[高三數(shù)學(xué)]高中數(shù)學(xué)必修2知識點和例題講義

1、第1講 第1章 §1.1.1 柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征¤知識要點：結(jié) 構(gòu) 特 征圖例棱柱（1）兩底面相互平行，其余各面都是平行四邊形；（2）側(cè)棱平行且相等.圓柱（1）兩底面相互平行；（2）側(cè)面的母線平行于圓柱的軸；（3）是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體.棱錐（1）底面是多邊形，各側(cè)面均是三角形；（2）各側(cè)面有一個公共頂點.圓錐（1）底面是圓；（2）是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體.棱臺（1）兩底面相互平行；（2）是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分.圓臺（1）兩底面相

2、互平行；（2）是用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分.球（1）球心到球面上各點的距離相等；（2）是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.1.下列說法錯誤的是（ ）A.多面體至少有四個面 B.九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C.長方體、正方體都是棱柱 D.三棱柱的側(cè)面為三角形 答案：D2.一個棱柱有10個頂點，所有的側(cè)棱長的和為60 cm，則每條側(cè)棱長為_ cm. 答案：123.在本節(jié)我們學(xué)過的常見幾何體中,如果用一個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個幾何體可能是_.答案：棱錐、棱柱、棱臺、圓錐第2講 §1.1.2 簡單組合體

3、的結(jié)構(gòu)特征¤例題精講：【例1】在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 選D.【例2】已知球的外切圓臺上、下底面的半徑分別為，求球的半徑. 解：圓臺軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，由此得梯形腰長為R+r，梯形的高即球的直徑為，所以，球的半徑為.第3講 §1.2.2 空間幾何體的三視圖¤例題精講：【例1】畫出下列各幾何體的三視圖：解：【例2】畫出下列三視圖所表示的幾何體.解：【例3】如圖，圖（1）是常見的六角螺帽，圖（2）是一個機器零件（單位：cm），所給的方向為物體的正前方. 試分別畫出它們的三視圖.解第第

4、4講 §1.2.3 空間幾何體的直觀圖¤知識要點：“直觀圖”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實質(zhì)就是在坐標系中確定點的位置的畫法. 基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角坐標系，直觀圖中畫成斜坐標系，兩軸夾角為.(2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x或y軸的線段.（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.第5講 §1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積¤學(xué)習(xí)目標：了解棱柱、棱錐、臺的表面積的計算公

5、式（不要求記憶公式）；能運用柱、錐、臺的表面積進行計算和解決有關(guān)實際問題.¤知識要點：表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長）棱臺圓臺（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長）¤例題精講：【例1】已知圓臺的上下底面半徑分別是2、5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.解：【例2】一個正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個正三棱柱的表面積.解：.第6講 §1.3.1 柱體、錐體、臺體的體積¤知識要點：1. 體積公式：體積公式體積公式棱柱圓柱棱錐圓錐棱臺圓臺2. 柱、椎、臺之間，可以看成一個

6、臺體進行變化，當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為一個點時，它就成了錐體；當(dāng)臺體的上底面逐漸擴展到與下底面全等時，它就成了柱體. 因而體積會有以下的關(guān)系： .¤例題精講：【例1】一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2、3、6，則長方體的體積是 .解：設(shè)長方體的長寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長方體的體積為6.【例2】一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域. 解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為.在中，, 所以, 于是.依題意函數(shù)的定義域為.【例3】一個無蓋

7、的圓柱形容器的底面半徑為，母線長為6，現(xiàn)將該容器盛滿水，然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出，當(dāng)容器中的水是原來的時，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為 .解：容器中水的體積為.流出水的體積為，如圖，.設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為，則，解得.第7講 §1.3.2球的體積和表面積¤知識要點：1. 表面積： （R：球的半徑）. 2. 體積：.¤例題精講：【例2】表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積.解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為，則作軸截面如圖，又，.【例3】設(shè)A、B、C、D是球面上的四個點，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該

