Delta并聯(lián)機(jī)器人的插補(bǔ)研究

1、第三章 Delta并聯(lián)機(jī)器人的插補(bǔ)研究（一）引言數(shù)控系統(tǒng)從一條已知起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線上自動(dòng)進(jìn)行“數(shù)據(jù)點(diǎn)密化”的工作，將連續(xù)的軌跡細(xì)化為微小的直線段，這就是插補(bǔ)。根據(jù)加工程序中有限的坐標(biāo)點(diǎn)，運(yùn)用相應(yīng)的算法，在已知的坐標(biāo)點(diǎn)之間產(chǎn)生一系列的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，再將數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的脈沖，從而在加工時(shí)對各坐標(biāo)軸進(jìn)行脈沖分配，使機(jī)床加工出符合要求的輪廓曲線。（二）插補(bǔ)原理分析目前普遍應(yīng)用的插補(bǔ)算法可分為兩大類：基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)和數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)?；鶞?zhǔn)脈沖插補(bǔ)又稱脈沖增量插補(bǔ)或行程標(biāo)量插補(bǔ)。該插補(bǔ)算法的特點(diǎn)是每進(jìn)行一次插補(bǔ)運(yùn)算就會產(chǎn)生一個(gè)坐標(biāo)增量，最后再以脈沖數(shù)的方式輸出給驅(qū)動(dòng)電機(jī)。基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)在插補(bǔ)計(jì)算過程中不斷向各個(gè)驅(qū)

2、動(dòng)軸發(fā)送進(jìn)給脈沖，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)定軌跡的插補(bǔ)?；鶞?zhǔn)脈沖插補(bǔ)方法有：逐點(diǎn)比較法、數(shù)字積分法、比較積分法、矢量判斷法、最小偏差法、數(shù)字脈沖乘法器法等5。由于只有加法和移位，因此基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)的實(shí)現(xiàn)相對比較簡單。數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)又稱為時(shí)間標(biāo)量插補(bǔ)或數(shù)字增量插補(bǔ)。該插補(bǔ)算法的特點(diǎn)是數(shù)控裝置產(chǎn)生的不是單個(gè)脈沖，而是標(biāo)準(zhǔn)的二進(jìn)制數(shù)字。其采用的是時(shí)間分割的方法，根據(jù)程序的進(jìn)給速度，將輪廓曲線分割為采樣周期性的進(jìn)給步長，即用弦線或割線逼近輪廓軌跡。通常有以下幾種方法：直線函數(shù)法、擴(kuò)展數(shù)字積分法、二階遞歸擴(kuò)展數(shù)字積分插補(bǔ)法、雙數(shù)字積分插補(bǔ)法5。逐點(diǎn)比較法的原理是：計(jì)算機(jī)在加工軌跡過程中，采用逐點(diǎn)計(jì)算進(jìn)給步長和判別加工偏差

3、以控制坐標(biāo)進(jìn)給方向，從而按規(guī)定的軌跡加工出合格的零件。這種插補(bǔ)方法的特點(diǎn)在于機(jī)床每走一步都要進(jìn)行四個(gè)步驟，即：第一步，偏差判別：判別加工點(diǎn)對軌跡的偏差位置，然后下一步進(jìn)給的方向；第二步，進(jìn)給：控制工作臺進(jìn)給一步，加工的軌跡向規(guī)定的軌跡靠攏，縮小偏差；第三步，偏差計(jì)算：計(jì)算下一個(gè)加工點(diǎn)相對軌跡的偏差，為一下步的方向判別做準(zhǔn)備；第四步，終點(diǎn)判斷：判斷是否到達(dá)程序規(guī)定的加工終點(diǎn)。如到達(dá)終點(diǎn)，則停止插補(bǔ)，否則再回到第一步。如此不斷的重復(fù)，就能加工出的輪廓。（三）直線插補(bǔ)1.平面直線插補(bǔ)第一象限逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)：圖3.1 逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)Fig3.1 Point by point compariso

