不定積分的概念與性質(zhì)

1、第四章，第一節(jié)：不定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的：使學(xué)生了解原函數(shù)與不定積分的概念，了解不定積分的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念。教學(xué)難點(diǎn)：原函數(shù)的求法。教學(xué)內(nèi)容：一、 原函數(shù)與不定積分 定義1 如果對(duì)任一，都有 或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如：，即是的原函數(shù)。 ，即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)，使得對(duì)任一，有。注1：如果有一個(gè)原函數(shù)，則就有無窮多個(gè)原函數(shù)。設(shè)是的原函數(shù)，則，即也為的原函數(shù)，其中為任意常數(shù)。注2：如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則與之差為常數(shù)，即 （C為常數(shù)）注3：如果為在區(qū)間I 上的一個(gè)

2、原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）可表達(dá)的任意一個(gè)原函數(shù)。定義2 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。如果為的一個(gè)原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)）例1 因?yàn)?， 得 例2 因?yàn)?，時(shí)，；時(shí)，得 ，因此有例3 設(shè)曲線過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求曲線的方程。解：設(shè)曲線方程為，其上任一點(diǎn)處切線的斜率為從而由，得，因此所求曲線方程為 由原函數(shù)與不定積分的概念可得：1)2)3)4)5)二、 積分公式1) (為常數(shù))2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)例4三、 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2，（為常數(shù)，）例5 求解： 例6 求解：

3、 例7 求解：例8求解：例9 求解：例10 求解：小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了原函數(shù)的概念，不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)，學(xué)習(xí)了幾個(gè)簡單的積分公式，并通過幾個(gè)例子熟悉積分公式的使用作業(yè)：（同濟(jì)大學(xué)第四版）P236: 1(4), (12), (13), (16), (18), (20), (23), (26); 2 第四章，第二節(jié)：換元積分法教學(xué)目的：使學(xué)生掌握不定積分的第一類換元法和第二類換元法。教學(xué)重點(diǎn)：不定積分的第一類換元法。教學(xué)難點(diǎn)：不定積分的第二類換元法。教學(xué)內(nèi)容：一、 第一類換元積分法設(shè)為的原函數(shù)，即 或 如果 ，且可微，則 即為的原函數(shù)，或 因此有定理1 設(shè)為的原函數(shù)，可微，則 (2-1)公

4、式(2-1)稱為第一類換元積分公式。例1 求 解：例2 求 解：例3 求 解：原式= 例4 求 ， 解：例5 求 解： 例6 求 解： 例7 求 解： 例8 求 解： 二、 第二類換元積分法定理2 設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè) 具有原函數(shù)，則 (2-2)其中為的反函數(shù)。公式(2-2)稱為第二類換元積分公式。例9 求 ， 解：令 ，則 ，因此有 例10 求 ，解：令 ，則 ，因此有 其中。用類似方法可得 例11 求 解： 小結(jié)：本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法。第一類換元法也稱為“湊微分”的方法。第二類換元法主要介紹了三種三角代換，即或，與，分別適用于三類函數(shù)，與?！暗?/p>

5、代換”也屬于第二類換元法。作業(yè)：(同濟(jì)大學(xué)第四版) P253.2(4), (10), (14), (19), (22), (25), (32), (33), (35), (38), (39), (40)第四章第三節(jié)：分部積分法教學(xué)目的：使學(xué)生掌握不定積分的分部積分法。教學(xué)重點(diǎn)：不定積分的分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：分部積分法中與的選取。教學(xué)內(nèi)容：設(shè) ，則有 或 兩端求不定積分，得 或 即 (3-1) 或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦（余弦）乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積，做分

6、部積分時(shí)，取冪函數(shù)為，其余部分取為。例3 求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時(shí)，取對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為，其余部分取為。 例5 求 解： 因此得 即 例6 求 解： 令 ，則 ，因此 小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了不定積分的分部積分法。對(duì)兩類不同形式的被積函數(shù)給出了分部積分的參考原則，也討論了分部方法與換元方法結(jié)合使用的例題。作業(yè)：(同濟(jì)大學(xué)第四版) P258, 5, 6, 9, 11, 16, 18, 19, 21, 22第四章，第四節(jié)：幾種特殊類型函數(shù)的積分教學(xué)目的：使學(xué)生基本掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、簡單

7、無理式的積分方法。教學(xué)重點(diǎn)：有理函數(shù)的積分。教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)有理式、簡單無理式的積分。教學(xué)內(nèi)容：一、 有理函數(shù)的積分形如 (4-1)稱為有理函數(shù)。其中及為常數(shù)，且，。如果分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于分母多項(xiàng)式的次數(shù)，稱分式為真分式；如果分子多項(xiàng)式的次數(shù)大于分母多項(xiàng)式的次數(shù)，稱分式為假分式。利用多項(xiàng)式除法可得，任一假分式可轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式與真分式之和。例如： 因此，我們僅討論真分式的積分。根據(jù)多項(xiàng)式理論，任一多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解為一次因式和二次質(zhì)因式的乘積，即 (4-2)其中。如果(4-1)的分母多項(xiàng)式分解為(4-2)式，則(4-1)式可分解為 (4-3)例1 求 解：因?yàn)?得 例2 求 解：由于分母已為二次質(zhì)因式，分子可寫為 得 例3 求 解：根據(jù)分解式(4-3)，計(jì)算得 因此得 二、 三角函數(shù)有理式的積分如果為關(guān)于的有理式，則稱為三角函數(shù)有理式。我們不深入討論，僅舉幾個(gè)例子說明這類函數(shù)的積分方法。例4 求 解：如果作變量代換 ，可得 ，因此得 三、 簡單無理式的積分例5 求 解：令 ，得 ，代入得 例6 求 解： 令 ，得 ，代