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文檔簡介

1、第四章,第一節(jié):不定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的:使學(xué)生了解原函數(shù)與不定積分的概念,了解不定積分的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn):原函數(shù)與不定積分的概念。教學(xué)難點(diǎn):原函數(shù)的求法。教學(xué)內(nèi)容:一、 原函數(shù)與不定積分 定義1 如果對(duì)任一,都有 或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如:,即是的原函數(shù)。 ,即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理:如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù),則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù),即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù),使得對(duì)任一,有。注1:如果有一個(gè)原函數(shù),則就有無窮多個(gè)原函數(shù)。設(shè)是的原函數(shù),則,即也為的原函數(shù),其中為任意常數(shù)。注2:如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù),則與之差為常數(shù),即 (C為常數(shù))注3:如果為在區(qū)間I 上的一個(gè)

2、原函數(shù),則(為任意常數(shù))可表達(dá)的任意一個(gè)原函數(shù)。定義2 在區(qū)間I上,的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù),成為在區(qū)間I上的不定積分,記為。如果為的一個(gè)原函數(shù),則 ,(為任意常數(shù))例1 因?yàn)?, 得 例2 因?yàn)?,時(shí),;時(shí),得 ,因此有例3 設(shè)曲線過點(diǎn),且其上任一點(diǎn)的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求曲線的方程。解:設(shè)曲線方程為,其上任一點(diǎn)處切線的斜率為從而由,得,因此所求曲線方程為 由原函數(shù)與不定積分的概念可得:1)2)3)4)5)二、 積分公式1) (為常數(shù))2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)例4三、 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2,(為常數(shù),)例5 求解: 例6 求解:

3、 例7 求解:例8求解:例9 求解:例10 求解:小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了原函數(shù)的概念,不定積分的概念,不定積分的性質(zhì),學(xué)習(xí)了幾個(gè)簡單的積分公式,并通過幾個(gè)例子熟悉積分公式的使用作業(yè):(同濟(jì)大學(xué)第四版)P236: 1(4), (12), (13), (16), (18), (20), (23), (26); 2 第四章,第二節(jié):換元積分法教學(xué)目的:使學(xué)生掌握不定積分的第一類換元法和第二類換元法。教學(xué)重點(diǎn):不定積分的第一類換元法。教學(xué)難點(diǎn):不定積分的第二類換元法。教學(xué)內(nèi)容:一、 第一類換元積分法設(shè)為的原函數(shù),即 或 如果 ,且可微,則 即為的原函數(shù),或 因此有定理1 設(shè)為的原函數(shù),可微,則 (2-1)公

4、式(2-1)稱為第一類換元積分公式。例1 求 解:例2 求 解:例3 求 解:原式= 例4 求 , 解:例5 求 解: 例6 求 解: 例7 求 解: 例8 求 解: 二、 第二類換元積分法定理2 設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù),且,又設(shè) 具有原函數(shù),則 (2-2)其中為的反函數(shù)。公式(2-2)稱為第二類換元積分公式。例9 求 , 解:令 ,則 ,因此有 例10 求 ,解:令 ,則 ,因此有 其中。用類似方法可得 例11 求 解: 小結(jié):本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法。第一類換元法也稱為“湊微分”的方法。第二類換元法主要介紹了三種三角代換,即或,與,分別適用于三類函數(shù),與?!暗?/p>

5、代換”也屬于第二類換元法。作業(yè):(同濟(jì)大學(xué)第四版) P253.2(4), (10), (14), (19), (22), (25), (32), (33), (35), (38), (39), (40)第四章第三節(jié):分部積分法教學(xué)目的:使學(xué)生掌握不定積分的分部積分法。教學(xué)重點(diǎn):不定積分的分部積分法。教學(xué)難點(diǎn):分部積分法中與的選取。教學(xué)內(nèi)容:設(shè) ,則有 或 兩端求不定積分,得 或 即 (3-1) 或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求 解: 例2 求 解: 注1:由例1和例2可以看出,當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦(余弦)乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積,做分

6、部積分時(shí),取冪函數(shù)為,其余部分取為。例3 求 解: 例4 求 解: 注2:由例3和例4可以看出,當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積,做分部積分時(shí),取對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為,其余部分取為。 例5 求 解: 因此得 即 例6 求 解: 令 ,則 ,因此 小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了不定積分的分部積分法。對(duì)兩類不同形式的被積函數(shù)給出了分部積分的參考原則,也討論了分部方法與換元方法結(jié)合使用的例題。作業(yè):(同濟(jì)大學(xué)第四版) P258, 5, 6, 9, 11, 16, 18, 19, 21, 22第四章,第四節(jié):幾種特殊類型函數(shù)的積分教學(xué)目的:使學(xué)生基本掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、簡單

7、無理式的積分方法。教學(xué)重點(diǎn):有理函數(shù)的積分。教學(xué)難點(diǎn):三角函數(shù)有理式、簡單無理式的積分。教學(xué)內(nèi)容:一、 有理函數(shù)的積分形如 (4-1)稱為有理函數(shù)。其中及為常數(shù),且,。如果分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于分母多項(xiàng)式的次數(shù),稱分式為真分式;如果分子多項(xiàng)式的次數(shù)大于分母多項(xiàng)式的次數(shù),稱分式為假分式。利用多項(xiàng)式除法可得,任一假分式可轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式與真分式之和。例如: 因此,我們僅討論真分式的積分。根據(jù)多項(xiàng)式理論,任一多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解為一次因式和二次質(zhì)因式的乘積,即 (4-2)其中。如果(4-1)的分母多項(xiàng)式分解為(4-2)式,則(4-1)式可分解為 (4-3)例1 求 解:因?yàn)?得 例2 求 解:由于分母已為二次質(zhì)因式,分子可寫為 得 例3 求 解:根據(jù)分解式(4-3),計(jì)算得 因此得 二、 三角函數(shù)有理式的積分如果為關(guān)于的有理式,則稱為三角函數(shù)有理式。我們不深入討論,僅舉幾個(gè)例子說明這類函數(shù)的積分方法。例4 求 解:如果作變量代換 ,可得 ,因此得 三、 簡單無理式的積分例5 求 解:令 ,得 ,代入得 例6 求 解: 令 ,得 ,代

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