學(xué)而思_小升初專項訓(xùn)練__數(shù)論篇(1)_教師版

1、學(xué)而思_小升初專項訓(xùn)練_數(shù)論篇(1)_教師版名校真題 （數(shù)論篇） 1 （05年人大附中考題） 有_個四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同；它的每個數(shù)字都能整除它本身。 2 （05年101中學(xué)考題） 如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問這個兩位數(shù) 是。 3 （05年首師附中考題） 121+2022121+505212121+131313212121=（ ） 4 （04年人大附中考題） 甲、乙、丙代表互不相同的3個正整數(shù)，并且滿足：甲×甲=乙+乙=丙×135那么甲最小是_。 5 (02年人大附中考題) 下列數(shù)不

2、是八進(jìn)制數(shù)的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：設(shè)原來數(shù)為ab，這樣后來的數(shù)為a0b,把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9×(10a+b),所以我們可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數(shù)為45。 3 【解】：周期性數(shù)字，每個數(shù)約分后為121+221+521+1321=1 4 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數(shù)，而且是個偶數(shù)（乙+乙），這樣我們分解135=5×3×3×3，所以丙最小應(yīng)該是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3

3、15;3×5=90。 5 【解】：八進(jìn)制數(shù)是由除以8的余數(shù)得來的，不可能出現(xiàn)8，所以答案是D。 小升初專項訓(xùn)練 數(shù)論篇 基本公式 1）已知b|c,a|c,則a,b|c,特別地，若(a,b)=1,則有ab|c。 講解練習(xí)：若3a75b能被72整除，問a=,b=.（迎春杯試題） 2）已知c|ab，(b,c)=1,則c|a。 3）唯一分解定理：任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即 n= p11a× p22a×.×pkak（#) 其中p1<p2<.<pk為質(zhì)數(shù)，a1,a2,.ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。 該式稱為n的質(zhì)因子

4、分解式。 講解練習(xí)：連續(xù)3的自然樹的積為210，求這三個數(shù)為. 4）約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如（#） 那么n的約數(shù)個數(shù)為d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) 所有約數(shù)和：（1+P1+P12+p11a）（1+P2+P22+p22a）（1+Pk+Pk2+pkak） 講解練習(xí)：1996不同的質(zhì)因數(shù)有個，它們的和是。（1996年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽） 5) 用a,b表示a和b的最小公倍數(shù)，(a,b)表示a和b的最大公約數(shù)，那么有ab=a,b×(a,b)。 講解練習(xí)：兩個數(shù)的積為2646，最小公倍數(shù)為126，問這兩個數(shù)的和為。（迎春杯刊賽第10題） 6）自然數(shù)是否能被

5、3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等數(shù)整除的判別方法。 講解練習(xí)：3aa1能被9整除，問a=.（美國長島數(shù)學(xué)競賽第三試第3題） 7）平方數(shù)的總結(jié)： 1：平方差 A2-B2=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。 講解練習(xí)：82-72+62-52+42-32+22-12=。 2：約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。 講解練習(xí)：1100中約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的所有數(shù)和為。 3：質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。 講解練習(xí)：a與45的乘積一個完全平方數(shù)，問a最小是。 8）十進(jìn)制自然數(shù)表示法，十進(jìn)制和二進(jìn)制，八進(jìn)制，五進(jìn)制等的

6、相互轉(zhuǎn)化。 9）周期性數(shù)字：abab=ab×101 講解練習(xí)：2005×20062006-2006×20052005=。四、典型例題解析 1 數(shù)的整除 【例1】（）將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)（4×3×2×1=24）。將這24個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000-4000之間。請求出這24個四位數(shù)中最大的一個。 【例2】（）一個5位數(shù)，它的各個位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)？ 【

7、例3】（）由1，3，4，5，7，8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？ 【例4】（）一個學(xué)校參加興趣活動的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7 ，女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的2/5 。問男女生各多少人？ 2 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)） 【例5】（）2005×684×375×最后4位都是0,請問里最小是幾? 拓展：2005×684×375×最后4位都是0，且是7的倍數(shù)，問里最小是_ 【例6】（）03 年101中學(xué)招生人數(shù)是一個平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數(shù)比03年多了101人，也是一個平方數(shù)，

8、問04年的招生人數(shù)？ 3 約數(shù)和倍數(shù) 【例7】（）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？ 【例8】（）一根木棍長100米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標(biāo)記線，從右往左每5米作一根標(biāo)記線，請問所有的標(biāo)記線中有多少根距離相差4米？ 【例9】（）1、2、3、42008這2008個數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個2與一個奇數(shù)的積？ 【例10】（）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被

