2020屆高三復(fù)習(xí)經(jīng)典教案：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和最新考綱1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題 情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.知識(shí)全通關(guān)夯實(shí)基礎(chǔ),掃除盲點(diǎn)1 .等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列 就叫做等差數(shù)列.用符號(hào)表示為母士=an = d(nC N*, d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是 A=.a2b,其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).2 .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：a

2、n = ai+ (n 1)d.(2)前 n 項(xiàng)和公式：Sn = na1 + nn=1d= na12 an-j3 .等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an= am+(n- m)d(n, mW N*).(2)右an為等差數(shù)列，且 k + l = m+n(k, l, m, nW N ),則 ak+ a a_m+ an.若an是等差數(shù)列，公差為d,則a2n和a2n+1也是等差癡匚WlH2d.(4)若an, bn是等差數(shù)列，則pan+qbn也是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列，公差為d,則ak, ak+m, ak:+ 2m,(k, mCN*)是公差為md的等差數(shù)列.(6)數(shù)列Sm, S2mSm,

3、S3m-S2m,也是等差數(shù)列.(7)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系常用結(jié)論1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，若a1>0, dvo,則Sn有最大值，即所有正項(xiàng)之和最大，若 a1<0, d>0,則 Sn有最小值，即所有負(fù)項(xiàng)之和最小.一 aS2n 12.兩個(gè)等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,則有引=7.bn I 2n-13.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列 導(dǎo))也是等差數(shù)列.基礎(chǔ)自測(cè)1 .(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"x”)(1)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nCN*,都有2an+1=an+an+2.(

4、)(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).()(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為 0的二次函數(shù).()答案(1)，(2)，(3)X (4)X2 .(教材改編)等差數(shù)列11,8,5,，中一49是它的第幾項(xiàng)()A.第19項(xiàng)B.第20項(xiàng)C.第21項(xiàng)D.第22項(xiàng)C 由題意知 an= 11 + (n-1)x(-3)=-3n+14,令一3n+14= 49 得 n= 21,故選 C.3 .在等差數(shù)列an中，若a2=4, %=2,則a6等于()A.1B. 0C. 1D. 6B a2, a4, a6成等差數(shù)列，則a6= 0,故選B.4 .小

5、于20的所有正奇數(shù)的和為 .100 小于20的正奇數(shù)組成首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為19的等差數(shù)列，共有10項(xiàng)，因此它們的和 Sio= 10f1 + 19一100.5 .（教材改編）設(shè)&為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2=S6, a4 = 1,則as=.1由 S2=S6得 23+04+25+26=0,即 為 + 25 = 0,又 a4=1,則 a5= 1.課堂題型全突破考點(diǎn)全面方法簡(jiǎn)潔K E 丁區(qū)N叼I題型1|等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 06+018=54, §9 = 437,則02 018的值是（）A. 4 039 B. 4 038 C. 2 019 D.

6、 2 038A 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意可知2a1 + 22d=54,&=5,解得，,1901+171d=437,、d=2,所以 02 018 = 5+2017X2=4 039,故選 A.2 . （2019武漢模擬）已知數(shù)列0n是等差數(shù)列，01 + 07= 8, 02=2,則數(shù)列0n的公差d等于（）A. - 1B. -2C. 3 D, -4由題意知01 + 07 = 201 + 6d = - 8, 、02 = 01 + d = 2.d= - 3,解得3故選C.a = 5,3 .張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾.初日織五尺，今一月日織九匹三丈. 其意思為今有一女子

7、擅長(zhǎng)織布，且從第 2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織 5尺布, 現(xiàn)在一個(gè)月（按30天計(jì)）共織390尺布.則該女子最后一天織布的尺數(shù)為 （ ）A. 18B. 20C. 21 D. 25C 用0n表示第n天織布的尺數(shù)，由題意知，數(shù)列0n是首項(xiàng)為5,項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列.工 30101 + 030）所以 j"2'= 390,即3052 030 L 390,解得 030=21,故選 C.4 .設(shè)Sn為等差數(shù)列0n的前n項(xiàng)和，012 = 8, &=9,則S16=72 設(shè)等差數(shù)列0n的首項(xiàng)為01,公差為d,012= 01 + 11d= - 8,由已知，得99X 8解得

