中值定理證明

1、中值定理首先我們來看看幾大定理：1、 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點使得f()=C(a<<b).Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的取開區(qū)間。 介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上有最大值M，最小值m,若mCM,則必存在a,b, 使得f()=C。（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。此條推論運用較多）Ps：當(dāng)題目中提到某個函數(shù)f(x),或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或

2、者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對于在最大值和最小值之間的任何一個值，必存在一個變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、 零點定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)與f(b)異號，即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點使得f()=0.Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點函數(shù)值異號，結(jié)論是開區(qū)間存在點使函數(shù)值為0.3、 羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）、在區(qū)間端點處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(<a<b),使得f(x)=0;4、 拉格

3、朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(<a<b),使得f(b)-f(a)=f().(b-a).5、 柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足（1）、在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);（3）、對任一x(a<x<b),g(x)0,那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點,使得Ps：對于羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開開區(qū)間內(nèi)取值。6、 積分中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點使得Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開區(qū)

4、間上也是滿足的，下面我們來證明下其在開區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點使得證明：設(shè)，因為在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間上可導(dǎo)（導(dǎo)函數(shù)即為）。則對由拉格朗日中值定理有：使得而所以使得。在每次使用積分中值定理的時候，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬不可直接運用，因為課本給的定理是閉區(qū)間。定理運用：1、設(shè)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)函數(shù)，且.證明：(1)使 (2)使證明：先看第一小問題：如果用積分中指定理似乎一下子就出來了，但有個問題就是積分中值定理是針對閉區(qū)間的。有的人明知

5、這樣還硬是這樣做，最后只能是0分。具體證明方法在上面已經(jīng)說到，如果要在開區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必須來構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理證明其在開區(qū)間內(nèi)符合。（1）、令則由題意可知內(nèi)可導(dǎo).則對由拉格朗日中值定理有：(2)、對于證明題而言，特別是真題第一問證明出來的結(jié)論，往往在第二問中都會有運用，在做第二問的時候我們不要忘記了第一問證明出來的東西，我們要時刻注意下如何將第一問的東西在第二問中進(jìn)行運用：第二問是要證明存在點使得函數(shù)二階倒數(shù)為0，這個很容易想到羅爾定理來證明零點問題，如果有三個函數(shù)值相等，運用兩次羅爾定理那不就解決問題啦，并且第一問證明出來了一個等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么問

6、題就解決了。第一問中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點滿足結(jié)論一的形式呢，有了這樣想法，就得往下尋找了，看到這個很多人會覺得熟悉的，和介值定理很像，下面就來證明：上連續(xù)，則在上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小值，分別設(shè)為M,m;則從而，那么由介值定理就有：則有羅爾定理可知：，Ps：本題記得好像是數(shù)三一道真題，考察的知識點蠻多，涉及到積分中值定理，介值定理，最值定理，羅而定理，思路清楚就會很容易做出來。2、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1.證明: 本題第一問較簡單，用零點定理證明即可。（1）、首先構(gòu)造函數(shù)： 由零點定理

7、知：(2)、初看本問貌似無從下手，但是我們始終要注意，對于真題這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目，他的設(shè)問是一問緊接一問，第一問中的結(jié)論或多或少總會在第二問中起到作用。在想想高數(shù)定理中的就這么些定理，第一問用到的零點定理，從第二問的結(jié)論來看，也更本不涉及什么積分問題，證明此問題也只可能從三大中值定理出發(fā)，具體是哪個定理，得看自己的情況，做題有時候就是慢慢試，一種方法行不通，就換令一種方法，有想法才是最重要的，對于一道題，你沒想法，便無從下手。另外在說一點，在歷年證明題中，柯西中值定理考的最少。本題結(jié)論都涉及一階倒數(shù)，乘積之后為常數(shù)，很可能是消去了變?yōu)?（你題目做多了，肯定就知道事實就是這樣）.并且第一問中0與1之

