高中數(shù)學(xué)排列組合

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上模塊九 排列與組合、二項式定理第一部分：排列、組合一。計數(shù)原理加法計數(shù)原理：如果完成一件事情可以分為m類，每一類的方法數(shù)分別是：N，N，N，.N,則完成這件事情共有N+N+N+.+N種方法。（又稱分類計數(shù)原理）乘法計數(shù)原理：如果完成一件事情須分為m步，每一步的方法數(shù)分別是：N，N，N，.N,則完成這件事情共有NNN.N種方法。（又稱分類計數(shù)原理）分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是計數(shù)問題的基本原理，它貫穿于全章學(xué)習(xí)的始終，體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即把問題分類解決和分步解決。正確區(qū)分和使用兩個原理是學(xué)好本章的關(guān)鍵，其核心是“完成一件事”是“分類”完成，還是“分

2、步”完成.二。排列數(shù)、組合數(shù)的定義 排列數(shù)：從n個元素中取出m個排成一列（即排入m個位置），共有種排法。A=n（n1）（n2）（nm+1）.特別的： 組合數(shù)：從n個元素中取出m個形成一個組合，共有種取法。 C=特別地：組合數(shù)的兩個性質(zhì)：（1）C=C； （2）C=C+C.三。解決排列、組合問題的四大原則及基本方法1. 特殊優(yōu)先原則該原則是指在有限制的排列組合問題中優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置范例甲、乙、丙三個同學(xué)在課余時間負(fù)責(zé)一個計算機房的周一至周六的值班工作，每天人值班，每人值班2天，如果甲同學(xué)不值周一的班，則可以排出不同的值班表有（ ）90種89種60種59種解析：特殊元素優(yōu)先考慮，甲同學(xué)不值

3、周一的班，則先考慮甲，分步完成：從除周一的5天中任取2天安排甲有種；從剩下的4天中選2天安排乙有種；僅剩2天安排丙有種由分步乘法計數(shù)原理可得一共有種，即選評注：特殊優(yōu)先原則是解有限制的排列組合問題的總原則，對有限制的元素和有限制的位置一定要優(yōu)先考慮2.先取后排原則該原則充分體現(xiàn)了的精神實質(zhì)，先組合后排列，從而避免了不必要的重復(fù)與遺漏范例將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有（）12種24種36種48種解析：先分組再排列：將4名教師分成3組有種分法，再將這三組分配到三所學(xué)校有種分法，由分步乘法計數(shù)原理知一共有種不同分配方案評注：先取后排原則也是解排列組合問題的總

4、原則，尤其是排列與組合的綜合問題若本例簡單分步：先從4名教師中取3名教師分給3所學(xué)校有種方法，再將剩下的1名教師分給3所學(xué)校有3種選擇，則共有種分配方案，則有明顯重復(fù)（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）因此，處理多元素少位置問題時一般采用先取后排原則3.正難則反原則若從正面直接解決問題有困難時，則考慮事件的對立事件，從不合題意要求的情況入手，再整體排除范例在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少取到件次品的不同取法的種數(shù)是（）解析：從100件次品中取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的對立事件是取到3件全部是正品，即從94件正品中取3件正品有種取法，所以滿足條件的不同取法是，故選如果從正面

5、考慮，則必須分取到1，2，3件次品這三類，沒有應(yīng)用排除法來得簡單而本例最易迷惑人的是：，即從6件次品中取1件確保了至少有1件次品，再從剩下的99件產(chǎn)品中任取2件即可事實上這樣分步并不相互獨立，第一步對第二步有明顯影響，設(shè)次品為，正品為甲乙丙丁戊則可以是甲，也可能是甲，因而重復(fù)評注：正難則反原則也是解決排列組合問題的總原則，如果從正面考慮不易突破，一般尋找反面途徑利用正難則反原則的語境有其規(guī)律，如當(dāng)問題中含有“至少”，“最多”等詞語時，易用此原則4.策略針對原則不同類型的排列、組合問題有著不同的應(yīng)對策略，不同的限制條件要采用不同的解題方法相鄰問題捆綁法（整體法），不相鄰問題插空法范例17人站成一

6、排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解析：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.范例2例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解析:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,

7、由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端合理分類直接分步法范例在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（）個 （）56575860解析：所有大于23145且小于43521的數(shù)由以下幾類構(gòu)成：由分類加法計數(shù)原理可得，一共有個，故選評注：合理分類與直接分步是兩個基本原理分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理最直接的體現(xiàn)，是解排列組合問題的最原始的方法諸多排列組合問題總是從合理分類，直接分步得到解決的順序一定消序法（用除法）范例17人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法

8、解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。范例2某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目中，那么不同插法的種數(shù)為（ ）42302012解析：新插入兩個節(jié)目，而原來的5個節(jié)目順序不變，從結(jié)果考慮，7個節(jié)目的全排列是，而順序不變的5個節(jié)目的全排列是，不變的順序是總體的，則一共有種不同的插入種數(shù)，故選A評注：某些元素順序不變的

9、排列用除法解決，即若共有n個元素，其中m個元素順序不變，則其不同的排列數(shù)為當(dāng)然本題可以這樣考慮：最終有7個節(jié)目位置，從7個位置中任選2個位置安排新增節(jié)目有種方法，其他5個位置按原5個節(jié)目的固定順序排列，因此共有種不同的插入方法對象相同（元素相同的排列、分配）隔板法范例10個相同的小球放到3個不同的盒中，每個盒不空，一共有_種不同的放法解析：10個相同的小球有9個空檔（確保盒子不空）從9個空檔中選2個空檔放入兩塊隔板，將小球分成三部分（每一種放檔板的放法對應(yīng)著10個小球分成3部分的分法），每部分一一對應(yīng)著一個不同的小盒因此一共有種不同的放法，即種四。幾個特殊問題1. 每個位置排入的元素個數(shù)不唯一

10、的排列范例1一輛公交車上有5個人，沿途有三個?？空荆瑒t這5人的下車方法共有_種。 解析：由于5人必須都下車，每人都有3種下車方法，故有種下車方法。范例2把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法解析:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法。2. 不同元素分組問題 不平均分組問題 范例有9本不同的書，分為3堆，一堆4本，一堆3本，一堆2本，分法有_種。 答： 平均分組問題 范例有9本不同的書，分為3堆，每堆3本，分法有_種。 答：3. 不同元素分配問題 要點：先分組，再入位。不平均分配問題 范例有9本不同的書，分給3人，一人4本，一人3本，一人2本，分法有_種。 答：先分為3組有種方法，再把3組數(shù)分給3人有種，故共有方法。 平均分組問題 范例有9本不同的書，分為3堆，每堆3本，分法有_種。 答：即有種分法。第二部分：二項式定理1.定理內(nèi)容即=+展開式的通項公式為：。注意：第r+1項為范例+ 令x=1有+=22.兩個概念的區(qū)別二項式系數(shù)：特指展開式中的，二項式展開式的系數(shù)： 以為例： 展開式的第r+1項為： 其中二項式系數(shù)為，二項式展開式的系數(shù)為：3.求展開式的系數(shù)的和范例展開式的系數(shù)的和是_。解析：令x=1，得展開