8、O9_12'9 = 一 1.八 16 15、，. .$16=16X3+2 X（ 1）= 72.規(guī)律方法等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法（1筲差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)01和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前 n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程（組上解.20ai, an, d, n, S,知其中三個(gè)就能求另(2蘆差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量 外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題 .I題型2|一一 一，、一3例1 已知數(shù)列an中，a1=. an = 2 5等差數(shù)列的判定與證明an 1(n>2, nW N*),數(shù)列bn滿足 bn =口”N ). an(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；求數(shù)列a

9、n中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.解證明：因?yàn)閍n = 2-二(G2,), bn =(),所以 bn+ 1 bn= ;an+ 11an 11an 1an=1.又b1 =a1 1所以數(shù)列bn是以一5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.,-7(2)由(1)知 bn=n2,貝!j an = 1 + = 1 + -.bn2n 7，2設(shè) f(x)= 1+,2X 7則f(x)在區(qū)間7oo '2”馬，+ 00杷為減函數(shù)所以當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值一1, 當(dāng)n = 4時(shí)，an取得最大值3.拓展探究本例中，若將條件變?yōu)?a1 = 3, nan+1= (n + 1)an+n(n+1),試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.5

10、解由已知可得an+ 1n+ 1an1，即'a上一an=1,又 a1 = 3, n+1 n '5ann 一, , an =Ian促以 + 5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列, 7+ (n-1) 1 = n-,55n2-2n.5規(guī)律方法等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1曰義法：證明對(duì)任意正整數(shù) n都有an+1 an等于同一個(gè)常數(shù).(2再差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù) n都有2an + 1 = an + an+2后，可遞推得出an+2an+1 = an+1 an = an- an 1 =an 1-an 2=- = a2-a1 ,根據(jù)定義得出數(shù)列 an為等差數(shù)列.(3兩項(xiàng)公式法：得出an=pn+q后，得

11、an+1 an=p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an 為等差數(shù)列.(4 jU n項(xiàng)和公式法：得出Sn = An2+Bn后，根據(jù)S, %的關(guān)系，得出an,再使用定義法證明數(shù)列 an為等差數(shù)列二.跟蹤練習(xí) (2019貴州模擬)已知數(shù)列an滿足a1 = 1,且nan+1一(n1)an= 2n2+ 2n.(1)求 a2, a3；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式.解(1)由已得 a2 2a1=4,則 a2 = 2a1 + 4,又 a1=1,所以 a2=6.由 2a33a2= 12,得 2a3=12+3a2,所以 a3=15.(2)由已知 nan+1 (n+1)an=2n(n+1),得

12、an+1OKnan+1 (n + 1 anRnv匚=2,即n n+ 1所以數(shù)列 年是首項(xiàng)為牛=1,公差d = 2的等差數(shù)列.則三=1 + 2(n1) = 2n1,所以 an = 2n n.1題型3|等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用?考法1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用【例 2】(1)(2019 長(zhǎng)沙模擬)數(shù)列an滿足 2an= an-1 + an+i(n > 2),且 az + a4+a6=12,則 a3+a + a5等于()A. 9B. 10C. 11D. 12(2)(2019銀川模擬)已知等差數(shù)列an的公差為d(dw0),且a3 + a6 + a0+如=32,若am= 8,則m 的值為()A. 8B. 1

13、2C. 6 D. 4(1)D (2)A (1)數(shù)列an滿足2an=an 1+an+1(n>2),則數(shù)列an是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性 質(zhì)可知，a3 + a4 + a5= a2 + a4 + a6= 12.(2)由 a3 +a6+a10+ a13 = 32 得 4a8= 32,即 a8= 8.又dw0,所以等差數(shù)列4是單調(diào)數(shù)列，由am=8,知m= 8,故選A.?考法2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例3】(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為G,若S3=9, &=36,則27+23+29等于()A. 63B. 45C. 36 D. 27(2)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1 = 2 0

14、14,黑言一黑8=6,則S2 019=.2 0 14 2 008(1)B (2)8076 (1)由an是等差數(shù)列，得S3, S6S3, Sg4為等差數(shù)列.即 2(S6 S3) = S3+ (S9- Ss),得到 S9-S6=2S6-3S3=45/ IP a7+a8+a9=45,故選 B.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 春池為等差數(shù)列.、兒 _=p 八 S S s. IrTH S2 014 S2 008 ci c .1 4設(shè)其公差為 d,則o cm o6d= 6, - d= 1.2 0 14 2 008故2=卓+2 018d=- 2 014+2 018= 4,S2 019=8 076.規(guī)律方法應(yīng)用等

