數(shù)學(xué)建模微分方程模型PPT課件

1、微分方程模型微分方程模型2 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長3 如何施救藥物中毒如何施救藥物中毒4 人口預(yù)測和控制模型人口預(yù)測和控制模型1 目標(biāo)跟蹤問題目標(biāo)跟蹤問題動態(tài)動態(tài)模型模型 描述對象特征隨時間描述對象特征隨時間(空間空間)的演變過程的演變過程. 分析對象特征的變化規(guī)律分析對象特征的變化規(guī)律. 預(yù)報對象特征的未來性態(tài)預(yù)報對象特征的未來性態(tài). 研究控制對象特征的手段研究控制對象特征的手段. 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè). 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立

2、微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.1 目標(biāo)跟蹤問題目標(biāo)跟蹤問題 設(shè)位于坐標(biāo)原點的甲艦向位于設(shè)位于坐標(biāo)原點的甲艦向位于x軸上點軸上點A(1, 0)處的乙艦處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù)常數(shù))沿平行于沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)，求導(dǎo)彈運行的曲線方程乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？彈運行的曲線方程乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？由(1),(2)消去t, 整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值條件為: 0)0(y 0)0( y解法二解法二(數(shù)值解法)1建立M

3、文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2 取x0=0，xf=09999，建立主程序如下： x0=0，xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) hold on y=0:001:2; plot(1,y,b*) 結(jié)論結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦）處擊中乙艦.2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y, y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組結(jié)果見圖導(dǎo)彈

4、大致在（1，02）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致返 回 結(jié)論：時刻結(jié)論：時刻t=021時，導(dǎo)彈在（時，導(dǎo)彈在（1，021）處擊中乙艦）處擊中乙艦背景背景 年份年份 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年份年份 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長2 如何

5、預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長做出較準(zhǔn)確的預(yù)報做出較準(zhǔn)確的預(yù)報 建立人口數(shù)學(xué)模型建立人口數(shù)學(xué)模型 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾塞斯馬爾塞斯1798年年提出提出常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時刻時刻t的的人口人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口人口(相對相對)增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0d,(0)dxrxxxt0( )(e )rtx txtrx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長. 與常用公式的一致與常用公式的一致?rtextx

6、0)(指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合. 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代. 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測. 不符合不符合1919世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律. . 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程. .1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長模型阻滯增長模型Logistic 模型模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的

7、原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)()(mxxrxr1r是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxrddxrxtd( )dxr x xtdx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢增加先快后慢xmx0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )1 (mxxrx)1()

8、(mxxrxr指數(shù)增指數(shù)增長模型長模型Logistic 模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長規(guī)律經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長規(guī)律( (耐用消費品的售量耐用消費品的售量).). 種群數(shù)量模型種群數(shù)量模型 (魚塘中的魚群魚塘中的魚群, 森林中的樹木森林中的樹木).S形曲線形曲線參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)必須先估計模型參數(shù) r 或或 r, xm .模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報 arty指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型0( )ertx tx阻滯增長模型阻滯增長模型d(1)dmxxrxtxsxryd /d,mx

9、txrysxx tx0ln,lnxaxy由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用線性最小二乘法線性最小二乘法作參數(shù)估計作參數(shù)估計例：美國人口數(shù)據(jù)例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬百萬) t 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 r =0.2022/10年，x0 =6.0450 模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型阻滯增長模型阻滯增長模型r=0.2557/10年，xm =392.0886 年年實際實際人口人口計算人口計算人口(指數(shù)增長模型指數(shù)增長模

10、型)計算人口計算人口 (阻滯增長模型阻滯增長模型)17903.96.03.918001960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.10510152025010020030040050005101520050100150200250300指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型阻滯增長模型阻滯增長模型用模型計算用模型計算2000年美國人口年美國人口/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx誤差約誤差約2.5%與實際數(shù)據(jù)比較與實際數(shù)據(jù)

11、比較(2000年年281.4)=274.5模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報 為作為作模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗在參數(shù)估計時未用在參數(shù)估計時未用2000年實際數(shù)據(jù)年實際數(shù)據(jù)加入加入2000年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 預(yù)報預(yù)報美國美國2010年人口年人口 美國人口普查局美國人口普查局2010年年12月月21日公布：截止到日公布：截止到2010年年4月月1日日美國總?cè)丝跒槊绹側(cè)丝跒?.087億億.預(yù)報誤差不到預(yù)報誤差不到1%！場景場景3 如何施救藥物中毒如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室兩位家長帶著