4、n method linear interpolation插補(bǔ)規(guī)則：當(dāng)F0時(shí)，則沿+X方向進(jìn)給一步；當(dāng)F0時(shí)，則沿+Y方向進(jìn)給一步。偏差判別函數(shù)：當(dāng)M在OA上，即F=0時(shí)，有：，當(dāng)M在OA上方，即F0時(shí)，有，當(dāng)M在OA下方，即F,且,均為正數(shù)。以X軸為基準(zhǔn)軸，建立兩個(gè)平面坐標(biāo)系，如圖3.3所示。直線為OA在XY坐標(biāo)平面內(nèi)的投影，直線為OA在XZ坐標(biāo)平面內(nèi)的投影。在XY平面上，偏差計(jì)算公式為： 同理，在XZ坐標(biāo)平面上，偏差計(jì)算公式為： 終點(diǎn)判斷方法：有了偏差計(jì)算公式，現(xiàn)在關(guān)鍵是如何判別和計(jì)算下一步進(jìn)給的方向。我們規(guī)定：（1）若，沿X軸正方向發(fā)一進(jìn)給脈沖，由于使加工點(diǎn)+1，故必須在XOY坐標(biāo)平面和

5、XOZ坐標(biāo)平面都必須進(jìn)行偏差計(jì)算，即和。 （2）只要，沿Y軸正方向發(fā)一進(jìn)給脈沖，由于是使加工點(diǎn)+1，故只需在XOY坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行偏差計(jì)算，即。 （3）若，由于使加工點(diǎn)+1，故只需在XOZ坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行偏差計(jì)算，即。同樣，在每次計(jì)算偏差和發(fā)送進(jìn)給脈沖的同時(shí)，還要進(jìn)行一次終點(diǎn)判斷，以確定是否達(dá)到終點(diǎn)。如果達(dá)到了終點(diǎn)，則停止插補(bǔ)。 在上述空間直線插補(bǔ)時(shí)，首先假設(shè)了該段空間直線的X方向進(jìn)給步數(shù)為最大,就是說在以長軸為基軸建立的兩平面坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行的插補(bǔ)運(yùn)算，才是正確的。因此每次進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算之前，都必須對三個(gè)坐標(biāo)的增量值進(jìn)行比較和轉(zhuǎn)換，將增量值較大的進(jìn)行X方向的插補(bǔ)，并設(shè)置相應(yīng)的標(biāo)志位進(jìn)行變換。其他象限的

6、插補(bǔ)運(yùn)算也可以用類似的方法進(jìn)行變換。即在進(jìn)入插補(bǔ)程序前，三個(gè)坐標(biāo)增量都以絕對值方式寄存在相應(yīng)的寄存器中，并根據(jù)增量值的正負(fù)設(shè)定各驅(qū)動(dòng)軸的方向標(biāo)志位。（四）平面圓弧插補(bǔ)逐點(diǎn)比較法第一象限逆時(shí)針圓弧插補(bǔ)基本原理如下：在加工圓弧過程中，使用動(dòng)點(diǎn)到圓心的距離與該圓弧的半徑進(jìn)行比較來反映加工偏差，以確定下一步插補(bǔ)的方向。假設(shè)被加工零件的輪廓為第一象限逆時(shí)針走向圓弧SE，圓心在O（0，0），半徑為R，起點(diǎn)為S，終點(diǎn)為E，圓弧上任意加工動(dòng)點(diǎn)為N。通過比較動(dòng)點(diǎn)到圓心的距離與圓弧半徑R的大小，可獲得末端參考點(diǎn)與圓弧輪廓之間的位置偏差，從而可以確定下一步的插補(bǔ)方向。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N正好落在圓弧上時(shí)，則有下式成立當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N落