8、平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（ ）. ABCD【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一個小圓上. AB=BC=CD=DA=3， 四邊形為正方形. 小圓半徑. 由得，解得. 球的體積. 所以選A.第8講 §2.1.1 平面¤知識要點：1. 點在直線上,記作；點在平面內(nèi),記作；直線在平面內(nèi),記作.2. 平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的

9、公共直線.符號語言3.公理2的三條推論：推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面； 推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.¤例題精講：【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？【例2】空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，已知EF和GH交于P點，求證：EF、GH、AC三線共點. 解：PEF，EF面ABC，P面ABC. 同理P面ADC. P在面ABC與面ADC的交線上，又 面ABC面ADC=AC， PAC，即EF、HG、AC三線共點.【例3】求證：兩兩相交且不過同

10、一個點的三條直線必在同一平面內(nèi).已知：直線兩兩相交，交點分別為，求證：直線共面. 證明：因為A，B，C三點不在一條直線上，所以過A，B，C三點可以確定平面 因為A，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直線共面【例4】在正方體中，（1）與是否在同一平面內(nèi)？（2）點是否在同一平面內(nèi)？（3）畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線. 解：（1）在正方體中， 由公理2的推論可知，與可確定平面，與在同一平面內(nèi). （2）點不共線，由公理3可知，點可確定平面， 點在同一平面內(nèi). （3）， 點平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面第9講 §2.1.2 空間中直線與直線之

11、間的位置關(guān)系¤知識要點：1.空間兩條直線的位置關(guān)系：2. 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）. 所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，為了簡便，點通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作. 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點平移定角計算.¤例題精講：【例1】已知異面直線a和b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有（ ）. A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條解：過P作a，b

12、，若Pa，則取a為，若Pb，則取b為這時，相交于P點，它們的兩組對頂角分別為50°和130°. 記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成30°的直線 過點P與，都成30°角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成對頂角的平分線其中射影是50°對頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130°對頂角平分線的直線不存在故答案選B.【例2】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點. （1）求證：D、B、F、E四點共面；（2）若A1C與面DBFE交于點R，求證：P、Q、R三點共線.

13、證明：（1） 正方體中，. 又 中，E、F為中點， . , 即D、B、F、E四點共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三點共線【例3】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因為a/b，由公理2的推論，存在平面，使得.又因為直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則, 在平面內(nèi)過點C作，因為b/c，則，此與矛盾. 故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面.【例4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點.（1）求直線AB1和CC1所成的角的大?。唬?）求直線AB1和EF所成的角的大小

14、.解：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和CC1所成的角是45°.（2）如圖，連結(jié)DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角. A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60º，即直線AB1和EF所成的角是60º.第10講 §2.1.3 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系¤知識要點：1. 直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；（2）直線與平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線

15、與平面平行（沒有公共點）. 分別記作：；.2. 兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點）；相交（有一條公共直線）.分別記作；.¤例題精講：【例1】已知空間邊邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小. 解：分別取AC、AD、BC的中點P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90°.異面直線AB、CD成90°角.【例2】在空間四邊形ABCD中

16、，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是CB、CD的中點，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四邊形EFGH是平行四邊形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點，且.求證：（1）E、F、G、H四點共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點. 證明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分別是AB和CD的中點， EHBD.又 ， FGBD. EHFG. 所以，E、F、G、H四點共面.第11講 §2.2.1 直線與平面平行的判定¤知識要點：1. 定義：直線和平面沒有公共點，則直線

17、和平面平行.2. 判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行. 符號表示為：. 圖形如右圖所示.¤例題精講：【例1】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E、F分別為AB、PD的中點，求證：AF平面PEC證明：設(shè)PC的中點為G，連接EG、FG. F為PD中點， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E為AB中點， GFAE， GF=AE， 四邊形AEGF為平行四邊形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點. 求證：EF平面BB1

18、D1D. 證明：連接AC交BD于O，連接OE，則OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F為D1C1的中點，ABC D E F GM O OED1F， OE=D1F， 四邊形D1FEO為平行四邊形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， EF平面BB1D1D.【例3】如圖，已知、分別是四面體 的棱、的中點，求證：平 面. 證明：如右圖，連結(jié)，交于點，連結(jié)，在中，、分別是、中點， ，為中點， 為中點，在中，、為、中點， ，又平面，平面， 平面.點評：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了. 注意適當(dāng)添加輔助線，重視

