抽象概括的應(yīng)用

1、抽象概括在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究黃路學(xué)校 王美娟前言皮亞杰認(rèn)為“教育的宗旨不在于把金可能多的東西教給學(xué)生，取得盡可能大的效果，而在于首先教給學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)發(fā)展自己的方法?！边@就要求教師在平時的教學(xué)過程中，應(yīng)貫穿兩條主線：一條是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)；另一條就是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。但在目前的課堂教學(xué)活動中，普遍存在著只注重前者而忽略后者，造成了大多數(shù)學(xué)生只能機(jī)械地模仿解題，而缺少獨立解答題目的能力，更談不上獨立用發(fā)散思維來解決問題。平時常談到這個學(xué)生能力差，那個學(xué)生能力不強(qiáng)等，都是由于教師在平時教學(xué)中忽視了數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和培養(yǎng)所造成的。隨著素質(zhì)教育的全面實施，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性也日益

2、凸現(xiàn)出來?，F(xiàn)行的教材編排中，可以看出數(shù)學(xué)思想方法往往隱藏在知識的背后，需要加以分析、提煉才能顯露出來。數(shù)學(xué)教材中的每一章節(jié)，乃至每一道例題都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)結(jié)合，教師應(yīng)花更大的精力去鉆研教材，吃透教材，使學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步形成數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法有很多，有抽象概括法、化歸法、數(shù)形結(jié)合法、歸納猜測法、分類、類比等等。所謂抽象，是在思想上抽取事物的一般的、本質(zhì)的屬性，舍去個別的、非本質(zhì)的思維過程；所謂概括，是在思想上把同類事物一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)合起來，并推廣到同類事物上去的思維過程。數(shù)學(xué)教材中，抽象概括法孕育于知識中所占的比例最大。這種思想方法與數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)

3、、發(fā)展、形成有著密切的聯(lián)系，通過有意識的訓(xùn)練抽象概括能力對學(xué)好數(shù)學(xué)有著非常重要的意義。一、 在概念教學(xué)中的應(yīng)用小學(xué)教學(xué)中包含著大量的數(shù)學(xué)概念，主要有數(shù)的概念，整除的概念，運(yùn)算方面的概念，式的概念，幾何形體及其有關(guān)概念等等。每一個概念都是對一類事物的多個對象進(jìn)行觀察分析，抽象出每個對象的各種屬性，再經(jīng)過歸納概括出各個對象的共同屬性而形成的。目前教學(xué)中普遍存在一種現(xiàn)象，就是教師在引導(dǎo)學(xué)生探索的過程中，往往急于求成沒有充分展示抽象概括的思維活動過程，就只管端出完整結(jié)論，讓學(xué)生記憶、背誦。這樣既不利于學(xué)生理解知識的本質(zhì)，也不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展。由于數(shù)學(xué)概念教學(xué)是比較抽象的，教師必須在引導(dǎo)學(xué)生直觀、

4、感性的基礎(chǔ)上，根據(jù)概念的特征，精設(shè)問題，精心引導(dǎo)，讓學(xué)生在一定數(shù)量的具體事例的基礎(chǔ)上逐步發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)，從而概括出結(jié)論性的東西。例如，在教學(xué)質(zhì)數(shù)和合數(shù)時，先請學(xué)生觀察比較幾個數(shù)的約數(shù)，通過分析進(jìn)行分類，使學(xué)生清楚地找到了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，從而抽象出這兩個概念的本質(zhì)屬性，再通過概括形成質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。在該概念的形成過程中，教師以導(dǎo)為主，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、概括，自己悟出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義。這既是概念形成的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生比較、抽象、概括等能力的最佳時機(jī)。二、 在計算公式教學(xué)中的應(yīng)用理解計算公式的來源，對于小學(xué)生來說，這是一大難點。小學(xué)生的思維是從形象思維開始的，通過直觀感知，形象表象具備了

5、一定的形象思維能力后才能促進(jìn)思維的發(fā)展，由具體形象的抽象邏輯思維過渡。在教學(xué)中通過“比”、“拼”、“看”、“想”，認(rèn)真分析，找出本質(zhì)特征形成正確的表象，從而建立概念，突出難點。以“梯形面積的計算”為例來說，先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的兩個梯形，教師提出問題：比一比，這兩個梯形大小是否完全一樣？拼一拼，這兩個完全一樣的梯形可以拼成什么圖形？當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用兩個完全一樣的梯形拼出一個平行四邊形后，教師就讓學(xué)生概括出：“其中一個梯形的面積是拼成的這個平行四邊形面積的一半?！苯處熃又謫枺浩叫兴倪呅蔚牡紫喈?dāng)于梯形的什么？梯形的高與拼成的平行四邊形的高又有什么關(guān)系？當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)確回答后，教師又追問：“（上底+下底）&

