淺談初中數(shù)學(xué)綜合題解題能力的培養(yǎng)（帶摘要）

1、中學(xué)數(shù)學(xué)3003字淺談初中數(shù)學(xué)綜合題解題能力的培養(yǎng)連城縣文新中學(xué)羅培兵摘要：一道綜合題所涉及知識點多，解題過程復(fù)雜，既考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解與掌握，又考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力，其核心是考察學(xué)生對數(shù)學(xué)思想、方法的領(lǐng)悟與運用。本文從雙基能力培養(yǎng)以及思維方法的領(lǐng)悟淺談在教學(xué)實踐過程中如何提高和培養(yǎng)學(xué)生對綜合題的解題能力。關(guān)鍵詞：雙基能力數(shù)學(xué)思想俗話說“萬丈高樓平地起”，要做好綜合題，如果沒有打好扎實的基礎(chǔ)，而一味地去研究綜合問題，那就本末倒置，不會有滿意的效果的。綜合題雖“高于教材”，但源于教材題目的引伸、變形或組合，日常教學(xué)以課本為主，深鉆教材，對所涉及的概念、公式、公理、定理

2、等基礎(chǔ)知識進行歸納整理，使之形成自己的知識網(wǎng)絡(luò)，做到理清知識結(jié)構(gòu)，形成整體知識，并能綜合運用。如在幾何綜合題中常見形如“點P在線段AB上”、“點P在射線AB上”、“點P在直線AB上”的描述，這對圖形的變化情況有著很大的區(qū)別，不注意往往會造成漏解的情況發(fā)生；又如在平面直角坐標系中，對于形如“直線”、“直線”、或“直線”的條件，要挖掘這其中的隱含條件，即這些直線與軸所夾的銳角分別為30°、45°、60°等等。綜合題所涉及的知識面較寬，解題過程較復(fù)雜，解題方法較靈活，因此有一定的難度。那么如何探究一道綜合題？下面結(jié)合一道中考壓軸題進行說明。（2014龍巖）如圖，在ABC

3、中，AB=AC=10，BC=12，D，E分別是邊BC，AB的中點，P是BC邊上的動點（不與B，C重合）設(shè)BP=x（）當x=6時，求PE的長；（）當BPE是等腰三角形時，求x的值；（）當AD平分EP時，試判斷以EP為直徑的圓與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由【考點分析】直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形；勾股定理；直線和圓有位置關(guān)系。思考一：審題思考，把握好“三性”審題是解題的開始，也是解題的關(guān)鍵。審題過程中，要把握好“三性”：（）目的性：明確解題結(jié)果的每一步驟分項目標和終極目標；（）準確性：提高概念把握的準確性和運算的準確性；（）隱含性：注意題設(shè)條件的隱含性。學(xué)生審題能力的高低會直接

4、影響解答的結(jié)果。因此，在教學(xué)過程中重視培養(yǎng)學(xué)生的正確審題習(xí)慣，注意分析學(xué)生產(chǎn)生審題障礙的原因，尋找對策，培養(yǎng)學(xué)生審題能力?！舅悸贩治觥繂栴}（1）：如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PE=AB=5；問題（2）：易得BE=5，分類討論：當BP=BE=5，易得x=5；當EP=EB，作EMBD于M，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BM=PM，由點E為AB的中點，EMAD得到M點為BD的中點，則PB=BD=6，即x=6；當PB=PE，如圖2，作PNBE于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BN=EN=BE=，再證明RtBPNRtBAP，由相似可計算出PB=，即x=；問題（3）：EP交AD于O，作OHAC于H，E

