0dU¢X¢-10-1Wn=2(XU,)Tp所以設X(a) (a = 1, , n )是來自p元總體 Np(m ,S )的隨機樣本, X x和Ax

32、 分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和樣本離差陣, 則由性質1有= n(n - 1)( X- m ) A( X- m ) T 2 ( p, n - 1)¢-1T 2xxxx令Y(a) = C X(a) + d , 其中C為p´p非退化常數矩=陣, d為p維常向量, 則可證明2y2xTT四、威爾克斯(Wilks)L統(tǒng)計量及其分布1.威爾克斯L分布的定義一元統(tǒng)計中,設x c 2(m) ,h c 2,相互獨立, 則x / m FF=( m,n)h / n在兩個總體N(m1 ,s 2)和N(m,s 2)方差齊性1x2y檢驗中(H0 : s 2 = s 2),設X(i=1, , m )

33、 為來xy(i)0自N(m1 ,sx )的隨機樣本, Y(j) (j=1, , n ) 為來2自N(m2 ,s 2)的隨機樣本, 取s 2和s 2的估計yxy2量分別為11mnååi = 1=-=- Y2x) 22y) 2s( XX, s(Y( i )( i )m - 1n - 1i = 1則檢驗統(tǒng)計量2sH 0 下F=- 1 , n- 1 ) x 2F ( msy在p元總體XNp(m , S )中,協方差陣S的估計量為11S=A (或A )n - 1n - 1在檢驗 H0 : S1 = S2 時, 如何用一個數值來描述對矩陣的離散程度的估計呢?一般可用矩陣的行列式、跡或特

34、征值等數量指 標來描述總體的分散程度.注: 當p = 1時, L統(tǒng)計量的分布正是一元統(tǒng)計中的參數為n1 / 2, n2 / 2的b 分布,n2 / 2).記為b (n1 / 2,2. L統(tǒng)計量與T2或F 統(tǒng)計量的關系在實際應用中, 常把L統(tǒng)計量化為T2統(tǒng)計量, 進而化為F 統(tǒng)計量.然后利用熟悉的F統(tǒng)計量來解決多元統(tǒng)計分析中有關檢驗的問題.證明:設X(a) Np(0, S ) (a = 1, , n+1) 相互獨立同分布, 顯然有nåa = 1(¢a W p ( n , S )W 1=X) X( a)n + 1(¢aå W p ( n + 1, SW=X)

35、 X)( a)a = 1由定義3.1.7知W 1LL ( p , n ,1 )=W又因W=Wl + X(n+1) X¢(n+1) ,列式的公式得利用分塊矩陣行-W 1X ¢Xp1( n + 1 )X ¢=W+=WX( n + 1 )( n + 1 )11( n + 1 )X ¢- 1 X=(1 +WW)( n + 1 )( n + 1 )11所以W 111dL=X ¢- 1 X1 +1 +2 ( p , n )WW1 T( n + 1 )( n + 1 )1n注:設L L(p,n1 , n2),則當n1 ®¥時-rlnL c

36、2(pn2)其中r = n1 0.5(p-n2+1).當n1不太大時,3.兩個重要結論3.兩個重要結論注:這是一元統(tǒng)計中 F(n,m) d= 1/ F(m,n) 的推廣.§3.2單總體均值向量的檢驗及置信域一、均值向量的檢驗設總體X Np(m ,S ) , 隨機樣本X(a) (a =1 , n) ，檢驗H0 : m = m 0, H1 : m ¹ m 01.當S= S 0已知時均值向量的檢驗1.當S = S 0已知時均值向量的檢驗 N( m , 1 Sn( X - m ) N(0, SX),)因p0p0n利用二次型分布的結論，知( X - m )¢( 1 S)-1

37、 ( X - m ) c 2 ( p )0n取檢驗統(tǒng)計量為H 0下)= n ( X - m )¢S- 1 ( X- mc 2 ( p )20T000對給定的顯著性水平a ，H0 的否定域為> c 2 ( p )20Ta對給定的顯著性水平a ，當p < a 時, 則在顯著性水平a 下否定假設H0 ;在這種情況下, 可能犯第一類錯誤 , 且a 就是犯第一類錯誤的概率.當pa 時, 則在顯著性水平a 下 H0 相容 ;在這種情況下, 可能犯第二類錯誤 , 且犯第二類錯誤的概率為 = P T 2 £c 2 ( p) |當m= m1 ¹ m 0 0aT 2 c2