19、中位線在解題中的應(yīng)用.【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中點H，連接AH，由N是PC的中點， NH. 由M是AB的中點， NHAM， 即AMNH為平行四邊形. . 由， .（2） 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是異面直線PA與MN所成的角，且MONO. 由，, 得OM=2，ON=所以，即異面直線PA與MN成30°的角點評：已知中點，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行. 求兩條異面直線

20、所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.第12講 §2.2.2 平面與平面平行的判定¤知識要點：面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行用符號表示為：.¤例題精講：【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點，求證：平面MNP平面A1BD.A1AB1BC1CD1DGEF證明：連結(jié)B1D1，P、N分別是D1C1、B1C1的中點， PNB1D1.又B1D1BD，PNBD. 又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN

21、平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1平面FBD 證明：（1）由B1BDD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1BD，又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中點G，AEB1G從而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB1D1平面F

22、BD 【例3】已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. 證明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD為平行四邊形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC.由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.點評：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行.

23、一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.第13講 §2.2.3 直線與平面平行的性質(zhì)¤知識要點：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 即：.¤例題精講：【例1】經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1EB1B證明： ， .又 ， .則.【例2】如圖，求證：.ABCD證明：連結(jié)，直線和可以確定一個平面，記為， 又， 四邊形為平行四邊形， .第14講 §2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì)¤知識要點：1. 面面平行的性質(zhì)：如果兩

24、個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行. 用符號語言表示為：.2. 其它性質(zhì)：； ；夾在平行平面間的平行線段相等.¤例題精講：【例1】如圖，設(shè)平面平面，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、C，B、D. 求證：MN. 證明：連接BC，取BC的中點E，分別連接ME、NE，則MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如圖，A，B，C，D四點都在平面a，b外，它們在a內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行

25、四邊形 證明： A，B，C，D四點在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，A，B，C，D四點共面又A，B，C，D四點在a內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD與平面ABB1A1，平面CDD1C1的交線ABCD同理ADBC 四邊形ABCD是平行四邊形第15講 §2.3.1 直線與平面垂直的判定¤知識要點：1. 定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作. 平面的垂線，直線的垂面，它們的唯一公共點叫做垂足.（線線垂直線面垂直）2. 判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交

26、直線都垂直，則這條直線與該平面垂直. 符號語言表示為：若，B，Ì，Ì，則3. 斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角. 求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作（作出線面角）證（證所作為所求）求（解直角三角形）”. 通常，通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.¤例題精講：【例1】四面體中，分別為的中點，且，求證：平面. 證明：取的中點，連結(jié)，分別為的中點，.又，在中，又，即，平面.【例2】已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，

27、E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中點F，連接EF交平面于O，連AO.由已知正方體，易知平面，所以為所求.在中，.所以直線AE與平面所成的角的正弦值為.【例3】三棱錐中，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面ABC的垂心.證明：連接OA、OB、OC， 平面ABC， .又 ， ，得, O為底面ABC的垂心.點評：此例可以變式為“已知，求證”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到后進行證明. 三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可按同樣的思路證出.第16講 §2.3.2 平面與平面垂直的判定¤知識要點：1. 定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖

28、形叫二面角（dihedral angle）. 這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面. 記作二面角. （簡記）2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角. 范圍：.3. 定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直. 記作.4. 判定：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. （線面垂直面面垂直）¤例題精講：【例1】已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P.