6、#215;高”計算的是什么圖形的面積？那么梯形的面積該怎樣計算？學(xué)生通過親手操作，迅速地抽象概括出了梯形的面積計算公式，這樣不僅使課堂氣氛活躍，而且使抽象的概念具體化。三、 在計算法則教學(xué)中的應(yīng)用計算法則，運(yùn)算定律是學(xué)生進(jìn)行計算的依據(jù)，只有正確靈活地使用法則和定律，才能使計算既快又準(zhǔn)確。以往的教學(xué)中，教師常常側(cè)重讓學(xué)生死記硬背法則、定律，忽視對法則、定律的來源和形成過程的探討，造成學(xué)生只會死記，卻無法正確熟練的應(yīng)用，這是學(xué)生計算能力差的一個根源。在這方面的教學(xué)中，也可以在教學(xué)過程中進(jìn)行訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的思想方法。例如教學(xué)“整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的法則”時，首先，根據(jù)算式的意義操作，讓每位學(xué)生準(zhǔn)備

7、12根 1 2 3 5火柴，根據(jù)算式12×,12×,12× ,12×的意義取出相應(yīng)的根數(shù)，并結(jié)合 3 3 4 6（2）、（3）兩式的思考過程回答。教師板書： 2 12×12÷3×24×28 3 3 12×12÷4×33×394 2 2其次，啟發(fā)思考，教師出示“4×”，讓學(xué)生進(jìn)行模仿性練習(xí)，結(jié)果學(xué)生只做到4× 3 3 =4÷3×2，這時，教師啟發(fā)：“4除以3除不盡，我們怎樣才能表示出每份是多少呢？誰會 利用學(xué)過的知識來解決這個問題？” 2

8、 4 4×2 2學(xué)生思考后回答：4×4÷3×2×22 3 3 3 3最后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、歸納法則，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察計算步驟。提問：“這樣計算步驟太多，其實只要從哪一步開始就可以了？”交流總結(jié)后，學(xué)生再試做。并提出：“哪種方法具有普遍性？為什么？整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的一般方法是什么？”讓學(xué)生自己歸納。這樣雖然很費(fèi)時間，但是十分有必要，讓學(xué)生花費(fèi)一定的時間展開探索，不但可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，而且可以使學(xué)生掌握一種數(shù)學(xué)思想方法，獲得一種能持續(xù)發(fā)展的能力，這正是素質(zhì)教育所追求的目標(biāo)。四、 在幾何教學(xué)中的應(yīng)用小學(xué)的每冊教材中，都適

9、當(dāng)增加了幾何方面的內(nèi)容，但小學(xué)生的抽象思維能力發(fā)展并不充分，他們認(rèn)識幾何圖形的特征，要通過感性、直觀材料進(jìn)行觀察、比較、抽象、概括才能實現(xiàn)，這需要教師重視抽象高空的訓(xùn)練。例如在教學(xué)“對頂角”時，首先讓學(xué)生動手過O點畫一條直線AB，并提問：“得到的兩條射線有什么特點？”（方向相反，有公共頂點）。 D O A B A B O C 接著再過O點畫一條直線CD,并問：“這時O點可以看作什么？”（四個角的公共頂點），最后讓學(xué)生觀察討論，組成AOC,BOD的兩條邊有什么特點？（方向相反）。這時教師可小結(jié)說像這樣的圖形叫對頂角，并讓學(xué)生也嘗試說說什么是對頂角，但此時，學(xué)生可能對對頂角還比較模糊，于是教師可接

10、著問：“圖中還有沒有對頂角？為什么？”接著又讓學(xué)生畫出雖然是對頂?shù)⒉皇菍斀堑膬蓚€角，唯有經(jīng)過這樣的反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生才能概括出對頂角的本質(zhì)特征。幾何中的定理、公式、概念均可對學(xué)生進(jìn)行概括訓(xùn)練，如學(xué)完弧長公式、扇形面積公式后雖然學(xué)生能記住公式，但對弧長與所在的圓周長，扇形面積與所在的圓的面積的關(guān)系還處于一種潛意識階段，要及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，對他們進(jìn)行有意識的訓(xùn)練。板書如下。（括號內(nèi)為學(xué)生討論后填空） 1 11圓心角是1°的弧長是圓周長的 ，圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 。 360 360 120 12圓心角是120°的弧長是圓周長的（ ），圓心角是120&