7、在圓弧外側(cè)時(shí)，則有下式成立當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N落在圓弧內(nèi)側(cè)時(shí)，則有下式成立由此可見，取逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)的偏差函數(shù)表達(dá)式為 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在圓外時(shí)，為了是加工的軌跡逼近要求的輪廓，減小加工誤差，應(yīng)是動(dòng)點(diǎn)向圓內(nèi)進(jìn)給一步，即向X軸負(fù)方向前進(jìn)一步；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在圓內(nèi)時(shí)，應(yīng)使動(dòng)點(diǎn)向圓外進(jìn)給，即向Y軸正方向前進(jìn)一步。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)正好落在圓弧上且未到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，為了使加工繼續(xù)下去，理論上向Y軸正或X軸負(fù)方向進(jìn)給都可以，但一般情況下約定向X軸負(fù)方向進(jìn)給。 綜上所述，現(xiàn)將逐點(diǎn)比較法第一象限逆時(shí)針圓插補(bǔ)規(guī)則概括如下： 當(dāng)時(shí)，即，動(dòng)點(diǎn)落在圓外，則向X軸負(fù)方向進(jìn)給一步； 當(dāng)時(shí)，即，動(dòng)點(diǎn)正好落在圓上，約定向X軸負(fù)方向進(jìn)給一步； 當(dāng)時(shí)，即，動(dòng)點(diǎn)落在

8、圓內(nèi)，則向軸正方向進(jìn)給一步。 由偏差函數(shù)表達(dá)式可知，要想計(jì)算偏差F值，就必須對動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、圓弧半徑進(jìn)行平方運(yùn)算。為了簡化運(yùn)算過程，按逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)的思路，可以推導(dǎo)出逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)過程中偏差函數(shù)計(jì)算的遞推公式。假設(shè)第i次插補(bǔ)后，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為N，其對應(yīng)偏差函數(shù)為當(dāng)，向X軸負(fù)方向進(jìn)給一步，則新的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)值為， 因此，新的偏差函數(shù)為 即： 同理，當(dāng)，則向Y軸正方向進(jìn)給一步，則新的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)值為，因此，可求得新的偏差函數(shù)為即： 將上式進(jìn)行比較，可以看出兩點(diǎn)不同：第一，遞推形式的偏差計(jì)算公式中僅有加、減法以及乘法運(yùn)算，而乘以2可等效為該二進(jìn)制數(shù)左移一位，這顯然比平方運(yùn)算的運(yùn)算量小得多；第二，進(jìn)給后新的偏

9、差函數(shù)值與前一點(diǎn)的偏差值以及動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)N之間可以建立關(guān)系式。由于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)值隨著插補(bǔ)運(yùn)算的進(jìn)行而不斷變化，因此，每插補(bǔ)一次，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就必須根據(jù)偏差值修正一次，為下一步的偏差計(jì)算做準(zhǔn)備。至此，將第一象限逆圓弧插補(bǔ)的規(guī)則和計(jì)算公式匯總，見表3.1。偏差函數(shù)動(dòng)點(diǎn)位置進(jìn)給方向新偏差計(jì)算動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)修正在圓上或圓外-X，在圓內(nèi)Y，表3.1Table 3.1和直線插補(bǔ)一樣，圓弧插補(bǔ)過程也需要進(jìn)行終點(diǎn)判別。當(dāng)圓弧輪廓僅在一個(gè)象限區(qū)域內(nèi)，其終點(diǎn)判別可用直線終點(diǎn)判別的方法進(jìn)行判別，只是計(jì)算公式略有不同。 ， 式中 、 被插補(bǔ)圓弧輪廓的起點(diǎn)坐標(biāo)；、 被插補(bǔ)圓弧輪廓的終點(diǎn)坐標(biāo)?？筛鶕?jù)上述方法推導(dǎo)出其他象限不同走向圓弧的插補(bǔ)

10、運(yùn)算。如圖3.4所示：圖3.4 四象限圓弧插補(bǔ)進(jìn)給方向Fig 3.4 Four quadrant circular arc interpolation direction of feed四象限圓弧插補(bǔ)計(jì)算如下表：線型偏差計(jì)算坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算坐標(biāo)進(jìn)給 表3.2Table 3.2從表3.2可以看出，當(dāng)按第一象限逆時(shí)針圓進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，若將X軸方向進(jìn)給反向，則可以走出第二象限順時(shí)針圓來；或者將Y軸方向進(jìn)給反向，則可以走出來；或者將X軸和Y軸的進(jìn)給均反向，則可以走出來；并且這四種線型（、）使用的偏差計(jì)算公式都相同，無須改變。 還可以看出，當(dāng)按第一象限逆時(shí)針圓線型插補(bǔ)時(shí)，若將計(jì)算公式坐標(biāo)X與Y對調(diào)，即用