8、間夾了個，如果我們在0與，與1上對運用拉格朗日中值定理似乎有些線索。寫一些簡單步驟，具體詳細(xì)步驟就不多寫了：將第一問中代入即可。Ps：本題是05年數(shù)一的一道真題，第一問是基本問題，送分的，第二問有一定區(qū)分度，對定理熟練的會容易想到拉格朗日定理，不熟練的可能難以想到方法。做任何題，最重要的不是你一下子就能把題目搞出來，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如果行不通了，在改變思路，尋求新的解法，如果你沒想法，你就根本無從下手。3、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1/3.證明：對于這道題的結(jié)論比較有意思，比較對稱，另

9、外一個就是結(jié)論的條件，為何要把放在兩個范圍內(nèi)，不像上一題中直接來個，這個分界點1/2 的作用是干嗎的。很可能也是把1 /2當(dāng)做某一個點就像上一題中的，是否要用到拉格朗日中值定理呢，這是我們的一個想法。那具體的函數(shù)如何來構(gòu)造呢，這個得從結(jié)論出發(fā)，我們把等式變一下：，這個不就是關(guān)于的導(dǎo)數(shù)（而且題目中f(1)=1/3,貌似這樣有點想法了），本題會不會也像上一題那樣，運用拉格朗日中值定理后相互消掉變?yōu)?呢，有了這些 想法我們就要開始往下走了：先來構(gòu)造一個函數(shù)：剛好證明出來。Ps：本題是近幾年數(shù)二的一道真題，只有一問，有比較大區(qū)分度的，得從條件結(jié)論互相出發(fā)，如何構(gòu)造出函數(shù)是關(guān)鍵。做出來之后我們反過來看這

10、個1/2的作用就知道了，如果只給，那就更難了 得自己找這個點，既然題中給了這個點，并且把兩個變量分開在兩個區(qū)間內(nèi)，我們就對這兩個變量在對應(yīng)區(qū)間用相應(yīng)定理。說明真題出的還是很有技巧的。一般設(shè)計難一點的中值定理證明，往往得用拉格朗日定理來證明，兩個變量，都涉及到導(dǎo)數(shù)問題，這是因為拉格朗日中值定理條件要少些，只需連續(xù)，可導(dǎo)即可，不像羅爾定理得有式子相等才可進(jìn)一步運用。4.設(shè)f(x)在區(qū)間-a,a(a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0 (1)、寫出f(x)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式 (2)、證明在-a,a上至少存在一點使得第一問課本上記住了寫出來就行，考的很基礎(chǔ)（1）、(2)、第二問

11、先將第一問的式子f(x)代入看看有什么結(jié)果出來，此處不能直接拿到積分號外面，因為他不是與x無關(guān)的數(shù)。做到這兒，我們想辦法把他弄到積分號外面似乎就能出來，有了這樣想法就得尋求辦法。題目中說道f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為何要這樣說呢，我們知道連續(xù)函數(shù)有最大值，最小值，往往會接著和介值定理一起運用。所以有：因為f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以存在最大值和最小值，設(shè)為M,m則對于區(qū)間-a,a，所以由介值定理有結(jié)論成立。Ps：本題是以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運用。題目中說的很明白的，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，往往當(dāng)題目中提及到什么連續(xù)啊，特別是對于導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的，我們總得注意下他有最大值，

12、最小值，進(jìn)而與介值定理聯(lián)合運用。5、設(shè)f(x)在上連續(xù)，且.證明：在內(nèi)至少存在兩個不同點本題看似很簡潔，但做起來去不容易。結(jié)論是證明等式成立且為0，很容易讓我們想到羅爾定理，我們?nèi)绻苷业饺齻€點處函數(shù)值相等，那么是不是就能有些思路了呢。令：，似乎只需在找出一點F(c)=0即可。，如果一切如我們所想，證明也就完成了。似乎已經(jīng)找到這個點了。但是積分中值定理中，是取閉區(qū)間，如果要用的話得先構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立。構(gòu)造函數(shù)具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到所以有：接下來的證明就和第一題中第二小問一樣了，具體就不去證明了，自己證，關(guān)鍵掌握方法，思路。Ps：

