《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案（高一年級(jí)第一冊(cè)·第三章第三節(jié)）一、教材分析 教學(xué)內(nèi)容等差數(shù)列前n項(xiàng)和人教版高中教材第三章第三節(jié)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過程和簡單應(yīng)用 地位與作用 高中數(shù)列研究的主要對(duì)象是等差、等比兩個(gè)基本數(shù)列。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用。 在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程中，采用了：1.從特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不僅得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，而且對(duì)以后推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有一定的啟發(fā)，也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。 等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角

2、、不等式等）有著密切的聯(lián)系。 二、學(xué)情分析 知識(shí)基礎(chǔ)：高一年級(jí)學(xué)生已掌握了函數(shù)，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和。 認(rèn)知水平與能力：高一學(xué)生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問題。 任教班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：我所任教的班級(jí)是普通班級(jí)，學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不是很扎實(shí)，處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高.三、目標(biāo)分析1、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo) 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。過程與方法目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)

3、觀察、歸納、反思。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和本校學(xué)生特點(diǎn)，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為： 重點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 難點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中滲透倒序相加的思想方法。 重、難點(diǎn)解決的方法策略本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)四、過程設(shè)計(jì)結(jié)合教材知

4、識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下： 公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（1）（5分鐘）探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（18分鐘）創(chuàng)設(shè)情景提出問題（2分鐘） 公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（2）（9分鐘） 歸納總結(jié)（2分鐘）公式的認(rèn)識(shí)與理解（4分鐘） 五、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動(dòng) 學(xué) 生 活 動(dòng)活 動(dòng)說 明新課引入創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點(diǎn)，傳說中陵寢中有一個(gè)三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時(shí)提出第一個(gè)問題：你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計(jì)算1+2+3+.+100=？現(xiàn)實(shí)模型： 圖片欣賞 生活實(shí)例模 型直 觀用實(shí)際生活引入新課。探 索

5、 公 式探 索 公 式議練活動(dòng)議練活動(dòng)課 堂總結(jié)首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+.+100？分析高斯求法得出的式子，發(fā)現(xiàn)Sn= 12398+99+100 （1）Sn=10099983 + 2+ 1 （2）（1）+（2）得：設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為 ,則 問題1老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？老師：但是否剛好配對(duì)成功呢？但是對(duì)n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來給出實(shí)際問題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？ 問題2：如何用倒置的思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和呢？方法一：兩式相加得：方法二同樣利用倒序相加求和法，教材

6、做了如下處理：兩式相加得：引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換掉 整理得到公式2。能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？ 教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。 例1：某長跑運(yùn)動(dòng)員天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：750080008500900095001000010500這位長跑運(yùn)動(dòng)員天共跑了多少米？ 本例提供了許多數(shù)據(jù)信息，學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式1，也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式2求和。剖析公式： 教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2， 前多少項(xiàng)的和為54？本例已知首項(xiàng)，前n項(xiàng)和、并且可以求出公差，利用公式2求項(xiàng)數(shù)。 事實(shí)上，在兩個(gè)求和公式中各包含

7、四個(gè)元素，從方程的角度，知三必能求余一。例3在等差數(shù)列中，已知 ，求。本小題主要考察了對(duì)公式一的整體應(yīng)用。根據(jù)課堂剩余時(shí)間，本題作為機(jī)動(dòng)練習(xí)，（2）小問留給學(xué)生課后完成1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容動(dòng)手體驗(yàn)，反饋信息（2個(gè)練習(xí)題）1.在等差數(shù)列中，若，求2.課后作業(yè)：A必做題 教材118頁：練習(xí)、；習(xí)題3.3第題（、）B選做題：在等差數(shù)列中，學(xué)生：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學(xué)生: 通過等式變形，可把一組數(shù)求和看作先求得兩組完全相同的數(shù)組的和再除以2即可學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，以此類推，

8、每一對(duì)的和都相等，并且都等于 。學(xué)生：不一定，需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配對(duì)成功。 當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)落單了。 學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。 （由上一問題的解決，學(xué)生容易想到倒序相加求和法。） 學(xué)生：利用倒序相加求和法。將中的每一項(xiàng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫，在倒序相加求和時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)抵消了。學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系。學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。 觀察多媒體課件演示。 學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。 學(xué)生

9、討論分析題目所含的已知量，選取了公式2進(jìn)行運(yùn)算，利用了方程的思想。需要注意的是學(xué)生可能會(huì)把公差認(rèn)為是-4以及解得n的值后未把n=-3舍去。本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式求未知元。 可以使用公式2，先求出首項(xiàng)，再使用通項(xiàng)公式求末項(xiàng)。也可以使用公式1和通項(xiàng)公式，聯(lián)列方程組求解。 本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會(huì)等差數(shù)列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.（3）掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡單應(yīng)用。 高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解答。 這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì) 從高斯算法出發(fā)，對(duì)n進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題”的過程利用