GM11模型應(yīng)用及殘差修正

1、一GM(1,1)預(yù)測(cè)模型應(yīng)用舉例灰色預(yù)測(cè)是基于GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)，按其應(yīng)用的對(duì)象可有四種類型：(1) 數(shù)列預(yù)測(cè)。這類預(yù)測(cè)是針對(duì)系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化所進(jìn)行的預(yù)測(cè)。(2) 災(zāi)變預(yù)測(cè)。這類預(yù)測(cè)是針對(duì)系統(tǒng)行為的特征值超過(guò)某個(gè)闕值的異常值將在何時(shí)出現(xiàn)的預(yù)測(cè)。(3) 季節(jié)災(zāi)變預(yù)測(cè)。若系統(tǒng)行為的特征有異常值出現(xiàn)或某種事件的發(fā)生是在一年中的某個(gè)特定的時(shí)區(qū)，則該預(yù)測(cè)為季節(jié)性災(zāi)變預(yù)測(cè)。(4) 拓?fù)漕A(yù)測(cè)。這類預(yù)測(cè)是對(duì)一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測(cè)。例1（數(shù)列預(yù)測(cè)）：設(shè)原始序列試用GM(1,1)模型對(duì)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，并計(jì)算模擬精度。解：第一步：對(duì)進(jìn)行一次累加，得 第二步：對(duì)作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)。由 得。

2、 當(dāng)k>3時(shí)準(zhǔn)光滑條件滿足。 第三步：檢驗(yàn)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。由 得 當(dāng)k>3時(shí)，準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足，故可對(duì)建立GM(1,1)模型。 第四步：對(duì)作緊鄰均值生成，得 于是 第五步：對(duì)參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計(jì)。得 第六步：確定模型 及時(shí)間響應(yīng)序列 第七步：求的模擬值 第八步：還原求出的模擬值。由 得 第九步：檢驗(yàn)誤差。由下表可算出殘差平方和：誤差檢驗(yàn)表序號(hào)實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差-相對(duì)誤差23453.2783.3373.3903.6793.23003.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%平均相對(duì)誤差1.602

3、5% 第十步：預(yù)測(cè) 例2 （災(zāi)變預(yù)測(cè)）：某企業(yè)生產(chǎn)用原料屬受自然災(zāi)害影響較大的農(nóng)產(chǎn)品。一般來(lái)說(shuō)，自然災(zāi)害的發(fā)生有其偶然性，但對(duì)歷史數(shù)據(jù)的整理，仍可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律性。為盡量減少生產(chǎn)不受自然災(zāi)害的影響，該企業(yè)希望了解影響原料供應(yīng)的規(guī)律性并提前做好原料儲(chǔ)備，所收集數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，并規(guī)定每畝平均收獲量小于320千克時(shí)為欠收年份，將影響原料的正常供應(yīng)，現(xiàn)應(yīng)用灰色災(zāi)變預(yù)測(cè)來(lái)預(yù)測(cè)下次發(fā)生欠收的年份。原料收獲統(tǒng)計(jì)表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份2000200120022003200420052

4、0062007收獲量(千克)300632540406.2314576587318第一步：將上表中年份用序號(hào)替換，并找出收獲量小于320千克的年份序號(hào)形成初始序列。本例初始序列：一次累加生成序列：的緊鄰均值生成序列：第二步：按建GM(1,1)模型。第三步：預(yù)測(cè)當(dāng)t=6時(shí)， 因此，下次發(fā)生收獲量小于320千克的年份為：2011年至2012年，即四至五年后將出現(xiàn)欠收年份。其他預(yù)測(cè)類型見(jiàn)參考書(shū)。二殘差GM(1,1)模型 當(dāng)GM(1,1)模型精度不符合要求時(shí)，可使用殘差序列建立GM(1,1)模型，對(duì)原來(lái)模型進(jìn)行修正，以提高精度。定義4 設(shè) 其中，-為的殘差序列。若存在k0，滿足 1. 2.，則稱 為可建

5、模殘差尾段，仍記為 命題1 設(shè)為可建模殘差尾段，其一次累加序列 的GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式為 則殘差尾段的模擬序列為其中 定義5 若用修正則稱修正后的時(shí)間響應(yīng)式 為殘差修正GM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱殘差GM(1,1)。其中殘差修正值的符號(hào)應(yīng)與殘差尾段的符號(hào)保持一致。定義6 若則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式稱為累減還原式的殘差修正模型。例題 湖北省云夢(mèng)縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為建立GM(1,1)模型，得時(shí)間響應(yīng)式為作累減還原，得檢驗(yàn)其精度：列出誤差檢驗(yàn)表誤差檢驗(yàn)表序號(hào)實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差-相對(duì)誤差234567891011121320402540453521141815.5171535.670433.43

6、0331.330829.368227.519225.790124.171922.653421.230719.897418.647817.4768-15.67046.5697-6.330810.631817.48089.2099-3.1719-8.6534-3.2307-4.3974-1.6478-2.476878.3540%16.4242%25.3232%26.5795%38.8642%26.3140%15.1043%61.8100%17.9483%28.3703%9.6926%16.5120% 平均相對(duì)誤差30.11%由此可見(jiàn)，相對(duì)精度不到70%，需采用殘差模型進(jìn)行修正。取k0=9，得殘差尾