29、（1）求證：APEF；（2）求證：平面APE平面APF.證明：（1）如右圖，APE=APF=90°，PEPF=P， PA平面PEF. EF平面PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90°，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.【例2】如圖, 在空間四邊形ABCD中， 分別是的中點，求證：平面平面. 證明：為AC中點，所以. 同理可證 面BGD. 又易知EF/AC，則面BGD. 又因為面BEF，所以平面平面.第17講 §2.3.3 線面、面面垂直的性質(zhì)¤知識要點：1. 線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行. （

30、線面垂直線線平行）2. 面面垂直性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直. 用符號語言表示為：若，則.（面面垂直線面垂直）¤例題精講：ACBa【例1】把直角三角板ABC的直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊AC與桌面所在的平面垂直，a是內(nèi)一條直線，若斜邊AB與a垂直，則BC是否與a垂直？解：注：若BC與a垂直，同理可得AB與a也垂直，其實質(zhì)是三垂線定理及逆定理，證明過程體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法： “線線垂直線面垂直線線垂直”.【例2】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA平面ABC. （1）求證：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圓周上一點，

31、且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面. 解：（1）證明：C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，AB是圓O的直徑， BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，從而BC平面PAC. BC 平面PBC， 平面PAC平面PBC.（2）平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD.第18講 第3章 §3.1.1 傾斜角與斜率¤知識要點：1. 當(dāng)直線l與x軸相交時，我們把x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時, 我們規(guī)定它的傾斜角為0

32、6;. 則直線l的傾斜角的范圍是.2. 傾斜角不是90°的直線的斜率，等于直線的傾斜角的正切值，即. 如果知道直線上兩點，則有斜率公式. 特別地是，當(dāng)，時，直線與x軸垂直，斜率k不存在；當(dāng)，時，直線與y軸垂直，斜率k=0.注意：直線的傾斜角=90°時，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合. 當(dāng)=90°時，斜率k=0；當(dāng)時，斜率，隨著的增大，斜率k也增大；當(dāng)時，斜率，隨著的增大，斜率k也增大. 這樣，可以求解傾斜角的范圍與斜率k取值范圍的一些對應(yīng)問題.¤例題精講：【例2】已知過兩點, 的直線l的傾斜角為45°，求實數(shù)的值.解： ， ，解得 或.

33、但當(dāng)時，A、B重合，舍去 【例3】已知三點A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一條直線上，求實數(shù)a的值解: ， . A、B、C三點在一條直線上， ， 即， 解得或.第19講 §3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定¤知識要點：1. 對于兩條不重合的直線 、，其斜率分別為、，有：（1）Û；（2）Û.2. 特例：兩條直線中一條斜率不存在時，另一條斜率也不存在時，則它們平行，都垂直于x軸；.¤例題精講：【例1】四邊形ABCD的頂點為、，試判斷四邊形ABCD的形狀.解：AB邊所在直線的斜率，CD邊所在直線的斜率,BC邊所在直線的斜率，DA邊所

34、在直線的斜率, ， AB/CD，BC/DA，即四邊形ABCD為平行四邊形.又 ， ABBC，即四邊形ABCD為矩形.【例2】已知的頂點，其垂心為，求頂點的坐標解：設(shè)頂點A的坐標為 ， ， 即 ，化簡為，解之得：. A的坐標為.【例3】（1）已知直線經(jīng)過點M（-3，0）、N（-15，-6），經(jīng)過點R（-2，）、S（0，），試判斷與是否平行？（2）的傾斜角為45°，經(jīng)過點P（-2，-1）、Q（3，-6），問與是否垂直？點評：當(dāng)與的斜率存在時，. 斜率不存在時，進行具體的分析. 由此先計算出斜率，根據(jù)斜率的相等或互為負倒數(shù)，從而判別平行或垂直.第20講 §3.2.1 直線的點斜式

35、方程¤知識要點：1. 點斜式：直線過點,且斜率為k，其方程為.2. 斜截式：直線的斜率為k，在y軸上截距為b，其方程為.3. 點斜式和斜截式不能表示垂直x軸直線. 若直線過點且與x軸垂直,此時它的傾斜角為90°，斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示，這時的直線方程為，或. 4. 注意：與是不同的方程，前者表示的直線上缺少一點，后者才是整條直線.¤例題精講：【例1】寫出下列點斜式直線方程： （1）經(jīng)過點，斜率是4；（2）經(jīng)過點，傾斜角是.【例2】已知直線.（1）求直線恒經(jīng)過的定點；（2）當(dāng)時，直線上的點都在軸上方，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，易知時，所以直線恒經(jīng)