12、孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片片治療哮喘病、劑量治療哮喘病、劑量100mg/片片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀. 按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100200mg ，兒童是兒童是35 mg/kg.過量服用可使血藥濃度過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量單位血液容積中的藥量)過高，過高，100g/ml濃度會出現(xiàn)濃度會出現(xiàn)嚴(yán)重中毒嚴(yán)重中毒, 200g/ml濃度可致命濃度可致命. 醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達(dá)到醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃

13、度會不會達(dá)到100200 g/ml；如；如果會達(dá)到，應(yīng)采取怎樣的果會達(dá)到，應(yīng)采取怎樣的緊急施救緊急施救方案方案. 調(diào)查與分析調(diào)查與分析轉(zhuǎn)移率轉(zhuǎn)移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃腸道胃腸道血液系統(tǒng)血液系統(tǒng)口服藥物口服藥物體外體外認(rèn)為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將認(rèn)為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個房室，建立血液系統(tǒng)看作一個房室，建立“一室模型一室模型” .藥量藥量x(t)藥量藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥物的吸收率血液系統(tǒng)對藥物的吸收率 (胃腸道到血液系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移率胃腸道到血液系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移率) 和排和排除率可以由除率可以由半衰期半衰期確定確定.

14、半衰期半衰期可以從藥品說明書上查到可以從藥品說明書上查到. 通常，血液總量約為人體體重的通常，血液總量約為人體體重的7 % 8%，體重，體重5060 kg的成年人有的成年人有4000ml左右的血液左右的血液. 目測這個孩子的體重約為成年人的一半，可認(rèn)目測這個孩子的體重約為成年人的一半，可認(rèn)為其血液總量約為為其血液總量約為2000ml. 調(diào)查與分析調(diào)查與分析血藥濃度血藥濃度=藥量藥量/血液總量血液總量 口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的原來（人體自身）的2倍倍. 臨床施救的辦法：臨床施救的辦法： 體外血液透析，藥物排除率可增

15、加到原來的體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但倍，但是安全性不能得到充分保證是安全性不能得到充分保證.模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 胃腸道中藥物向血液的轉(zhuǎn)移率與胃腸道中藥物向血液的轉(zhuǎn)移率與x(t) 成正比，比例系成正比，比例系數(shù)數(shù)(0)，總劑量，總劑量1100 mg藥物在藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道瞬間進(jìn)入胃腸道.2. 血液系統(tǒng)中藥物的排除率與血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t) 成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù)(0)，t=0時血液中無藥物時血液中無藥物.3. 氨茶堿被吸收的半衰期為氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為，排除的半衰期為6 h. 4. 孩子的血液總量為孩子的血液總量為200

16、0 ml. 胃腸道中藥量胃腸道中藥量x(t), 血液系統(tǒng)中藥量血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間，時間t以以孩子誤服藥的時刻為起點（孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）. 模型建立模型建立x(t)下降速度與下降速度與x(t)成正比成正比(比例系數(shù)比例系數(shù)), 總劑量總劑量1100mg藥物在藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道瞬間進(jìn)入胃腸道.轉(zhuǎn)移率轉(zhuǎn)移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃腸道胃腸道血液系統(tǒng)血液系統(tǒng)口服藥物口服藥物體外體外藥量藥量x(t)藥量藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是由吸收而增長的速度是x，由排除而減少的速度與，由排除而減少的速度與y(t) 成成正比正比(比例系數(shù)比例系數(shù)) ,

17、t=0時血液中無藥物時血液中無藥物.d,(0)0dyxyytd,(0)1100dxxxt 模型模型求解求解 d,(0)1100dxxxt 藥物吸收的半衰期為藥物吸收的半衰期為5 h ( )1100etx t(ln2)/50.1386(1/h)51100e1100/22/ )0()5(xxddyxyt1100 ety 0)0(y藥物排除的半衰期為藥物排除的半衰期為6 h 1100( )(ee)tty t只考慮血液對藥物的排除只考慮血液對藥物的排除2/)6(,)(ayay()( )ety taddyyt (ln2)/60.1155(1/h)0.1386( )1100etx t0.11550.138

