專題二借助方程求解數(shù)軸上動點問題

1、 專題二 借助方程求解數(shù)軸上動點問題數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。1數(shù)軸上兩點間的距離2點在數(shù)軸上運動時一個點表示的數(shù)為a，向左運動b個單位后表示的數(shù)為ab；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運動要結(jié)合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。  例1如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為20，B點對應(yīng)的數(shù)為100。求AB中點M對應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的

2、C點相遇，求C點對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇，求D點對應(yīng)的數(shù)。 分析：設(shè)AB中點M對應(yīng)的數(shù)為x，由BM=MA所以x（20）=100x，解得 x=40   即AB中點M對應(yīng)的數(shù)為40易知數(shù)軸上兩點AB距離，AB=140，設(shè)PQ相向而行t秒在C點相遇，依題意有，4t+6t=120，解得t=12（或由P、Q運動到C所表示的數(shù)相同，得20+4t=1006t，t=12）相遇C點表示的數(shù)為：20+4t=28（或1006

3、t=28）設(shè)運動y秒，P、Q在D點相遇，則此時P表示的數(shù)為1006y，Q表示的數(shù)為204y。P、Q為同向而行的追及問題。依題意有，6y4y=120，解得y=60（或由P、Q運動到C所表示的數(shù)相同，得204y=1006y，y=60）D點表示的數(shù)為：204y=260 （或1006y=260） 點評：熟悉數(shù)軸上兩點間距離以及數(shù)軸上動點坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。是一個相向而行的相遇問題；是一個同向而行的追及問題。在、中求出相遇或追及的時間是基礎(chǔ)。例2已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別代表24，10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒。問

4、多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位？若乙的速度為6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？在的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由。 分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34設(shè)x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位。此時甲表示的數(shù)為24+4x。甲在AB之間時，甲到A、B的距離和為AB=14甲到C的距離為10（24+4x）=344x依題意，14+（344x）=40，解得x=2甲在BC之間時，甲到B、C的距離和為BC=20，

5、甲到A的距離為4x依題意，20+4x）=40，解得x=5即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個單位。是一個相向而行的相遇問題。設(shè)運動t秒相遇。依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4相遇點表示的數(shù)為24+4×3.4=10.4 （或：106×3.4=10.4）甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。甲從A向右運動2秒時返回。設(shè)y秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：24+4×24y；乙表示的數(shù)為：106×26y依題意有，

6、24+4×24y=106×26y，解得y=7相遇點表示的數(shù)為：24+4×24y=44 （或：106×26y=44）甲從A向右運動5秒時返回。設(shè)y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：24+4×54y；乙表示的數(shù)為：106×56y依題意有，24+4×54y=106×56y，解得y=8（不合題意，舍去）即甲從A點向右運動2秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點表示的數(shù)為44。 點評：分析數(shù)軸上點的運動，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進行分析。點運動后所表示的數(shù)，以起點所表示的數(shù)為基準，向右運動加上運動的距離，即終點

7、所表示的數(shù)；向左運動減去運動的距離，即終點所表示的數(shù)。 例3已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x。若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？當(dāng)點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？ 分析：如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。依題意，3x=x（1），解得x=1由AB=4，若存在點

8、P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側(cè)，或B點右側(cè)。P在點A左側(cè)，PA=1x，PB=3x依題意，（1x）+（3x）=5，解得  x=1.5P在點B右側(cè)，PA=x（1）=x+1，PB=x3依題意，（x+1）+（x3）=5，解得  x=3.5點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢。故P點總位于A點右側(cè)，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運動t分鐘，此時P對應(yīng)的數(shù)為t，B對應(yīng)的數(shù)為320t，A對應(yīng)的數(shù)為15t。B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。PA=t（15t

9、）=1+4t，PB=320t（t）=319t依題意有，1+4t=319t，解得 t=B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數(shù)。依題意有，15t=320t，解得  t=即運動或分鐘時，P到A、B的距離相等。 點評：中先找出運動過程中P、A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個運動過程。 例4點A1、A2、A3、An（n為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點A1在原點O的左邊，且A1O=1，點A2在點A1的右邊，且A2A1=2，點A3在點A2的左邊，且A3A2=3，點A4在點A3的右邊，且A4A3=4，依照上述規(guī)律

10、點A2008、A2009所表示的數(shù)分別為（      ）。A2008，2009   B2008，2009   C1004，1005  D1004，1004 分析：如圖，點A1表示的數(shù)為1；點A2表示的數(shù)為1+2=1；點A3表示的數(shù)為1+23=2；點A4表示的數(shù)為1+23+4=2   點A2008表示的數(shù)為1+23+42007+2008=1004點A2009表示的數(shù)為1+23+42007+20082009=1005 點評：數(shù)軸上一個點表示的數(shù)為a，向左運動b個單位后表示的數(shù)為ab；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。運用這一特征探究變化規(guī)律時，要注意在循環(huán)往返運動過程中的方向變化。 練習(xí)題：1已知數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)數(shù)分別為2，4，P為數(shù)軸上一動點，對應(yīng)數(shù)為x。若P為線段AB的三等分點，求P點對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在P點，使P點到A、B距離和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由。若點A、點B和P點（P點在原點）同時向左運動。它們的速度分別為1、2、1個單位長度/分鐘，則第幾分鐘時P為AB的中點？（參考答案：0或2；4或6；2）2電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點K0，第一步