專題四數(shù)列及算法框圖

1、 專題四 數(shù)列及算法框圖蔡家坡高級中學(xué) 張紅利一考情分析1. 數(shù)列是一類特殊函數(shù)，近年來一直是高考的重點。數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等的關(guān)系十分密切。數(shù)列中的遞推思想、函數(shù)思想以及數(shù)列求通項、求和的各種方法和技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有著十分重要的地位。每年高考大多是一道小題（主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)通項公式、前n項和等基礎(chǔ)知識），一道大題(數(shù)列綜合題、或與函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等的綜合)，重點圍繞求數(shù)列通項、求前n項和、求參數(shù)范圍（常涉及數(shù)列的單調(diào)性）、不等式的證明（或比較大?。┑戎攸c題型考查。2. 算法框圖在高考中主要是以選擇或填空為主，主要是求輸出結(jié)果或判斷條件。二. 考

2、情快遞考點統(tǒng)計考查頻度考例展示等差數(shù)列 13北京10，廣東11，浙江7，山東20等比數(shù)列10遼寧14，新課標(biāo)全國5，安徽4數(shù)列求和9大綱全國5，湖北18，浙江19，江西16數(shù)列的綜合應(yīng)用10大綱全國22，山東20，安徽21，湖南19算法初步14天津3，廣東13，山東6，福建12三考試主要內(nèi)容1. 數(shù)列（1）數(shù)列的概念和簡單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）。了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)。(2) 等差數(shù)列、等比數(shù)列理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式。能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相

3、應(yīng)的問題。了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。2. 框圖（1）流程圖了解程序框圖了解工序流程圖（即統(tǒng)籌圖）能繪制簡單實際問題的流程圖，了解流程圖在解決實際問題中的作用。（2）結(jié)構(gòu)圖了解結(jié)構(gòu)圖。會運用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)過的知識、梳理收集到的資料信息。四?？碱}型考點一 數(shù)列的性質(zhì)1. 單調(diào)性的判斷及應(yīng)用例1. （2009年陜西高考卷）已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；證：（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立練習(xí).已

4、知an1an30，則數(shù)列an是(A)A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D不確定2. 周期性的判斷及應(yīng)用例2. (2012福建高考)數(shù)列an的通項公式anncos ，其前n項和為Sn，則S2 012等于()A1 006B2 012C503 D0解析：選A 由題意知，a1a2a3a42，a5a6a7a82，a4k1a4k2a4k3a4k42，kN.故S2 01250321 006.練習(xí). 在數(shù)列an中，a1，an11(n2)，則a16_.解析由題可知a211，a312，a41，此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16a351a1.答案例3.（2012年陜西高考卷）設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且

5、成等差數(shù)列則數(shù)列的公比為( )解析：設(shè)數(shù)列的公比為（）。由成等差數(shù)列，得，即。由得，解得，（舍去），所以。練習(xí).（2012高考新課標(biāo)理5）已知為等比數(shù)列，則（）【解析】因為為等比數(shù)列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，考點二 數(shù)列求通項1.由前幾項猜出通項 2. 由前n項和求通項例4.（2006年陜西高考卷）已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解: 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn1=an12+5an1+6(n2),由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan1

6、5)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列 a13;當(dāng)a1=2時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.練習(xí). 已知數(shù)列 an 的前n項和Sn2n22n，數(shù)列 bn 的前n項和Tn2bn，求數(shù)列 an 與 bn 的通項公式；解：由于a1S14，當(dāng)n2時，anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n，所以an4n(nN*)由b12b1，得b11，當(dāng)n2時，bnTnTn1bn1bn，所以2bnbn1，所以數(shù)列bn為等比數(shù)列，其首項為1，公比為.所以bn

7、n1.3. 由遞推關(guān)系求通項（1）累加法 ： 形如an1anf(n)(f(n)是可以求和的)的遞推式求通項公式時，常用累加法，巧妙求出ana1與n的關(guān)系式例5. 數(shù)列an的首項為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，則a8()A0 B3C8 D11解析：因為bn是等差數(shù)列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nN*)，即an1an2n8，所以a8a76a646a5246a1(6)(4)(2)02463練習(xí). 在數(shù)列an中a11，an13an2，求an解析an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an