38、(p ,d ) ,其中檢驗統(tǒng)計量非中心參數0= n (m-1 (md- m)¢S- m)10010p 值的直觀意義:_檢驗統(tǒng)計量T 2的大小反映X 與m0的偏差的大02小, 當H0 成立時T0 的值應較小.2現由觀測數據計算T0 值為d ;統(tǒng)計量T0 c2( p)2當H0 成立時由c2分布可計算該統(tǒng)計量d 的概率值( 即p 值).2.當S未知時均值向量的檢驗 H 0下X1H 0下因Npm(0)S, ,X- m)( S0(nN,)0pn樣本離差陣n X¢ åa = 1S1=( X)-( -WA(Xn,)ip由定義3.1.5m¢-nm(2-n=2 1n= 1

39、)-1T(n (n(X) AX- mXT (-),p00)m- A¢-(1)( X-)00取檢驗統(tǒng)計量為(n-1)-p+12H0下(FF =T p( -n1 -)+p,1)( n- 1)pH0下F, n-(p)p對給定的顯著性水平a ，H0 的否定域為>F-nFa(p,)p對給定的顯著性水平a ，當p < a 時, 則在顯著性水平a 下否定假設H0 ;在這種情況下, 可能犯第一類錯誤 , 且a 就是犯第一類錯誤的概率.當pa 時, 則在顯著性水平a 下 H0 相容 ;當pa 時, 則在顯著性水平a 下 H0 相容 ;在這種情況下, 可能犯第二類錯誤 , 且犯第二類錯誤的概

40、率為 = P F £ Fa ( p, n-p) |當m其中 FF(p, n-p, d )= m1 ¹ m 0 -1非中心參數 d = n (m1 - m 0 )¢S0(m1 - m 0 )例3.2.1人的出汗多少與人體內鈉和鉀的含量有一定的關系.今測量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、鈉的含量(X2)和鉀的含量(X3)(數據見 表3.1).試檢驗1: m ¹ m0.H0:m= m0=(4, 50, 10解:記隨機向量X= (X1,X2,X3),假定XN3(m, S) .檢驗H0:m= m0=(4,50, 10)， H1: m ¹ m0.取檢

41、驗統(tǒng)計量為n - pF =T 2( p = 3, n = 20)(n - 1) p由樣本值計算得:X = (4.64,45.40,9.965)¢,æö54.708ç÷÷A = ç 190.1903795.98-107.16ç- 34.37268.926÷èøæö0.0308503ç÷÷÷= ç - 0.001162A-10.0003193- 0.000083çç0.0211498÷0.0

42、135773èø進一步計算得:- m 0 )¢ A( X - m ) = 9 .7388- 102= n ( n - 1)( XTn -pF = 2.90452T( n - 1) p對給定a = 0.05, 按傳統(tǒng)的檢驗方法,可查F分布臨界值表得 l a =F3,17(0.05) = 3.2,比較由樣本值計算得到的F值及臨界值,因F值=2.90453.2,故H0相容.利用統(tǒng)計軟件進行檢驗時,首先計算p值(此時檢驗統(tǒng)計量FF(3,17)：p = PF2.9045=0.06493 .因 p值=0.064930.05=故H0相容.在這種情況下，可能犯第二類錯誤,且第二類

43、錯誤的概率為b=P F3.2| m =X =0.3616(假定總體均值 m = m 1 ¹ m 0, 取m 1=X).二、似然比統(tǒng)計量設p元總體的密度函數為f (x ,q ) ，其中q是未知參數，且q ÎQ(參數空間), 又設Q0是Q的子集,對下列假設：H0 ：q ÎQ0, H1 ：q ÏQ 0作出判斷, 即給出H0的否定域.二、似然比統(tǒng)計量從總體X抽取容量為n的樣本. 把樣本的聯合nL( x(1 ) ,L , x( n ) ;q ) = Õf ( x( t ) ;q )密度函數t = 1記為L(X ; q ),并稱它為樣本的似然函數.引入統(tǒng)計

44、量l = maxL( X ;q )max L( X ;q )q ÎQ 0q ÎQ它是樣本X( t ) (t =1, , n)的函數,常稱l為似然比統(tǒng)計量.0£ l£1顯然由最大似然比原理知,如果l取值太小,說明H0為真時觀測到此樣本X( t ) (t =1, , n)的概率比H0為不真時觀測到此樣本X( t ) (t =1, , n)的概率小得多.故有理由認為H0不成立,所以以上檢驗問題的否定域為 l(X(1) , , X(n) ) < la 對給定的顯著性水平a ,臨界值la由下式確定P l(X(1) , , X(n) ) < la | H