15、差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1 卉等差數(shù)列an中，右 m+ n= p + q = 2k(m> n、p、q、kC N 則 am+ an= ap+aq = 2ak 是常用的性質(zhì).(2同握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的 值的特征，這是解題的突破口 .跟蹤練習(xí)(1)已知等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn.且Sio = 10. S2o=30.則&.=(2)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若am=10, S2m 1 = 110,則m=.等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若 = 1三，則.In 2n 十 1b7(1)60 (2)6 (3)27 (1

16、)由題意知，“ &0 So, S30S20成等差數(shù)列.則 2($0 &°) = S° + (S30S20),即 40= 10+(00 30),解得&0= 60.(2)= 12m|2 22m21am=11°,解得 m = 6.1337_207_ a+a13 _ 5a1+a13/彳br梟37Sn 3X 132 37jIB94I等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值【例4】(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a = 13, S3=Sn,當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A. 5B. 6C. 7 D. 8C (1)法一：由S3 = S1,得a4+a5+為1 = 0

17、,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得 a7 + a8 = 0.根據(jù)首項(xiàng) 等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7>0, a8<0,故n=7時(shí)，&最大.法二：由 S3=S11,可得 3a1 + 3d= 11a1 + 55d,把 a1=13 代入，得 d = 2,故 Sn= 13n- n(n-1) =n2 + 14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng) n=7時(shí)&最大.法三：根據(jù)a=13, S3=Sn,知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零，且這個(gè)數(shù)列的和是先遞增后遞減.根 據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可得只有當(dāng)n3+11,-=；一=7時(shí)，Sn取得最大

18、值.(2)已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為一3,前三項(xiàng)的積為8.求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若a2, a3, a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn. 解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則 a2 = a + d, a3 = a1 + 2d.3a1 + 3d= - 3,由題意得 ，c匕1團(tuán)+d fa1 + 2d戶8,解得：a1 = 2, b= 3所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an = 2 3(n 1) = 3n+5 或 an = 4+ 3(n 1) = 3n 7.故 an= 3n+ 5 或 an= 3n 7.當(dāng)an=3n + 5時(shí)，a2, a3, a1分別為一1, 4,2,不成等比數(shù)列；當(dāng)an = 3n

19、7時(shí)，a2, a3, a1分別為一1,2, 4,成等比數(shù)列，滿足條件.2,"3n+ 7, n = 1 故 |an|= |3n-7|= 3n7, n>3.記數(shù)列3 n7的前 n項(xiàng)和為 Sn,則 S = '=2門(mén)2 ?n.、”一一,3 2 11當(dāng) n&2 時(shí)，Tn= |a1|+|a21+ |aj= (ai+a2 +an) = n +2n,，.-3 2 11.3211/n +n , n< 2,綜上知:當(dāng) n>3 時(shí)，Tn= |a|+ 庇|+忸3|+ 十 |an|= (a+a2)十 (a3+ %+ + an) = Sn 2&=9胃,+ 10,Tn-&

20、#39;3 2 1112n 萬(wàn)n+ 10, n>3.規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和&最值的兩種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式 Sn=an2+bn,通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最 值的方法求解.（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：am > 0,當(dāng)aI>0, d<0時(shí)，滿足，的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；gm +1 & 0am & 0,當(dāng)a1<0, d>0時(shí)，滿足，的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.gm + 1>0跟練習(xí)（1）在等差數(shù)列an中，a + a3+a5 = 105, a2+a4+a6=99,以Sn表木an的前n項(xiàng)和, 則

21、使Sn達(dá)到最大值的n是（）A. 21B. 20C. 19 D. 18(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2n-10(n N*),則 |a1|+咫| + + |a5|=.(1)B(2) 130(1)因?yàn)閍+a3+a5= 3a3=105,a?+a4 + a6=3%=99,所以a3=35, %=33,所以41 .d = 2, a1 = 39.由 an=a+(n1)d=39 2(n1)=41 2n>0,解得 n<y,所以當(dāng) n = 20 時(shí) Sn達(dá)到最 大值，故選B.(2)由an = 2n-10(n N )知an是以一8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an=2n10>0得n>5