18、6( )6600(ee)tty t0510152025020040060080010001200t(h)x,y(mg)x(t)y(t)血液總量血液總量2000ml血藥濃度血藥濃度200g/ml結(jié)果及分析結(jié)果及分析 胃腸道藥量胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度血藥濃度100g/mly(t) =200mg嚴(yán)重中毒嚴(yán)重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時施救，孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時施救，約約3h3h后將致命！后將致命！y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使藥物排除率口服活性炭使藥物排除率增

19、至原來的增至原來的2倍倍. d,2,1100e,(2)236.5dtzxztxzt孩子到達(dá)醫(yī)院孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作就開始施救，血液中藥量記作z(t) 0.13860.2310( )1650e1609.5e,2ttz tt=0.1386 (不變)， =0.11552=0.2310 施救方案施救方案 0510152025020040060080010001200t(h)x,y,z(mg)x(t)y(t)z(t)t=5.26z=318 施救后血液中藥量施救后血液中藥量z (t)顯著低于顯著低于y(t). z (t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平. 要使要使z (t)

20、在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少應(yīng)為至少應(yīng)為0.4885. 若采用體外血液透析，若采用體外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定. 偏微分方程與數(shù)學(xué)模型2022-3-2濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院24偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations）指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)以及其他自然科學(xué)、指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)以及其他自然科學(xué)、技術(shù)科

21、學(xué)、管理科學(xué)、甚至社會科學(xué)等的研究中歸技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、甚至社會科學(xué)等的研究中歸納出來的一些含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程納出來的一些含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程2022-3-2濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院25什么是偏微分方程？什么是偏微分方程？ 2022-3-2濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院26物理量物理量( (如位移、溫度等如位移、溫度等)-)-時間、空間位置時間、空間位置 u),(,321xxxxt-),(),(321xxxtuxtuu物理量的變化規(guī)律物理量的變化規(guī)律)(等式系式的各階偏導(dǎo)數(shù)滿足的關(guān)及關(guān)于函數(shù)xtu( (偏微分方程偏微分方程) ) 例子 2022-3-2濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院270:

22、),() 1 (yuyxuu0: ),()2(xyuyxuu)(),(: ),()3(為已知函數(shù)wyxwuyxuuxy)()(為任意函數(shù)fxfu ),)()(為任意連續(xù)可微函數(shù)gfygxfu),()()(),(00為任意連續(xù)可微函數(shù)gfygxfdsdttswuxxyy 研究內(nèi)容研究內(nèi)容 2022-3-2濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院28一般規(guī)律一般規(guī)律+ + 定解條件定解條件( (初始條件、邊界條件初始條件、邊界條件) ) 定解問題定解問題 定解問題的適定性：定解問題的適定性：存在性（存在性（ExistenceExistence） 唯一性（唯一性（UniquenessUniqueness） 穩(wěn)定性（穩(wěn)

23、定性（StabilityStability）+ + 附加條件附加條件方程方程4 人口預(yù)測和控制人口預(yù)測和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對于人口預(yù)測的重要性年齡分布對于人口預(yù)測的重要性. 只考慮自然出生與死亡，不計遷移只考慮自然出生與死亡，不計遷移.人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)

24、年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(), 0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程p0(r)已知函數(shù)已知函數(shù)(人口調(diào)查人口調(diào)查)f(t)生育率生育率(控制人口手段控制人口手段)(0rp)(tf0trrt rt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),(

25、)(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(

26、trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過大不過大控制控制 (t)不過高不過高5 煙霧的

27、擴(kuò)散與消失煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問題問題 炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域成圓形不透光區(qū)域. 不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失. 建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系析消失時間與各因素的關(guān)系.問題問題分析分析 無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化. 觀察到的煙霧消失與煙霧對光線的吸收、觀察

28、到的煙霧消失與煙霧對光線的吸收、以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān).gradCkq模型模型假設(shè)假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律.2）光線穿過煙霧時光強(qiáng)的相對減少與煙霧）光線穿過煙霧時光強(qiáng)的相對減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng).3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定明暗界限由儀器靈敏度決定.模型模型建立建立1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比向面積的流量與濃度梯度成正比. . )(gradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通過,ttt內(nèi)煙霧改變量sVdVqdivdnq曲面積分曲面積分奧氏公式奧氏公式1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxCVdVgradCdivk)(12QQ的微分形式，并利用積分中值定理的微分形式，并利用積分中值定理222222zCyCxCkktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxz