圓錐曲線幾何性質(zhì)精華

1、圓錐曲線的幾何性質(zhì)四川省儀隴新政校區(qū) 魏登昆xyoF11F2AB一、橢圓的幾何性質(zhì)（以+=1（ab0）為例）1、ABF2的周長(zhǎng)為4a(定值)證明：由橢圓的定義即2、焦點(diǎn)PF1F2中：xyoF1F22P（1）SPF1F2=（2）（SPF1F2）max= bc（3）當(dāng)P在短軸上時(shí)，F(xiàn)1PF2最大證明：（1）在中 （2）（SPF1F2）max =（3 當(dāng)=0時(shí) 有最小值 即F1PF2最大xyoF1F2PM3、 過(guò)點(diǎn)F1作PF1F2的P的外角平分線的垂線，垂足為M ，則M 的軌跡是x2+y2=a2證明：延長(zhǎng)交于，連接由已知有 為中點(diǎn) =所以M的軌跡方程為 xyoF1F2P 4、以橢圓的任意焦半徑為直徑

2、的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切證明：取的中點(diǎn)，連接。令圓的直徑，半徑為 = 圓與圓內(nèi)切 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切xyoF1F2PIIIR5、任一焦點(diǎn)PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，連結(jié)PI延長(zhǎng)交長(zhǎng)軸于R，則 IR：IP=e證明：證明：連接由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有 yxoF1F2AB6、以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離。證明：令到準(zhǔn)線的距離為以為直徑的圓的圓心為到準(zhǔn)線的距離為。 以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離xyoF1F2PPA·7、A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P在橢圓上，則：（PA+PF2）max =2a+AF1（PA+PF2）min =2a-AF1證

3、明：連接 （PA+PF2）max =2a+AF1（PA+PF2）min =2a-AF1xyoFA·8、A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（PA+）min = A到右準(zhǔn)線的距離證明：設(shè)到右準(zhǔn)線的距離d,由橢圓的第二定義有（PA+）min = = A到右準(zhǔn)線的距離.9、焦點(diǎn)PF1F2的旁心在直線 x=±a 上。證明：令I(lǐng)與PF1F2三邊所在的直線相切于M、N、AxyoF1F2PNIIA2IM 即為橢圓頂點(diǎn)。 焦點(diǎn)PF1F2的旁心在直線 x=±a 上10、P是橢圓上任意一點(diǎn)，PF2的延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于E，K是準(zhǔn)線上另一任意點(diǎn)，連結(jié)PK交橢圓于Q，則KF2平分EF2Q

4、xyoF1F2EKQP證明：令P,Q到準(zhǔn)線的距離為由三角形外角平分線性質(zhì)定理有KF2平分EF2QxyoFBA11、證明：令當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線方程為 = 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，xyoFBAP12、AB是橢圓的任意一弦，P是AB中點(diǎn)，則（定值）證明：令 ，則 ， xyoNMB2PB113、橢圓的短軸端點(diǎn)為B1、B2，P是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)B1P、B2P分別交長(zhǎng)軸于N、M兩點(diǎn)，則有OM*ON =a2證明： 由于、共線 由于、N共線 xyoFNA2PA1M14、橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1、A 2，P是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)A1P、A2P并延長(zhǎng)，交一準(zhǔn)線于N、M兩點(diǎn)，則M、N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為900證明：令，

5、由于、共線 由于共線 M、N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)張角為900yxoM1F2AB15、過(guò)橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作橢圓和切線，切點(diǎn)弦AB過(guò)該準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。證明：設(shè) 則的方程為即 必過(guò)點(diǎn)16、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。證明：設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線：，直線的法線交軸于直線的法向量為：yxoF1F2Plm同理 同理 即過(guò)一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)。二、雙曲線的幾何性質(zhì)（均以 為例：）（1）F1F2P（1）焦點(diǎn)三角形面積：(2)、過(guò)作F1PF2的內(nèi)角平行線的重線垂足M的軌跡是F1F2PMxy（2）F1F2Pyx(3)(3)、以焦半徑為直徑作圓長(zhǎng)的焦半徑為直徑作圓與內(nèi)切，小的圓與外

6、切。(4)、以焦點(diǎn)為直徑作圓與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交F1F2Ayx(4)B(5)、焦點(diǎn)PF1F2的內(nèi)切圓心橫生標(biāo)為±a即與實(shí)軸的切點(diǎn)一定是實(shí)軸端點(diǎn)F1F2Pyx(5)I（6）焦點(diǎn)弦為直徑的圓被相應(yīng)準(zhǔn)線截得圓弧所對(duì)的圓心角為定值MCN2arccosF1F2Byx(6)CAMN(7)、A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)P為雙曲線上動(dòng)點(diǎn)=+2aF1F2Pyx(7)AF1F2Pyx(8)AB(8)、如圖：A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，等于A到右準(zhǔn)線的距離F1F2Pyx(9)（9）、焦點(diǎn)到漸近線的距離等于bF1F2Pyx(10)AB (10)、雙曲線上的任上點(diǎn)到兩漸近線的距離之積等于定值F1F2Pyx(

7、11)ABO（11）、P是弦AB中點(diǎn)KK定值（12）、P為雙線上任一點(diǎn)過(guò)P點(diǎn)作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值abF1F2Pyx(12)MON (13)、過(guò)P的切線平分F1PF2（光學(xué)性質(zhì)）即經(jīng)過(guò)一焦點(diǎn)的光線被雙曲線反射，反射光線的下長(zhǎng)線過(guò)另一焦點(diǎn)yF1F2PMx（13）12F1F2yx(14)（14）雙曲線與漸近線把平面分成5部分雙曲線上的點(diǎn) 漸近線上的點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn) 區(qū)域的點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn)過(guò)漸近線上的點(diǎn)（除中心）只能作一條切線，過(guò)中心無(wú)切線，沒(méi)有與兩支都相切的切線過(guò)區(qū)域的點(diǎn)作切線分別在兩支上，過(guò)區(qū)域的點(diǎn)作切線切點(diǎn)在同一支上，過(guò)區(qū)域的點(diǎn)沒(méi)切線，雙曲線的切線斜率，區(qū)域、的點(diǎn)可作弦的中點(diǎn)，中心是任意過(guò)中心的弦的中點(diǎn)，漸近線上（除中心），雙曲線上，區(qū)域的點(diǎn)不可能是弦中點(diǎn)（15）直線L與雙曲線的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，則AC=BDF1F2yx(15)ABDC三、拋物線的幾何性質(zhì)均以拋物線X=-P/2FyxAP(1) 如圖：A為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，等于A到準(zhǔn)線的距離(2) 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）則有： X=-P/2FyxAB 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切（3）過(guò)拋物線頂點(diǎn)作任意互相垂直的弦OA、OB，則弦AB必過(guò)定點(diǎn)（2