高中數(shù)學(xué)競賽講義八

1、高中數(shù)學(xué)競賽講義（八）平面向量一、基礎(chǔ)知識定義1  既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時(shí)用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個(gè)大寫字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a. |a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。定義2  方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。定理1  向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。定理2  非零向量a,

2、b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)0，使得a=f定理3  平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實(shí)數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。定義3  向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標(biāo)。定義4  向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，

3、也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）。定理4  平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a·(b+c)=a·b+a·c，3a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定義5  若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使，叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則。由此可得若

4、P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，則定義6  設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個(gè)單位得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點(diǎn)，平移到上對應(yīng)的點(diǎn)為，則稱為平移公式。定理5  對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|a|·|b|，并且|a+b|a|+|b|.【證明】  因?yàn)閨a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|a·b|

5、0, |a|·|b|0，所以|a|·|b|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同樣有|a·b|a|·|b|，化簡即為柯西不等式： (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|a·b|0, |a|·|b|0，所以|a|·|b|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,xn)

6、, b=(y1, y2, , yn)，同樣有|a·b|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）對于任意n個(gè)向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、方向與例題1向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。例1  設(shè)O是正n邊形A1A2An的中心，求證：【證明】  記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以例2  給定ABC，求證：G是ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則又因?yàn)?/p>

7、BC與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則因?yàn)?，則，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G為重心。例3  在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2?！咀C明】  如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。因?yàn)椋?·=  又因?yàn)橥?#160;   ，   ，   由，可得。得證。 2證利用定理2證明共線。例4  ABC外

8、心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2?！咀C明】  首先=其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。所以所以，所以，所以與共線，所以O(shè)，G，H共線。所以O(shè)G：GH=1：2。3利用數(shù)量積證明垂直。例5  給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例6  已知ABC內(nèi)接于O，AB=AC

9、，D為AB中點(diǎn)，E為ACD重心。求證：OECD?！咀C明】  設(shè)，則，又，所以a·(b-c).  （因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因?yàn)锳B=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0. 所以O(shè)ECD。4向量的坐標(biāo)運(yùn)算。例7  已知四邊形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，求證：AF=AE?！咀C明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則=(x, y-1),

10、 ，因?yàn)椋?x-(y-1)=0.又因?yàn)?，所以x2+y2=2.由，解得所以設(shè)，則。由和共線得所以，即F，所以=4+，所以AF=AE。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1以下命題中正確的是_. a=b的充要條件是|a|=|b|，且a/b；(a·b)·c=(a·c)·b；若a·b=a·c，則b=c；若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；若，且a, b共線，則A，B，C，D共線；a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影為-4。2已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：； ；與，相等的有_.3已知a=y-x, b=2x-

11、y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=_.4設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為_.5已知a, b不共線，=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的_條件.6在ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且，BM與CN交于D，若，則=_.7已知不共線，點(diǎn)C分所成的比為2，則_.8已知=b, a·b=|a-b|=2，當(dāng)AOB面積最大時(shí)，a與b的夾角為_.9把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1, -1), 若，c·b=4，則b的坐

12、標(biāo)為_.10將向量a=(2, 1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為_.11在RtBAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問與的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。12在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。  四、高考水平訓(xùn)練題1點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心。2在ABC中，且a·b<0，則ABC的形狀是_.3非零向量，若點(diǎn)B關(guān)于所在直線對稱的點(diǎn)為B1，則=_.4若O為ABC 的

13、內(nèi)心，且，則ABC 的形狀為_.5設(shè)O點(diǎn)在ABC 內(nèi)部，且，則AOB與AOC的面積比為_.6P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC 的_心.7已知，則|的取值范圍是_.8已知a=(2, 1), b=(, 1)，若a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是_.9在ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則的最小值為_.10已知集合M=a|a=(1, 2)+ (3, 4), R，集合N=a|a=(-2, -2)+ (4, 5), R,mj MN=_.11設(shè)G為ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，OAB與OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2

14、）求的取值范圍。12已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。（1）試問點(diǎn)P的軌跡是什么？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0, y0), 為與的夾角，求tan. 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實(shí)數(shù)p, q滿足時(shí)，若點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_.2p為ABC內(nèi)心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c. O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則=_（用a, b, c, x, y, z表示）.3已知平面上三個(gè)向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka

15、+b+c|>1(kR)，則k的取值范圍是_.4平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足，則的取值有_個(gè).5已知A1A2A3A4A5是半徑為r的O內(nèi)接正五邊形，P為O上任意一點(diǎn)，則取值的集合是_.6O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為ABC 的角，若sinA·+sinB·+sinC·，則點(diǎn)O為ABC 的_心.7對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的_條件.8在ABC 中，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則ABC 三邊長之比|a|：|b|：|c|=_.9已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，CP交AB于D

16、，求證：10已知ABC的垂心為H，HBC，HCA，HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為O1O2O3的外心。11設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個(gè)單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(xV)確定，（1）對于V的任意兩個(gè)向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；（2）對于V的任意向量x，計(jì)算TT(x)-x；（3）設(shè)u=(1, 0)；，若，求a.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn)，P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)，為定

17、比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn)，為另一定比，試問M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。2已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r.3在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。4在ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG。5是否存在四個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)