51二項(xiàng)式定理

1、§5二項(xiàng)式定理51二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式3會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題知識(shí)鏈接1二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別？答二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)完全是不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，C，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)2二項(xiàng)式(ab)n與(ba)n展開式中第r1項(xiàng)是否相同？答不同(ab)n展開式中第r1項(xiàng)為Canrbr，而(ba)n展開式中第r1項(xiàng)為Cbnrar.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1

2、bCanrbrCbn這個(gè)公式就稱為二項(xiàng)式定理2二項(xiàng)式定理的有關(guān)概念(1)二項(xiàng)展開式在(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn中，右邊的多項(xiàng)式叫作(ab)n的二項(xiàng)展開式(2)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)在二項(xiàng)展開式中，Canrbr叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r1項(xiàng)Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)此公式也稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(3)二項(xiàng)式系數(shù)在展開式中，每一項(xiàng)Canrbr的系數(shù)C稱為二項(xiàng)式系數(shù).要點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的正用、逆用例1(1)求(3)4的展開式；(2)化簡(jiǎn)(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一(3)4C(3)4C

3、(3)3·C(3)2·()2C(3)·()3C·()481x2108x54.法二(3)4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.規(guī)律方法運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開二項(xiàng)式，要記準(zhǔn)展開式的通項(xiàng)公式，對(duì)于較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開更簡(jiǎn)捷；要搞清楚二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)以及該項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，對(duì)于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)跟蹤演練1(1)展開(2)6；(2)化簡(jiǎn)：12C4C2n

4、C.解(1)(2)6(2x1)6C(2x)6C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)C64x3192x2240x160.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.要點(diǎn)二二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用例2若()n展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中含x的一次項(xiàng)；(2)展開式中的所有有理項(xiàng)解(1)由已知可得CC·2C·，即n29n80，解得n8，或n1(舍去)Tr1C()8r·()rC·2r·x4r，令4r1，得r4.所以x的一次項(xiàng)為T5C24xx.(2)令4rZ，且0r8，則r0，4，8，所以含x的有理項(xiàng)分別為T1x4，T5

5、x，T9.規(guī)律方法利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中具有某種特征的項(xiàng)是關(guān)于二項(xiàng)式定理的一類典型題型常見的有求二項(xiàng)展開式中的第r項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、含某字母的r次方的項(xiàng)等等其通常解法就是根據(jù)通項(xiàng)公式確定Tr1中r的值或取值范圍以滿足題設(shè)的條件跟蹤演練2已知二項(xiàng)式(x2)10.(1)求展開式中的第5項(xiàng)；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)解(1)(x2)10的展開式的第5項(xiàng)為T5C·(x2)6·()4C·()4·x12·()4x10.(2)設(shè)第r1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr1C·(x2)10r·()rC·x20r·()r(r0，1，2，

6、10)，令20r0，得r8，所以T9C·()8，即第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其值為.要點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例3(1)用二項(xiàng)式定理證明：34n252n1能被14整除；(2)求9192除以100的余數(shù)(1)證明34n252n192n152n1(95)52n152n1(145)2n152n1142n1C×142n×5C×142n1×52C×14×52nC×52n152n114(142nC×142n1×5C×142n2×52C×52n)上式是14的倍數(shù)，能被14整除，所以34n252

7、n1能被14整除(2)解法一9192(1009)9210092C×10091×9C×10090×92C×100×991992，前面各項(xiàng)均能被100整除，只有末項(xiàng)992不能被100整除，于是求992除以100的余數(shù)992(101)921092C×1091C×1090C×102C×10(1)921092C×1091C×1090C×1029201(1092C×1091C×1090C×1021 000)81，被100除的余數(shù)為81，即9192除

8、以100的余數(shù)為81.法二由9192(901)92C×9092C×9091C902C×901，可知前面各項(xiàng)均能被100整除，只有末尾兩項(xiàng)不能被100整除，由于C×9018 2818 20081，故9192除以100的余數(shù)為81.規(guī)律方法利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系跟蹤演練3求證：51511能被7整除證明51511(492)511C4951C4950×2C×49×250C×2511.易知除(C×2511)以外各項(xiàng)都能被7整除又