11、#176;的扇形面積是圓面 360 3 120 1積的（ ）。 360 3 n 3圓心角是n°的弧長是圓周長的（ ），圓周長是n°的扇形面積是圓面積的 360 n( )。 360讓學(xué)生觀察討論相同半徑的弧長與圓周長，扇形面積與圓面積的關(guān)系是與什么條件有關(guān)的，有什么聯(lián)系，如何表達(dá)？最后學(xué)生概括出： 弧長 n 扇形面積 n 圓周長 360 圓面積 360 經(jīng)過如此有目的的抽象概括，運(yùn)用這兩個關(guān)系式，對解答類似圓心角是45度的弧長是 312cm,與它同半徑的圓周長是( )cm，相同半徑的扇形面積是圓面積的 ，扇形的圓 8心角是（ ）度解答時將極為方便，也使學(xué)生對弧長與圓周長、扇形

12、面積與圓面積的關(guān)系達(dá)到明朗化，從而加深了弧長公式、扇形面積公式的理解。五、 在應(yīng)用題教學(xué)中的應(yīng)用抽象、概括與比較、分析、綜合一樣，都是思維的過程。概括是一種特殊式的綜合，是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。應(yīng)用題教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力尤為重要。每一道應(yīng)用題都有其一組或幾組具體的數(shù)量關(guān)系。如：紅花的朵數(shù)+黃花的朵數(shù)=花的總數(shù)；每行的棵數(shù)×行數(shù)=總棵數(shù)。教學(xué)中教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，把握時機(jī)引導(dǎo)學(xué)生在具體事物或現(xiàn)象中找出符合于一般規(guī)則或結(jié)論的特征，從而用一般來解釋個別。像以上所列舉的那些具體的數(shù)量關(guān)系式，可引導(dǎo)學(xué)生抽象概括為：部分?jǐn)?shù)+另一部分?jǐn)?shù)=總數(shù)；每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。這樣，在后繼的學(xué)

13、習(xí)中，學(xué)生就能用這些基本數(shù)量關(guān)系式去解決不同的應(yīng)用題。有人稱一些數(shù)量關(guān)系式為“解題模式”，認(rèn)為要求學(xué)生掌握會導(dǎo)致思維的僵化，抑制思維的發(fā)展。其實這些基本的數(shù)量關(guān)系式恰恰是一類應(yīng)用題客觀規(guī)律的高度抽象與概括，是將相同數(shù)量關(guān)系歸類的結(jié)果。它對于學(xué)生理解、掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，建立合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成技能技巧起著非常重要的作用。教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，即使是解答簡單應(yīng)用題，如果不能掌握與課題相應(yīng)的最基本的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生也無從下手。如：要解決加減或乘除法應(yīng)用題，就要掌握總數(shù)與兩個部分?jǐn)?shù)，總數(shù)與每份數(shù)、份數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。有了這個條件，就集中在理解題意，把課題同化為相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。復(fù)合應(yīng)用題都可以分解成若干簡單應(yīng)用題，學(xué)生分析解答要多次從頭腦中提取有關(guān)數(shù)量關(guān)系作為分析推理的“前提”，然后才能得出“結(jié)論”，完成解題任務(wù)。這些基本數(shù)量關(guān)系也是學(xué)生學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題，判斷成正比例、反比例的量等知識的基礎(chǔ)。前蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨基認(rèn)為，數(shù)學(xué)能力之一就是“把數(shù)學(xué)材料形式化，把形式從內(nèi)容中分離出來，從具體的數(shù)量關(guān)系和空間形式中抽象它們以及用形式的結(jié)構(gòu)（即關(guān)系和聯(lián)系的結(jié)構(gòu)）來進(jìn)行運(yùn)算的能力。”通過應(yīng)用題教學(xué)，要逐步培養(yǎng)學(xué)生從大量的或繁雜的數(shù)學(xué)材料中抽取最重要的本質(zhì)特征，從外表不同的數(shù)學(xué)材料中看出共同點。抽象思維是從具體事物開始的，最后還要回到具體事物中去，要培養(yǎng)學(xué)生把概括了的