22、, 所以 n<5 時(shí)，an<0,當(dāng) n>5 時(shí),an>0,所以 |a1|+咫|+ |a5|= 一 (a+a2+23+a4+25)+(ae+ a15) = S15-2S5= 130.真題自主驗(yàn)效果近年考題，感悟規(guī)律ZHEN T I ，1.（2017全國(guó)卷I）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5= 24, S6=48,則an的公差為（A. 1B. 2C. 4D. 8C 設(shè)an的公差為d,則包+a5=24,S=48,伸1 + 3d 4(a1 +4d 尸24,得 l6a1 + 6y5d = 48,2解得d= 4.故選C.2.（2015全國(guó)卷I）已知an是公差為1的等差數(shù)

23、列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S8=4S4,則a10 = （17A. £19B.萬(wàn)C. 10 D. 12B 1.公差為1,.c c . 8X/8-1- c ic ,，八 - S8= 8a1 +2 及 1 = 8a1 + 28, S4=4a1 + 6.1- S8 = 4S4, . 8a + 28 = 4(4a1 + 6),解得 a1 = 2,一.1 - 19. . a0= a+ 9d = 2 + 9 = 2.故選 B.3. (2015全國(guó)卷n )設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若aI+a3 + a5 = 3,則S5=()A. 5B. 7C. 9 D. 11., c cc , c 5fa1

24、+a5) _A a1 + a3+a5= 3a3= 3? a3= 1, Ss=2'= 5a3 = 5.15.4. （2018全國(guó)卷n ）記&為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a = 7, S3=- （1）求 an的通項(xiàng)公式；2.掃馬<«»求Sn,并求&的最小值.解 設(shè)an的公差為d,由題意得3ai+3d = 15.由a1 = 7得d= 所以an的通項(xiàng)公式為an=2n 9.由得 Sn=n2_ 8n = （n 4）2 16.所以& n=4時(shí)，&取得最小值，最小值為一16.課后限時(shí)集訓(xùn)（二十九）（建議用時(shí)：60分鐘） A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇

25、題1.在等差數(shù)列an中，若前10項(xiàng)的和A. 4B. -4C. 510a1+45d=60,C 法一：由題意得a +6d = 7,S10=60,且 a7=7,則 a4=()D. 5a1 = 3,解得 V 2：a4=a1 + 3d=5,故選 C.F=3，10a1+a10一法:由等差數(shù)列的性質(zhì)有a + a0= a7+a4, - Sio=?=60, . . a+ a0= 12.又. a7=7,：a4 = 5,故選 C.2,設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a2 + a7+a2 = 24,則S3 = ()A. 52B. 78C. 104 D. 208C 由 a2 + a7+a2= 24 得 3a7 = 2

26、4, 即 a7 = 8,-13 a + a3 - S13=2 13a7= 13x 8= 104,故選 C.3.在數(shù)列an中，若a=1, a2= 9, 1"=:+'一（nCN）,則該數(shù)列的通項(xiàng)為（）2 an+1 an an+2B.an=C.2 an=奇1%,知高r是首項(xiàng)為1， 11a1=1，公差為工1=21211_ 1111A 由已知式01=£十二可得010?就-OnZ=1的等差數(shù)列，所以L=n,即an = 1. annJ4.設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn,若Sm-1 = -2,Sm=0,Sm+1 = 3,m>2,mWN*,則 m=()A. 3B. 4C.

27、5 D. 6C , an是等差數(shù)列，Sm-1=-2, Sm= 0,am = Sm Sm 1 = 2.又 Sm+1 = 3,am+1 = Sm+1 Sm = 3, ： d= am+1 am= 1.又Sm=：a1 = 2,am = 2+(m1) 1 = 2, m= 5.5. (2019銀川模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù)有如下問(wèn)題：“今有金第，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？ ”意思是：“現(xiàn)有一根金笨，長(zhǎng)五尺，一頭粗，一 頭細(xì)，在粗的一端截下 1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問(wèn)依次每一尺各重多少斤？ ” 根據(jù)上述的已知條件，若金笨由粗到細(xì)是均勻變化的，問(wèn)第二