36、過的定點.（2）由題意得，解得.【例3】光線從點A（3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點 B（2，6），求射入y軸后的反射線的方程.解：A（3，4）關(guān)于x軸的對稱點A1（3，4）在經(jīng)x軸反射的光線上，同樣A1（3，4）關(guān)于y軸的對稱點A2（3，4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，k=2. 故所求直線方程為y6=2（x+2）， 即2x+y2=0.點評：由物理中光學(xué)知識知，入射線和反射線關(guān)于法線對稱. 光線的反射問題，也常常需要研究對稱點的問題. 注意知識間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透.【例4】已知直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程解：由已知得與兩坐標軸不垂直

37、直線經(jīng)過點， 可設(shè)直線的方程為，即.則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為.根據(jù)題意得，即.當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，此方程無實數(shù)解.故直線的方程為，或.即或.點評：已知直線過一點時，常設(shè)其點斜式方程，但需注意斜率不存在的直線不能用點斜式表示，從而使用點斜式或斜截式方程時，要考慮斜率不存在的情況，以免丟解. 而直線在坐標軸上的截距，可正、可負，也可以為零，不能與距離混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標軸上的截距.第21講 §3.2.2 直線的兩點式方程¤知識要點：1. 兩點式：直線經(jīng)過兩點，其方程為， 2. 截距式：直線在x、y軸上的截距分別為a、b，其

38、方程為.3. 兩點式不能表示垂直x、y軸直線；截距式不能表示垂直x、y軸及過原點的直線.4. 線段中點坐標公式.¤例題精講：【例1】已知頂點為，求過點且將面積平分的直線方程.解：求出中點的坐標，則直線即為所求，由直線方程的兩點式得，即.【例2】菱形的兩條對角線長分別等于8和6，并且分別位于x軸和y軸上，求菱形各邊所在的直線的方程解：設(shè)菱形的四個頂點為A、B、C、D，如右圖所示. 根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分可知，頂點A、B、C、D在坐標軸上，且A、C關(guān)于原點對稱，B、D也關(guān)于原點對稱.所以A(，0)，C（，0），B（0，3），D（0，3）. 由截距式，得直線AB的方程：1，即3xy

39、120；直線BC的方程：1, 即3xy120；直線AD方程：1, 即3 xy120；直線CD方程：1即3 xy120.第22講 §3.2.3 直線的一般式方程¤知識要點：1. 一般式：，注意A、B不同時為0. 直線一般式方程化為斜截式方程，表示斜率為，y軸上截距為的直線.2 與直線平行的直線，可設(shè)所求方程為；與直線垂直的直線，可設(shè)所求方程為. 過點的直線可寫為.經(jīng)過點，且平行于直線l的直線方程是；經(jīng)過點，且垂直于直線l的直線方程是.3. 已知直線的方程分別是：（不同時為0），（不同時為0），則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：（1）； （2）；（3）與重合； （4）與相交.如

40、果時，則；與重合；與相交. ¤例題精講：【例1】已知直線：，：，問m為何值時：（1）；（2）.解：（1）時，則，解得m0.（2）時，, 解得m1.【例2】（1）求經(jīng)過點且與直線平行的直線方程；（2）求經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程.解：（1）由題意得所求平行直線方程，化為一般式.（2） 由題意得所求垂直直線方程，化為一般式.【例3】已知直線l的方程為3x+4y12=0，求與直線l平行且過點（1，3）的直線的方程分析：由兩直線平行，所以斜率相等且為，再由點斜式求出所求直線的方程. 解：直線l:3x+4y12=0的斜率為， 所求直線與已知直線平行， 所求直線的斜率為，又由于所求直線過點（1

41、，3），所以，所求直線的方程為：，即.點評：根據(jù)兩條直線平行或垂直的關(guān)系，得到斜率之間的關(guān)系，從而由已知直線的斜率及點斜式求出所求直線的方程. 此題也可根據(jù)直線方程的一種形式而直接寫出方程，即，再化簡而得.第23講 §3.3.1 兩條直線的交點坐標¤知識要點：1. 一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組. 若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無數(shù)解，則兩條直線有無數(shù)個公共點，此時兩條直線重合.2. 方程為直線系，所有的直線恒過一個定點，其定點就是與的交點.¤例題精講：【例1】