7、段 此為可建模殘差尾段，去絕對(duì)值，得建立GM(1,1)模型，得的一次累加序列的時(shí)間響應(yīng)式： 其導(dǎo)數(shù)還原值為 由可得累減還原式殘差修正模型為其中，的符號(hào)與原始?xì)埐钚蛄械姆?hào)一致。按此模型，可對(duì)k=10,11,12,13四個(gè)模擬值進(jìn)行休整，修正后的精度如下表：誤差檢驗(yàn)表序號(hào)實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差-相對(duì)誤差101112131815.5171517.185816.479915.760415.03720.8142-0.97991.2396-0.03724.52%6.32%7.29%0.25% 平均相對(duì)誤差4.595%殘差修正GM(1,1)模型的模擬精度得到了明顯提高。因此時(shí)殘差序列已不滿足建模要求，若對(duì)殘

8、差精度仍不滿意，就只有考慮采用其它模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)行適當(dāng)取舍。三GM(1,1)模型群在實(shí)際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來(lái)建模。我們?cè)谠紨?shù)據(jù)序列中取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個(gè)模型。一般來(lái)說(shuō)，去不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)a,b的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對(duì)系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。例如我國(guó)的糧食產(chǎn)量，若采用建國(guó)以來(lái)的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，發(fā)展系數(shù)-a偏?。欢崛?978年以前的數(shù)據(jù)，用剩余的數(shù)據(jù)建模，發(fā)展系數(shù)-a明顯增大。定義1 設(shè)序列將取為時(shí)間軸的原點(diǎn)，則稱t<n為過(guò)去，t=n為現(xiàn)

9、在，t>n為未來(lái)。定義2 設(shè)序列，為其GM(1,1)時(shí)間相應(yīng)式的累減還原值，則：1.當(dāng)時(shí)，稱為模型模擬值；2.當(dāng)時(shí)，稱為模型預(yù)測(cè)值。建模的主要目的是預(yù)測(cè)，為提高預(yù)測(cè)精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤其是t=n時(shí)的模擬精度。因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列。定義3 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列1.用建立的GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù)GM(1,1)；2.，用建立的GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù)GM(1,1)；3.設(shè)為最新信息，將置入，稱用建立的模型為新信息GM(1,1)；4.置入新信息，去掉最老信息，稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1)。很顯然，新信息模型和新陳代謝模型預(yù)測(cè)效果會(huì)更好。

10、任何一個(gè)系統(tǒng)隨著時(shí)間的推移，將會(huì)不斷地有一些隨機(jī)擾動(dòng)或驅(qū)動(dòng)因素進(jìn)入系統(tǒng)，使系統(tǒng)的發(fā)展受到影響。因此，在實(shí)際預(yù)測(cè)中，必須不斷地將每一個(gè)新數(shù)據(jù)置入，已考慮到這些隨機(jī)或驅(qū)動(dòng)因素。相比之下，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數(shù)據(jù)的信息意義將逐步降低，在不斷補(bǔ)充新信息的同時(shí)，及時(shí)地去掉老數(shù)據(jù)，建模序列更能反映系統(tǒng)在目前的特征。四GM(1,1)模型的適用范圍可以證明，當(dāng)GM(1,1)的發(fā)展系數(shù)時(shí)，GM(1,1)模型無(wú)意義。因此，是GM(1,1)發(fā)展系數(shù)a的禁區(qū)。在此區(qū)間，GM(1,1)模型失去意義。一般地，當(dāng)時(shí)，GM(1,1)模型有意義。但是，隨著a的不同取值，預(yù)測(cè)效果也不同。通過(guò)數(shù)值分析，有

11、如下結(jié)論：（1）當(dāng)時(shí)，GM(1,1)的1步預(yù)測(cè)精度在98%以上，2步和5步預(yù)測(cè)精度都在97%以上，可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；（2）當(dāng)時(shí)，GM(1,1)的1步和2步預(yù)測(cè)精度都在90%以上，10步預(yù)測(cè)精度也高于80%，可用于短期預(yù)測(cè)，中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)慎用；（3）當(dāng)時(shí)，GM(1,1)用作短期預(yù)測(cè)應(yīng)十分慎重；（4）當(dāng)時(shí)，GM(1,1)的1步預(yù)測(cè)精度已低于70%，應(yīng)采用殘差修正模型；（5）當(dāng)時(shí)，不宜采用GM(1,1)模型。五GM(1,N)、GM(0,N)、GM(2,1) 和Verhulst模型1、GM(1,N)模型1階n維灰色模型。定義：設(shè)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而 為相關(guān)因素序列，的緊鄰均值生成序列，則稱為GM(1,N)模型。2、GM(0,N)模型定義：設(shè)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，為相關(guān)因素序列，則稱為GM(0,N)模型。GM(0,N)不含導(dǎo)數(shù)，因此為靜態(tài)模型。它形如多元線性回歸模型，但與一般的多元線性回歸模型有著本質(zhì)的區(qū)別。一般的多