9、2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程） 4 數(shù)論的綜合題型 【例11】（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，,12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？ 【例12】（）有15位同學(xué)

10、，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程） 作業(yè)題 1（）在1100這100個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？ 2（）某班學(xué)生不超過60人，在一次數(shù)學(xué)測驗中，分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占71，得8089分的人數(shù)占21，得7079分得人數(shù)占31，那么得70分以下的有_人。

11、3（）自然數(shù)N是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有_個。 4. （）三個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而其中任意兩個數(shù)的乘積卻能被第三個數(shù)整除，那么這樣的三個自然數(shù)的和的最小值是多少？ 5、（）五個連續(xù)偶數(shù)之和是完全平方數(shù)，中間三個偶數(shù)之和是立方數(shù)（即一個整數(shù)的三次方），這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是多少？ 6、（）一個數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個是多少？ 7、（）從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行從左向右1至11報數(shù)，報數(shù)為11的同學(xué)原地不動，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右1至11報

12、數(shù)，報數(shù)為11的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至1l報數(shù)，報到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是_ 8、（）有1997個奇數(shù)，它們的和等于它們的乘積其中只有三個數(shù)不是l，而是三個不同的質(zhì)數(shù)那么，這樣的三個質(zhì)數(shù)可以是 、 、 四、典型例題解析 1 數(shù)的整除 【例1】（）將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)（4×3×2×1=24）。將這24個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000-4

13、000之間。請求出這24個四位數(shù)中最大的一個。 【解】：不妨設(shè)這4個數(shù)字分別是a>b>c>d 那么從小到大的第5個就是dacb,它是5的倍數(shù)，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 從大到小排列的第2個是abdc,它是不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，cb=5，c=4或2 從小到大的第二十個是adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4； 因為a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍數(shù)，和條件矛盾。因此d=3,從而a=d+4=3+4=7。 這24個四

14、位數(shù)中最大的一個顯然是abcd,我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以這24個四位數(shù)中最大的一個是7543。 【例2】（）一個5位數(shù)，它的各個位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)？ 思路：現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)的運(yùn)用要具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手 【解】：5位數(shù)數(shù)字和最大的為9×5=45，這樣43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979，97999，98989符合條件。 【例3】（）由1，3，4，5，7，

15、8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？ 【解】：各位數(shù)字和為1+3+4+5+7+8=28 所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14 為了使得該數(shù)最大，首位必須是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位為1 該數(shù)最大為875413。 拓展：一個三位數(shù)，它由0，1，2，7，8組成，且它能被9整除，問滿足條件的總共有幾個？ 【例4】（）一個學(xué)校參加興趣活動的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7 ，女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的2/5 。問男女生各多少人？ 【來源】：06年理工附入學(xué)測試題 【解】：男生超過總數(shù)的4/7就是說女生少個總數(shù)的3/7，這樣女生的范圍在2/

16、53/7之間，同理可得男生在4/73/5之間，這樣把分?jǐn)?shù)擴(kuò)大，我們可得女生人數(shù)在28/7030/70之間，所以只能是29人，這樣男生為41人。 2 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)） 【例5】（）2005×684×375×最后4位都是0,請問里最小是幾? 【解】：先分析1×2×3×4××10的積的末尾共有多少個0。由于分解出2的個數(shù)比5多，這樣我們可以得出就看所有數(shù)字中能分解出多少個5這個質(zhì)因數(shù)。而能分解出5的一定是5的倍數(shù)。注意：5的倍數(shù)能分解一個5，25的倍數(shù)分解出2個5，125的倍數(shù)能分解出3個5最終轉(zhuǎn)化成計數(shù)問題，如

17、5的倍數(shù)有10/5=2個。 2005=5×401 684=2×2×171 375=3×5×5×5前三個數(shù)里有2個質(zhì)因子2，4個質(zhì)因子5，要使得乘積的最后4位都是0 應(yīng)該有4個質(zhì)因子2和4個質(zhì)因子5，還差2個質(zhì)因子。因此里最小是4。 拓展：2005×684×375×最后4位都是0，且是7的倍數(shù)，問里最小是_ 【例6】（）03 年101中學(xué)招生人數(shù)是一個平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數(shù)比03年多了101人，也是一個平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？ 【解】：看見兩個平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)跟平方差相關(guān)，這樣我們