42、判斷下列直線的位置關(guān)系. 如果相交，求出交點坐標.直線l1: , l2: .解：解方程組，消y得 .當(dāng)時，方程組無解，所以兩直線無公共點，/.當(dāng)時，方程組無數(shù)解，所以兩直線有無數(shù)個公共點，l1與l2重合.當(dāng)且，方程組有惟一解，得到， l1與l2相交.當(dāng)時，/；當(dāng)時，l1與l2重合；當(dāng)且，l1與l2相交，交點是.【例2】求經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線的直線方程.解：設(shè)所求直線的方程為，整理為. 平行于直線， ，解得.則所求直線方程為.第24講 §3.3.2 兩點間的距離¤知識要點：1. 平面內(nèi)兩點，則兩點間的距離為：.特別地，當(dāng)所在直線與x軸平行時，；當(dāng)所在直線與y軸平

43、行時，；當(dāng)在直線上時，.2. 坐標法解決問題的基本步驟是：（1）建立坐標系，用坐標表示有關(guān)量；（2）進行有關(guān)代數(shù)運算；（3）把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.¤例題精講：【例1】在直線上求一點，使它到點的距離為，并求直線的方程.解： 點在直線上， 可設(shè)，根據(jù)兩點的距離公式得,解得，直線PM的方程為，即.【例2】直線2xy4=0上有一點P，求它與兩定點A(4，1)，B(3，4)的距離之差的最大值.解：找A關(guān)于l的對稱點A，AB與直線l的交點即為所求的P點. 設(shè), 則，解得， 所以線段.【例3】已知AO是ABC中BC邊的中線，證明|AB|AC|=2（|AO|OC|）.解：以O(shè)為坐標原點

44、，BC為x軸，BC的中垂線為y軸，建立如圖所示坐標系xOy.yxB(-c,0)A(a,b)C(c,0)O設(shè)點A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),由兩點間距離公式得：|AB|=，|AC|=，|AO|=， |OC|=c. |AB|AC|=， |AO|OC|=. |AB|AC|=2（|AO|OC|）.第25講 §3.3.3 點到直線的距離及兩平行線距離¤知識要點：1. 點到直線的距離公式為.2. 利用點到直線的距離公式，可以推導(dǎo)出兩條平行直線，之間的距離公式，推導(dǎo)過程為：在直線上任取一點，則，即. 這時點到直線的距離為.¤例題精講：【例1】求過直線和的交點并且與

45、原點相距為1的直線l的方程.解：設(shè)所求直線l的方程為, 整理得.由點到直線的距離公式可知，, 解得.代入所設(shè)，得到直線l的方程為.【例2】在函數(shù)的圖象上求一點P，使P到直線的距離最短，并求這個最短的距離.解：直線方程化為. 設(shè), 則點P到直線的距離為.當(dāng)時，點到直線的距離最短，最短距離為.【例3】求證直線L：與點的距離不等于3.解：由點線距離公式，得=.假設(shè)，得到，整理得. ， 無實根. ，即直線L與點的距離不等于3.點評：此解妙在反證法思路的運用. 先由點線距離公式求出距離，然后從“距離不等于3”的反面出發(fā)，假設(shè)距離是3求m，但求解的結(jié)果是m無解. 從而假設(shè)不成立，即距離不等于3.另解：把直

46、線L：按參數(shù)m整理，得.由，解得. 所以直線L恒過定點.點P到直線L取最大距離時, PQL，即最大距離是PQ=. <3， 直線L與點的距離不等于3.點評：此解妙在運用直線系恒過一個定點的知識，其定點就是與的交點. 由運動與變化觀點，當(dāng)直線PQL時，點線距離為最大.第26講 第4章 §4.1.1 圓的標準方程¤知識要點：1. 圓的標準方程：方程表示圓心為A（a，b），半徑長為r的圓.2. 求圓的標準方程的常用方法：（1）幾何法：根據(jù)題意，求出圓心坐標與半徑，然后寫出標準方程；（2）待定系數(shù)法：先根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r的方程組，然后解出a、b、r，再代入標準方程.&#