11、Y方式對X坐標(biāo)進(jìn)行插補(bǔ)，用X方式對Y坐標(biāo)進(jìn)行插補(bǔ)，那么就可得到的走向。類似地通過改變插補(bǔ)進(jìn)給方向，利用的計(jì)算公式就可得到其他三種線型、的插補(bǔ)。（五）本章小結(jié)本章主要論述了平面直線、空間直線和平面圓弧的逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)。通過對逐點(diǎn)比較法的偏差函數(shù)、終點(diǎn)判別等的研究，得到了平面直線、空間直線和平面圓弧逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)方法，為后續(xù)的編程及運(yùn)動(dòng)控制打下了基礎(chǔ)。第四章 Delta并聯(lián)機(jī)器人插補(bǔ)算法編程及驗(yàn)證（一）引言并聯(lián)機(jī)器人的控制系統(tǒng)是并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)的基本內(nèi)容，也是并聯(lián)機(jī)器人發(fā)展研究的重點(diǎn)。本章將利用Visual Basic軟件與運(yùn)動(dòng)控制卡相結(jié)合，編寫一個(gè)簡單的控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對并聯(lián)機(jī)器人的直線、平面圓弧運(yùn)

12、動(dòng)的控制。運(yùn)動(dòng)控制卡采用固高科技公司的GTS-400-PV-PCI-G，該運(yùn)動(dòng)控制卡提供了Visual Basic等語言的函數(shù)庫和Windows動(dòng)態(tài)鏈接庫，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制功能6。（二）控制軟件系統(tǒng)設(shè)計(jì)驗(yàn)證軟件系統(tǒng)設(shè)計(jì)：界面上包括空間直線、平面圓弧插補(bǔ)以及插補(bǔ)軌跡的平面顯示；程序上包括正解、反解模塊、初始化運(yùn)動(dòng)控制卡及PT運(yùn)動(dòng)模式。設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的主要目的是驗(yàn)證第三章的插補(bǔ)算法。插補(bǔ)步長為0.01mm。使用Visual Basic編寫的控制軟件，界面如圖4.1所示。圖4.1控制軟件界面 Control system main interface1.系統(tǒng)的反解模塊反解模塊是Delta控制系統(tǒng)必不可少

13、的一個(gè)部分，也是核心部分。反解模塊的作用是在主動(dòng)臂的轉(zhuǎn)角與末端機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)值之間建立一種轉(zhuǎn)化的關(guān)系，即在已知末端機(jī)構(gòu)坐標(biāo)值的情況下求主動(dòng)臂的轉(zhuǎn)角。通過反解模塊可以實(shí)現(xiàn)通過伺服電機(jī)的脈沖對末端機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。反解公式在第二章中已經(jīng)求解出。其具體的Visual Basic代碼如下：Public Function fj_x(ByVal x As Double, ByVal y As Double, ByVal z As Double) As Double x軸反解函數(shù)，用于求出x的脈沖 Dim R1#, R2#, l1#, l2#, U1#, V1#, W1#, t1#, z1#z1 = z -

14、646.379 R1 = 200 R2 = 50 l1 = 200 l2 = 600 U1 = (l2 2 - l1 2 - x 2 - y 2 - z1 2 - (R1 - R2) 2 + (R1 - R2) * (Sqr(3) * x + y) / l1 + 2 * z1 V1 = -2 * (2 * (R1 - R2) - Sqr(3) * x - y) W1 = (l2 2 - l1 2 - x 2 - y 2 - z1 2 - (R1 - R2) 2 + (R1 - R2) * (Sqr(3) * x + y) / l1 - 2 * z1 t1 = (-V1 - Sqr(V1 2 -