45、0成立= a下面給出似然比統(tǒng)計量l的抽樣分布.設樣本的似然函數為L(m ,S ),量的似然比統(tǒng)計量為檢驗均值向l =L( m , S )L( m , S )maxm = m 0 ,S > 0maxm ,S > 0- n / 21而max L( m , S ) = ( 2p )- np / 2- np / 2Aenm ,S > 0- n / 21L( m , S ) = ( 2p )- np / 2e - np / 2maxm = m 0 ,S > 0A0n故ö n / 2- n / 2æAA= ç÷l = 0ç÷

46、;- n / 2AAèø0n注意到A(å(i =1-m)(m- ¢ 0)=0X)X)i0(in +m0 )¢ X -å-(i =1+n(+X- m0Xm- 0 )(m0 )(m=-XX()(X0 -¢X(i)Xi)=A0X-¢=+AA(n)0X -m01-AX-n()=n(m -)¢-1A( - m X=A+ n+(1)00A1)¢1=所以X-m-A ( - m X)1n+11A(1+2T000n-1其中H0下m-¢ A-(1-Xm )=n21)( -XT(- 2n(,p否定域:l其中

47、l<Ûa>TÛFF>22aTan-pH0下F =T( p , -n2 F) p( n- 1)p三、置信域與聯立置信區(qū)間1.置信域 ( S 未知 )假設X( t ) (t =1, , n)來自p元正態(tài)總體Np (m ,S )= n( X - m)¢S -1( X - m) T 2( p, n - 1)可知 T 2n - pF = F( p, n - p)T 2(n - 1) p任給置信度1-a , 查F分布臨界值表得P F£ Fa =1-a則均值向量m 的置信度為1-a 的置信域為(n - 1) p¢= n( X - m) S(

48、 X - m) £-1T 2Fan - p_注: 該置信域是一個中心在X的橢球.當檢驗假設H0 : m = m 0時,若m 0落入上述置信域內,即) £ (n - 1) p F= n( X - m )¢S -1( X - mT 2a00n - p則在顯著性水平a下,H0 相容;若m 0未落入上述置信域內,則否定H0 .例3.2.2沿用例3.2.1的數據,試求的置信度為95%的置信橢球.解:由觀測數據計算樣本均值X和樣本離差陣A及樣本協差陣S:æö2.8794A = ç 10 .0100÷,1S =199 .7884- 5.6

49、400ç÷n - 1ç - 1.80903.6277 ÷èøS的特征值和單位正交特征向量為l1=200.4625, l1=(0.05084,0.9983,-0.02907),l2=4.5316,l3=1.3014,l2=(-0.5737,0.05302,0.8173),l3=(0.8175,-0.02488,0.5754).記=( n- 1)pF= 19 2´3170 =.c 20520 35365)p0.n( n -3= åi =1 1 由S-1的譜分解式：¢S -1lili,li并令Yi= (X-m)

50、´li( i =1, 2, 3), 則m 的置信度為95%的置信橢球為222YYY+£ 1. 1 2 3l cll2c 2c 2123置信橢球的第一長軸半徑為d1=(1)1/2c=10.3703,方向沿l1;第二長軸半徑為d2=(2)1/2c =1.5592,方向沿l2;短軸半徑為d3=(3)1/2c = 0.8356,方向沿l3.第一長軸與短軸的比為d1/d2=12.4106,即第一長軸和長度是短軸的12倍還多.2.聯立置信區(qū)間設XNp (m ,S ), 考慮X的線性組合Z = a1X1 + a2X2 + + apXp = a¢ XZ Np (a¢m

51、, a¢S a )可知假設X( t ) (t =1, , n)來自p元正態(tài)總體Np (m ,S )的簡單隨機樣本, 則總體Z的樣本為Z( t ) = a¢ X( t ) (t =1, , n)且樣本均值和樣本方差分別為Z = a X , s= a ¢Sa¢2z假設X( t ) (t =1, , n)來自p元正態(tài)總體Np (m ,S )的簡單隨機樣本, 則總體Z的樣本為Z( t ) = a¢ X( t ) (t =1, , n)且樣本均值和樣本方差分別為Z = a X , s= a ¢Sa¢2z這里 X 和S分別是樣本X( t ) (t =1, , n)的樣本均值和樣本協方差陣.2當a固定而sz = a¢ S a未知時,m z= a¢ m 的置信度為1-a 的置信區(qū)間可根據t統(tǒng)計量得到t = Z - mz= n(a¢X - a¢m)a¢Saszn于是a¢ m 的置信區(qū)間為(n-