8、123n1，an23n11.（2）累積法 : 形如an1anf(n)(f(n)是可以求積的)的遞推式求通項公式時，常用累乘法，巧妙求出與n的關(guān)系式例6. 已知數(shù)列an中，a11，(2n1)an(2n3)an1(n2)，則數(shù)列an的通項公式為_解析：原遞推公式即為(n2)，所以，(n2)各式左右兩邊分別相乘得(n2)，解得an(n2)，又a11適合上式，所以數(shù)列an的通項公式為an.練習(xí). 已知數(shù)列an滿足a11，anan1(n2)求an.解析anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.4. 構(gòu)造等比數(shù)列形如an1kanb(k1)(其中k、b為常數(shù))，都可以構(gòu)造

9、等比數(shù)列an，先求出該等比數(shù)列的通項公式，再求an.例7在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()A30 B31 C32 D33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案B考點三 數(shù)列求和1. 公式法 2. 拆并法 3. 倒序相加法 4. 錯位相減法 5.裂項相消法例8. (2012天津高考)已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，nN*，證明Tn8an1bn1(nN*，n2)思路點撥(1)由已知條件列出方程

10、組，求出等差、等比數(shù)列的公差、公比，寫出通項公式；(2)利用錯位相減法求解數(shù)列的前n項和，再作比較證明解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：由(1)得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，即Tn8(3n4)2n1.而當(dāng)n2時，an1bn1(3n4)2n1，所以，Tn8an1bn1，(nN*，n2)例9(2011新課標(biāo)全國)等比

11、數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以數(shù)列的前n項和為.練習(xí)1.(2011遼寧)已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項公式為an2n

12、.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，Sn.記Tn1，則Tn，得：Tn1，Tn.即Tn4.Sn444.練習(xí)3【2012高考全國卷理5】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項和為（ ）(A) (B) (C) (D)【解析】由,得，所以，所以又，選A.考點四 數(shù)列的綜合應(yīng)用例10（2008年陜西高考卷）已知數(shù)列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解法一：（），又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，對任意的，有取則原不等式成立解法二：（）同解法一（）設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取得最大值原不等式成立（）同解法一練

13、習(xí). 已知等差數(shù)列an的前n項的和為Sn，等比數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn3bn，若數(shù)列cn是遞增數(shù)列，求的取值范圍解：(1)由已知可得所以q2q120，解得q3或q4(舍)，從而a26，所以an3n，bn3n1.(2) 由(1)知，cn3bn3n2n.由題意，cn1cn對任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2n恒成立由于函數(shù)yn是增函數(shù)，所以min23，故3，即的取值范圍為(，3)3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元考點五 算法例1.【2012高考新課標(biāo)理6】如果執(zhí)行

14、下邊的程序框圖，輸入正整數(shù)和實數(shù)，輸出，則（）為的和為的算術(shù)平均數(shù)和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)和分別是中最小的數(shù)和最大的數(shù)【解析】根據(jù)程序框圖可知，這是一個數(shù)據(jù)大小比較的程序，其中A為最大值，B為最小值，選C.【答案】C例2.【2012高考陜西理10】右圖是用模擬方法估計圓周率的程序框圖，表示估計結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（）A. B. C. D. 【答案】D.【解析】根據(jù)第一個條件框易知M是在圓內(nèi)的點數(shù)，N是在圓外的點數(shù)，而空白處是要填寫圓周率的計算公式，由幾何概型的概念知，所以.故選D.練習(xí) 1. (2010陜西)如圖是求x1，x2，x10的乘積S的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為()ASS*(n1) BSS*xn1CSS*nDSS*xn解析第一次執(zhí)行S1(31)13，i2；第二次執(zhí)行S3(32)14，i3；第三次執(zhí)行S4(33)11，i4；第四次執(zhí)行S1(34)10，i54，結(jié)束循環(huán)，故輸出的結(jié)果是0，選B.2. (2011新課標(biāo)全國)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是()A120 B720 C1 440 D5 040解析由題意得，p111，k16；k112，p122，k26；k213，p236，k36；k314，p6424，k46；k415，p245120，k56；k516，p1206720，k6不小于6，故輸出p