15、 4 * U1 * W1) / (2 * U1) a1 = 2 * Atn(t1) * 180 / 3.14 - 50.007 相對于零點(diǎn)的角度 fj_x = CDbl(Format(a1 * 277.778, 0.000) 將角度轉(zhuǎn)化為脈沖End FunctionPublic Function fj_y(ByVal x As Double, ByVal y As Double, ByVal z As Double) As Double y軸反解函數(shù)，用于求出y的脈沖 Dim R1#, R2#, l1#, l2#, U2#, V2#, W2#, t2#, z2# z2 = z - 646.37

16、9 R1 = 200 R2 = 50 l1 = 200 l2 = 600 U2 = (l2 2 - l1 2 - x 2 - y 2 - z2 2 - (R1 - R2) 2 - (R1 - R2) * (Sqr(3) * x - y) / l1 + 2 * z2 V2 = -2 * (2 * (R1 - R2) + Sqr(3) * x - y) W2 = (l2 2 - l1 2 - x 2 - y 2 - z2 2 - (R1 - R2) 2 - (R1 - R2) * (Sqr(3) * x - y) / l1 - 2 * z2 t2 = (-V2 - Sqr(V2 2 - 4 * U

17、2 * W2) / (2 * U2) a2 = 2 * Atn(t2) * 180 / 3.14 - 50.007 fj_y = CDbl(Format(a2 * 277.778, 0.000) 將角度轉(zhuǎn)化為脈沖End FunctionPublic Function fj_z(ByVal x As Double, ByVal y As Double, ByVal z As Double) As Double z軸反解函數(shù)，用于求出z的脈沖 Dim R1#, R2#, l1#, l2#, U3#, V3#, W3#, t3#, z3# z3 = z - 646.379 R1 = 200 R2 =

18、 50 l1 = 200 l2 = 600 U3 = (l2 2 - l1 2 - x 2 - y 2 - z3 2 - (R1 - R2) 2 - (R1 - R2) * 2 * y) / (2 * l1) + z3 V3 = -2 * (R1 - R2 + y) W3 = (l2 2 - l1 2 - x 2 - y 2 - z3 2 - (R1 - R2) 2 - (R1 - R2) * 2 * y) / (2 * l1) - z3 t3 = (-V3 - Sqr(V3 2 - 4 * U3 * W3) / (2 * U3) a3 = 2 * Atn(t3) * 180 / 3.14 -

19、 50.007 fj_z = CDbl(Format(a3 * 277.778, 0.000) 將角度轉(zhuǎn)化為脈沖End Function2.系統(tǒng)的正解模塊正解模塊是反解模塊的逆運(yùn)算，即通過主動(dòng)臂的轉(zhuǎn)角去求解出末端機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)。在控制系統(tǒng)中，正解模塊可以用于對系統(tǒng)工作空間范圍的判斷及運(yùn)動(dòng)軌跡的顯示。在執(zhí)行運(yùn)動(dòng)前，判斷終點(diǎn)是否超出規(guī)定的空間范圍，從而建立相應(yīng)的報(bào)警機(jī)制，實(shí)現(xiàn)對整個(gè)系統(tǒng)的保護(hù)作用。正解的求解方法在第二章中已經(jīng)給出。具體的Visual Basic程序代碼如下：Public Function zj_x(ByVal j1 As Double, ByVal j2 As Double, ByVa

20、l j3 As Double) As Double X軸正解函數(shù) Dim a11, a22, a33, b1, b2, b3, c1, c2, c3 As Double Dim e, f, g As Double Dim k1, k2, l1, l2, p1, p2 As Double Dim d2, d3 As Double Dim m1, m2, n1, n2 As Double 計(jì)算過渡值 a11 = Sqr(3) * (150 + 200 * Sin(j1) / 2 b1 = 75 + 100 * Sin(j1) c1 = 200 * Cos(j1) a22 = -Sqr(3) * (