9、2511(23)171(71)171C×717C×716C×7C17(C716C715C)，顯然能被7整除，所以(51511)能被7整除.1若(1)4ab(a，b為有理數(shù))，則ab等于()A33 B29 C23 D19答案B解析(1)41412841712ab，又a，b為有理數(shù)，a17，b12.ab29.2在(1x)5(1x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A5 B5 C10 D10答案D解析(1x)5中x3的系數(shù)C10，(1x)6中x3的系數(shù)為C·(1)320，故(1x)5(1x)6的展開式中x3的系數(shù)為10.3求(2x)5的展開式解先化簡(jiǎn)再求展開

10、式，得(2x)5C(4x3)5C(4x3)4(3)C(4x3)3(3)2C(4x3)2(3)3C(4x3)(3)4C(3)532x5120x2.1注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念2要牢記Canrbr是展開式的第r1項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第r項(xiàng)3求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(x2)6的展開式中x3的系數(shù)是()A20 B40 C80 D160答案D解析法一設(shè)含x3的項(xiàng)為第r1項(xiàng)，則Tr1Cx6r·2r，令6r3，得r3，故展開式中x3的系數(shù)為C×23160.法二根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)：二項(xiàng)展開式每一項(xiàng)中所含的x與2

11、分得的次數(shù)和為6，則根據(jù)條件滿足條件x3的項(xiàng)按3與3分配即可，則展開式中x3的系數(shù)為C×23160.2(2013·江西理)(x2)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A80 B80 C40 D40答案C解析展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C(x2)5r()rCx105r(2)r.由105r0，得r2，所以常數(shù)項(xiàng)為T21C(2)240.3(xy)10的展開式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是()A840 B840 C210 D210答案A解析在通項(xiàng)公式Tr1C(y)rx10r中，令r4，即得(xy)10的展開式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為C·()4840.4(2013·遼寧理)使得(3x)n(nN

12、*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A4 B5 C6 D7答案B解析展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C(3x)nr·()rC3nrxn.由n0得n，所以當(dāng)r2時(shí)，n有最小值5.5求(3b2a)6的展開式中的第3項(xiàng)的系數(shù)為_，二項(xiàng)式系數(shù)為_答案4 860156(2013·四川理)二項(xiàng)式(xy)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)答案10解析設(shè)二項(xiàng)式(xy)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1，則Tr1Cx5ryr，令r3，則含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是C10.7已知在()n的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為563，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)解T5C()n424x816Cx，T

13、3C()n222x44Cx.由題意知，解得n10.Tr1C()10r2rx2r2rCx，令0，解得r2，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C22180.二、能力提升8設(shè)S(x1)33(x1)23(x1)1，則S等于()A(x1)3 B(x2)3 Cx3 D(x1)3答案C解析SC(x1)3C(x1)2×1C(x1)×12C×13(x1)13x3，故選C.9(2013·新課標(biāo))已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a等于()A4 B3 C2 D1答案D解析(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為Ca·C5，解得a1.10對(duì)于二項(xiàng)式(x3)n(nN

14、*)，有以下四種判斷：存在nN*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；對(duì)任意nN*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；對(duì)任意nN*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)；存在nN*，展開式中有x的一次項(xiàng)其中正確的是_答案與解析二項(xiàng)式(x3)n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1Cx4rn，由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)n4r(rN*)和n4r1(rN*)時(shí)，展開式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)11()n展開式第9項(xiàng)與第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求x的一次項(xiàng)系數(shù)解CC，n17，Tr1Cx·2r·x，1，r9，T10C·x4·29·x3C·29·x，其一次項(xiàng)系數(shù)為C29.12已知在(x2)n的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：(1)n的值；(2)展開式中x5的系數(shù)；(3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)解已知二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr1C(x2)nr·()r(1)r()nrCx2nr.(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)r8時(shí)，2nr0，解得n10.(2)令2nr5，得r(2n5)6，所以x5的系數(shù)為(1)6()4C.(3)要使2nr，即為整數(shù)，只需r為偶數(shù)，由于r0，1，2，3，9，10，故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開式的第1，3，5，7，9，11項(xiàng)三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)(12x)m(14x