47、164;例題精講：【例1】過點、且圓心在直線xy20上的圓的方程是（ ）.A.（x3）2（y1）24 B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24 D.（x1）2（y1）24解：由圓心在直線xy20上可以得到A、C滿足條件, 再把A點坐標（1，1）代入圓方程. A不滿足條件. 所以，選C.另解：設(shè)圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r, 因為圓心C在直線x+y2=0上, b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圓的方程為（x1）2+（y1）2=4. 選C.【例2】求下列各圓的方程：（1）過點，圓心在；（2）圓心在直

48、線上的圓C與y軸交于兩點解：（1）設(shè)所求圓的方程為. 則 ， 解得. 圓的方程為.（2）圓心在線段AB的垂直平分線上，代入直線得，圓心為，半徑. 圓C的方程為.【例3】推導(dǎo)以點為圓心，為半徑的圓的方程.解：設(shè)圓上任意一點，則.由兩點間的距離公式，得到.化簡即得圓的標準方程：第27講 §4.1.2 圓的一般方程¤知識要點：1. 圓的一般方程：方程 （）表示圓心是，半徑長為的圓. 2. 軌跡方程是指點動點M的坐標滿足的關(guān)系式.¤例題精講：【例1】求過三點A(2,2)、B(5,3)、C(3,1)的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為. 則， 解得. 圓的方程為.【例2】設(shè)方程

49、，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及圓心的軌跡方程. 解：配方得，該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為，消去m，得，由得x=m+3. 所求的軌跡方程是，第28講 §4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系¤知識要點：1. 直線與圓的位置關(guān)系及其判定： 方法一：方程組思想，由直線與圓的方程組成的方程組，消去x或（y），化為一元二次方程，由判別式符號進行判別；方法二：利用圓心（）到直線的距離，比較d與r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相離.2. 直線與圓的相切研究，是高考考查的重要內(nèi)容. 同時，我們要熟記直線與圓的各種方程、幾何性質(zhì)，也要掌握一些常用公式，例如點線距離公

50、式¤例題精講：【例1】若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2y22x0相切，則a的值為 .解：將圓x2y22x0的方程化為標準式：（x1）2y21, 其圓心為（1，0），半徑為1，由直線（1a）xy10與該圓相切，則圓心到直線的距離， a1. 【例2】求直線被圓所截得的弦長. （P144 練習(xí)1題）解：由題意，列出方程組，消y得，得，.設(shè)直線與圓交于點，則 =.另解：圓心C的坐標是，半徑長. 圓心到直線的距離.所以，直線被圓截得的弦長是.第29講 §4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系¤知識要點：兩圓的位置關(guān)系及其判定： 設(shè)兩圓圓心分別為，半徑分別為，則：（1）兩圓相交；

51、（2）兩圓外切；（3）兩圓內(nèi)切；¤例題精講：【例1】已知圓：，圓：（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在的直線方程.解：（1）圓的圓心為（3,0），半徑為，圓的圓心為（0，2），半徑為，又，圓與相交.（2）由，得公共弦所在的直線方程為.【例2】求經(jīng)過兩圓和的交點，并且圓心在直線上的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為，即, 則所求圓的圓心為.圓心在直線上，解得. 所求圓的方程為第30講 §4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用¤知識要點：坐標法：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼岛?，借助代?shù)方法把要研究的幾何問題，轉(zhuǎn)化為坐標之間的運算，由此解決幾何問題¤例題精講：【例1】有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離，A地的運費是B地運費的3倍已知A、B兩地相距10千米，顧客購物的標準是總費用較低，求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地解：建立使A(5，0)、B(5，0)的直角坐標系，設(shè)單位距離的運費是a元. 若在A地購貨費用較低，則：價格A地運費價格B地運費即 .a0， 8x28y2100x200y0.得(x)2y2()2 .兩地購物區(qū)域的分界線是以點C(，0)為圓心，為半徑的圓. 所以，在圓C內(nèi)的居民從A地購物便宜，圓C外的居民從B