21、150 + 200 * Sin(j2) / 2 b2 = 75 + 100 * Sin(j2) c2 = 200 * Cos(j2) a33 = 0 b3 = 150 + 200 * Sin(j3) c3 = 200 * Cos(j3) k1 = a11 - a22: l1 = b1 - b2: p1 = c1 - c2 k2 = a11 - a33: l2 = -b1 - b3: p2 = c1 - c3 d2 = (k1 2 + l1 2 + p1 2) / 2: d3 = (k2 2 + l2 2 + p2 2) / 2 m1 = (d2 * l2 + l1 * d3) / (k1 *

22、l2 + k2 * l1): n1 = -(p1 * l2 + l1 * p2) / (k1 * l2 + k2 * l1) m2 = (d2 * k2 - d3 * k1) / (k1 * l2 + k2 * l1): n2 = (k1 * p2 - k2 * p1) / (k1 * l2 + k2 * l1) g = (-2 * (m1 * n1 + m2 * n2) - Sqr(2 * m1 * n1 + 2 * m2 * n2) 2 - 4 * (n1 2 + n2 2 + 1) * (m1 2 + m2 2 - 600 2) / (2 * (n1 2 + n2 2 + 1) e =

23、m1 + n1 * g zj_x = a11 - e 正解結(jié)果End FunctionPublic Function zj_y(ByVal j1 As Double, ByVal j2 As Double, ByVal j3 As Double) As Double Y軸正解函數(shù) Dim a11, a22, a33, b1, b2, b3, c1, c2, c3 As Double Dim e, f, g As Double Dim k1, k2, l1, l2, p1, p2 As Double Dim d2, d3 As Double Dim m1, m2, n1, n2 As Doubl

24、e 計(jì)算過渡值 a11 = Sqr(3) * (150 + 200 * Sin(j1) / 2 b1 = 75 + 100 * Sin(j1) c1 = 200 * Cos(j1) a22 = -Sqr(3) * (150 + 200 * Sin(j2) / 2 b2 = 75 + 100 * Sin(j2) c2 = 200 * Cos(j2) a33 = 0 b3 = 150 + 200 * Sin(j3) c3 = 200 * Cos(j3) k1 = a11 - a22: l1 = b1 - b2: p1 = c1 - c2 k2 = a11 - a33: l2 = -b1 - b3:

25、 p2 = c1 - c3 d2 = (k1 2 + l1 2 + p1 2) / 2: d3 = (k2 2 + l2 2 + p2 2) / 2 m1 = (d2 * l2 + l1 * d3) / (k1 * l2 + k2 * l1): n1 = -(p1 * l2 + l1 * p2) / (k1 * l2 + k2 * l1) m2 = (d2 * k2 - d3 * k1) / (k1 * l2 + k2 * l1): n2 = (k1 * p2 - k2 * p1) / (k1 * l2 + k2 * l1) g = (-2 * (m1 * n1 + m2 * n2) - Sq

26、r(2 * m1 * n1 + 2 * m2 * n2) 2 - 4 * (n1 2 + n2 2 + 1) * (m1 2 + m2 2 - 600 2) / (2 * (n1 2 + n2 2 + 1) f = m2 + n2 * g zj_y = b1 - f 正解結(jié)果End FunctionPublic Function zj_z(ByVal j1 As Double, ByVal j2 As Double, ByVal j3 As Double) As Double Z軸正解函數(shù) Dim a11, a22, a33, b1, b2, b3, c1, c2, c3 As Double

27、Dim e, f, g As Double Dim k1, k2, l1, l2, p1, p2 As Double Dim d2, d3 As Double Dim m1, m2, n1, n2 As Double 計(jì)算過渡值 a11 = Sqr(3) * (150 + 200 * Sin(j1) / 2 b1 = 75 + 100 * Sin(j1) c1 = 200 * Cos(j1) a22 = -Sqr(3) * (150 + 200 * Sin(j2) / 2 b2 = 75 + 100 * Sin(j2) c2 = 200 * Cos(j2) a33 = 0 b3 = 150 + 200 * Sin(j3) c3 = 200 * Cos(j3) k1 = a11 - a22: l1 = b1 - b2: p1 = c1 - c2 k2 = a11 - a33: l2 = -b1 - b3: p2 = c1 - c3 d2 = (k1 2 + l1 2 + p1 2)