13、本題是02年左右的數(shù)一一道證明題，看看題目很簡潔，但具體來做，如果對定理的運用不熟練，還是不好弄出來。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0，容易想到積分中值定理，以及羅爾定理。但是積分中值定理是對于閉區(qū)間而言，而我們要用到開區(qū)間，只能自己構(gòu)造函數(shù)來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立，如果在實際做題的時候你不證明直接用，估計一半的分都沒了。本題關(guān)鍵的就是尋找這個點C，找出來了其他的都不是問題，既然是關(guān)鍵點，那得分點也肯定最多了，你不證明這個點，直接套用課本中定理（如果用的話，得分類討論了），硬是說C點就成立，那估計一半的分都沒了。對于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會下，多做些題，

14、多思考。下面來講講對于證明題中的，函數(shù)如何來構(gòu)造：基本上都是從結(jié)論出發(fā)，運用求導(dǎo)或是積分，或是求微分方程，解出來也可。本人自己總結(jié)了一些東西，與大家交流下：首先我們來看看一些構(gòu)造函數(shù)基本方法：一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系：一般都會構(gòu)造出1、如果只是單純導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，想想構(gòu)造帶有 可以構(gòu)造可構(gòu)造可構(gòu)造這個也是原函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)先將其變形下：左邊是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系可構(gòu)造：右邊可以看成是也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：從而要構(gòu)造的函數(shù)就是：2、如果還涉及到變量X，想想構(gòu)造可構(gòu)造可構(gòu)造可構(gòu)造3、另外還可以解微分方程來構(gòu)造函數(shù)：如二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)

15、之間關(guān)系構(gòu)造帶有如何構(gòu)造如下：對于此式子，你會不會有所想法呢，在上面講到一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的構(gòu)造方法，等式前面也可以看成是一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)（只不過原函數(shù)是）之間關(guān)系，從而等式左邊可以構(gòu)造等式右邊可以構(gòu)造總的構(gòu)造出來函數(shù)為：另：如果這樣變形：構(gòu)造函數(shù)如下：，可以看上面原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系如何構(gòu)造的。從而對于此函數(shù)構(gòu)造有兩種方法，具體用哪一種構(gòu)造得看題目給的條件了。如果題目給了為什么值可以考慮第一中構(gòu)造函數(shù)，如果題目給了，則可以考慮第二種構(gòu)造方法。先變形：變成一階導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系這個函數(shù)確實不好構(gòu)造，如果用微分方程來求會遇到復(fù)數(shù)根。實際做的時候還得看題目是否給了的一些條件，如果在某個

16、開區(qū)間內(nèi)不為0，而構(gòu)造出來的函數(shù)在閉區(qū)間端點取值相等，便可用羅而定理來證明。具體來看看題目：1、 設(shè)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1證明：（1）、存在（2）、存在（1）、對一問直接構(gòu)造函數(shù)用零點定理：具體詳細(xì)步驟就不寫了。（2）、該問主要問題是如何構(gòu)造函數(shù)：如果熟練的話用上面所講方法來構(gòu)造：先變形另：用微分方程求解法來求出要構(gòu)造的函數(shù)把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)函數(shù)構(gòu)造出來了，具體步驟自己去做。2、設(shè)在a,b上連續(xù)，f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,證明：（1）存在 （2）存在（1）、第一問中的函數(shù)構(gòu)造：（2）、第二問中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說道了我們在這用第一種原因在于第一問中=0符合此題構(gòu)造。具體詳細(xì)步驟自己去寫寫。3、設(shè)奇函數(shù)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1,證明：(1) 存在(2) 存在第一問中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點本題很容易想到用羅爾定理構(gòu)造函數(shù)來求，因為涉及到了導(dǎo)函數(shù)（1）、，題目中提到奇函數(shù)，f(0)=0有F(0)=F(1)=0從而用羅爾定理就出來了。（2）、第二問中的結(jié)論出發(fā)來構(gòu)造函數(shù)，從上面講的方法來看，直接就可以寫出要構(gòu)造的函數(shù)先變形下：函數(shù)構(gòu)造