5、FAD于F，如圖3，在RtABC中，利用勾股定理計算出AD=8，由點E為AB的中點，EFBD得到EF為ABD的中位線，則EF=BD=3，AF=DF=AD=4，再利用“AAS”證明OEFOPD，則OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在RtOEF中，根據(jù)勾股定理計算出OE=，證明RtAOHRtACD，利用相似比計算出OH=，再比較OE與OH的大小，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進行判斷思考二：分析思考，要學(xué)會“三轉(zhuǎn)”（）語言轉(zhuǎn)換能力：每個數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成，解題時要能將這三種語言相互轉(zhuǎn)化；（）概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題常常需要將一個數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)換為具體

6、的表示方法或與之相關(guān)的其它問題，如在“試判斷以EP為直徑的圓與直線AC的位置關(guān)系”此題中，將問題轉(zhuǎn)化為“比較（半徑）與圓心到直線的距離”；（）數(shù)形轉(zhuǎn)換能力：解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上找出解題思路，運用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會出現(xiàn)漏洞?！舅枷敕椒ā繑?shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化思想，方程思想思考三：方法思考，重視其“通法”“通法”就是每一類問題的共性解法，進一步就是去感悟數(shù)學(xué)的思想方法。在初中階段，我們要增強對四個基本數(shù)學(xué)思想的理解：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想。形象的比喻：“轉(zhuǎn)化是我們的大腦，分類是我們

7、的眼睛，數(shù)形是我們的雙手，方程是我們的腳！”“數(shù)形”相輔：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的?！胺匠獭睘槁罚悍匠趟枷胩骄繑?shù)學(xué)問題的一個基本工具，貫穿在數(shù)學(xué)思考的整個過程中，主要應(yīng)用在求未知量、建立函數(shù)關(guān)系等問題。構(gòu)建方程的關(guān)鍵是找出包含未知量的等量關(guān)系，在初中主要利用勾股定理、平行線

8、截得比例線段（或三角形相似）、幾何圖形的基本性質(zhì)（如周長公式、面積公式、垂直平分線的性質(zhì)等）等方法（如下圖）。 “分類”在心：對問題的條件或結(jié)論的多變性進行考察和探究，常常出現(xiàn)在動態(tài)問題，為此，我們需要化動為靜，分類畫圖，構(gòu)建方程，個個擊破。（）情況不確定，如“等腰三角形”、“直角三角形”等；（）運動變化的問題，觀察動點運動的路線是否有變化或圖形的形狀是否改變等；（）某些圖形構(gòu)成的語言，如“以A、B、C為頂點的三角形與某三角形相似”、“以A、B、C、D為頂點的菱形”等?！稗D(zhuǎn)化”致勝：數(shù)學(xué)是一門增強邏輯思維的學(xué)科，對數(shù)學(xué)問題中的每一個條件與結(jié)論，逐個進行推導(dǎo)轉(zhuǎn)化，逐漸由已知向未知、復(fù)雜向簡單進行

9、演化。思考數(shù)學(xué)問題時，要將已知條件進行正向轉(zhuǎn)化，找到條件中隱藏的真實面目，即“還原真實面目”；有時候要將結(jié)論進行逆向轉(zhuǎn)化，追根尋源，找到解決問題所需的條件在哪里？需要什么條件？有時，還可以正向與逆向同步推進，尋找兩者的結(jié)合?！驹囈辉嚒咳鐖D，等邊邊長為4，是邊上動點，于H，過作，交線段于點，在線段上取點，使.設(shè).（）請直接寫出圖中與線段相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；（）是線段上的動點，當四邊形是平行四邊形時，求平行四邊形的面積（用含的代數(shù)式表示）；（）當（）中 的平行四邊形面積最大值時，以E為圓心，為半徑作圓，根據(jù)E與此時平行四邊形四條邊交點的總個數(shù)，求相應(yīng)的的取值范圍.點評：對于此類問題，順其自然，逐步做答，從特殊中思考一般的規(guī)律。一般情況下，綜合題會設(shè)計一連串的問題，層層遞進，在問題的解答過程中考察思維活動過程，體現(xiàn) “低起點、坡度緩、步步高”的分層考查的特點。綜合題不僅是知識上的