18、大膽的設(shè)03年的為A2，04年的為B2，從中我們發(fā)現(xiàn)04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B2- A2=101 此后思路要很順，因為看見平方差只有一種方法那就是按公式展開， 所以B2- A2=（A+B）（A-B）=101，可見右邊的數(shù)也要分成2個數(shù)的積，還得考慮同奇偶性，但101是個質(zhì)數(shù)，所以101只能分成101×1，這樣A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人數(shù)為51×51=2601。 拓展：一個數(shù)加上10，減去10都是平方數(shù)，問這個數(shù)為多少？（清華附中測試題） 5 約數(shù)和倍數(shù) 【例7】（）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙

19、片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？ 【解】：邊長是2002和847的最大公約數(shù)，可用輾轉(zhuǎn)相除法求得 （2002,847）=77 所以最后剪得的正方形的邊長是77毫米。 輾轉(zhuǎn)相除示例： 2002÷847=2308 求2個數(shù)的最大公約數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù) 847÷308=2231 用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止 308÷231=177 用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止 231÷77=3 最后一個除盡的

20、式子的除數(shù)就是兩個數(shù)的最大公約數(shù) 【例8】（）一根木棍長100米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標(biāo)記線，從右往左每5米作一根標(biāo)記線，請問所有的標(biāo)記線中有多少根距離相差4米？ 【解】：100能被5整除，所以每5米作標(biāo)記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉(zhuǎn)化成討論5，6的最小公倍數(shù)中的情況，畫圖可得有2根距離為4米，所以30，60，90里各有2條，但發(fā)現(xiàn)最后96和100也是距離4米，所以總共2×3+1=7。 拓展：在一根長木棍上，有三種刻度線.第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸

21、成多少段？ 【例9】（）1、2、3、42008這2008個數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個2與一個奇數(shù)的積？ 【解】：最小公倍數(shù)就是分解質(zhì)因數(shù)中共有的最多因數(shù)，這樣我們發(fā)現(xiàn)除2以外都是奇數(shù)質(zhì)因數(shù)，可見我們只要找需要多少個2，所以只要看12008中2n誰最大，可見210=1024，所以為10 個2。 【例10】（）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩

22、個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程） 【解】：1）首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除。 其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。 2）這個數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù) 由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60

23、060 因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是60060。 6 數(shù)論的綜合題型 【例11】（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，,12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？ 【解】： 設(shè)第一戶電話號是x+1,第二戶x+2,.第12戶電話號x+12 根據(jù)條件得x+i是i的倍數(shù)(i=1,2,12)因此x是1，2，.12的公倍數(shù) 1,2,.12=27720 所以x=27720m

24、 27720m+9是13的倍數(shù)，27720除以13余數(shù)為4 所以4m+9是13的倍數(shù)m=1,14,27. 第一家電話號碼是27720m+1 m取14合適； 因此第一家電話號碼是27720*14+1=388081 拓展：寫出連續(xù)的11個自然數(shù)，要求第1個是2的倍數(shù)，第二個是3的倍數(shù)第11個是12的倍數(shù)？【例12】（）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的

25、編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程） 【解】：1）首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除。 其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。 2）這個數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù) 由于上述十二個數(shù)的最小公

26、倍數(shù)是60060 因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是60060。作業(yè)題 （注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考） 題1，4類型1；題2，6類型3；題3，5，8類型2；題7類型2 1（）在1100這100個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？ 解：1+2+100=5050 9+18+27+99=9×(1+2+11)=495 隨意1-100中所有不能被9整除的數(shù)的和是5050-495=4555 2（）某班學(xué)生不超過60人，在一次數(shù)學(xué)測驗中，分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占71，得8089分的人數(shù)占21，得7079分得人數(shù)占31，那么得70分

27、以下的有_人。 解：有71、21、31，說明總?cè)藬?shù)一定為7的倍數(shù)、2的倍數(shù)、3的倍數(shù)，故為7、2、342的倍數(shù)； 又由于人數(shù)不超過60人，故這班的人數(shù)只能為42人。 從而70分以下的有：42×÷øöçèæ-31217111人。 3（）自然數(shù)N是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有_個。 解：枚舉法：23，37，53，73，有4個4. （）三個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而其中任意兩個數(shù)的乘積卻能被第三個數(shù)整除，那么這樣的三個自然數(shù)的和的最小值是多少？ 解：這三個自然數(shù)最小是6，10，15（分別是2×3,