28、尺與第四尺的重量之和為()A. 6 斤B. 9 斤C. 9.5 斤 D. 12 斤A 依題意，金 革由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1 = 4,則a5 = 2,由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2+a4=a + a5=6,所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤.故選A.二、填空題6. 在等差數(shù)列an中，首項(xiàng) a1 = 0,公差 dw0,若 ak= a +a?+a3+，+ a?,則 k =.22 ak=a1 + (k1)d = (k1)d, a1+ a2+a3+a7 = 7a4= 7a1+21d = 21d,所以 k1 = 21,得 k = 22.17. 在等差數(shù)列an中，公差d = 2,刖100項(xiàng)的

29、和S100 = 45,則a1 + 23 +a5+ a99 =.10 az + a4 + a6+ a00= (a + a3+a5+ a99)+ 25,由 Si00= 45 得 a1 + a3 + a§+ + a99= 10.a1 a28. (2019青島模擬)若xwv，數(shù)列x, a1，a2, y和x, b1，b2, b3, y各自成等差數(shù)列，則-一，=40x yx y 、一a2 4鼻 由就息信 a1 a2= Q , b1 b2= 4 , 所以 ，=%334b 1 一。2 3三、解答題9. 已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,且&=110.(1)求a及k的值；

30、設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn = Sn,證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求其前 n項(xiàng)和Tn. 解(1)設(shè)該等差數(shù)列為an,則a = a, a2=4, a3 = 3a,由已知有 a+3a = 8,得 a1=a=2,公差 d = 42=2, k(k一1 )k(k一1 )2所以 Sk=ka1 + -L21 d = 2k+-L-21x 2=k2+k.由 Sk= 110,得 k2+k- 110= 0,解得 k=10 或 k=11(舍去)，故 a=2, k= 10.n(2 2n(2)證明：由(1)得& = 2f= n(n + 1),則 bn = Sn1= n+ 1,故 bn+1 bn= (n+2) (n+1)

31、 = 1,即數(shù)列bn是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以Tn =n(2+ n+ 1 L n(n+ 3 )10. (2019長(zhǎng)春模擬)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a=25,且a1，an, a13成等比數(shù)歹U.(1)求 an的通項(xiàng)公式；(2)求 a1 + a4+ a7+ a3n-2.解(1)設(shè)an的公差為d.由題意，得a11 - a1a13,即(a1+ 10d)2=a1(a1+ 12d).于是 d(2ai + 25d)= 0.又a = 25,所以d = 0(舍去)或d=- 2.故 an= 2n+27.(2)令 & = a十a(chǎn)4+a?+a3n-2.由(1)知a3n-2=6n + 31,故a

32、3n-2是首項(xiàng)為25,公差為一6的等差數(shù)列.從而 Sn=2(ai + a3n 2)n. 一=2( 6n+ 56)=- 3n2 + 28n.B組能力提升1 .若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n-1 +2a20是()A ,公差為3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D .公差為9的等差數(shù)列C an=n + a1 一 1,.二 a?n-1= 2n + a1 一 2, a2n= 2n + a1 一 1,.二 a?n 1 + 2a2n= 6n + 3a1 4.因此數(shù)列a2n-1 +2a2n是公差為6的等差數(shù)列，故選 C.2 .在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)里有一段敘述：今有良馬與弩

33、馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng) 安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；弩馬初日行九十七里，日減半里；良馬 先至齊，復(fù)還迎弩馬，二馬相逢，問(wèn)：幾日相逢？ ()A. 9 日B. 8 日C. 16 日D. 12 日A 根據(jù)題意，顯然良馬每日行程構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)a=103,公差d1=13的等差數(shù)列，前n天共跑的里程為 S= na1 + nn2d1= 103n+123n(n1)=6.5n2+96.5n；弩馬每日行程也構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng) b=97, 公差d2=0.5的等差數(shù)列，前 n天共跑的里程為 S= nb1+nn2工2=97n05n(n 1) = 0.25n2+ 97.25n.兩馬相逢時(shí)，共跑了一個(gè)來(lái)回.

34、設(shè)其第n天相逢，則有6.5n2 +96.5n0.25n2+97.25n= 1 125X2, 解得n=9,即它們第9天相遇，故選A.3,設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, Sm-1 = -2, Sm=0, Sm+尸3,則正整數(shù)m的值為. 5 由題意知 am=Sm Sm-1=2, am+ 1 = Sm+ 1 Sm = 3 ,則公差 d= am + 1 am= 1.由 Sm= 0 得m.、_mJ= 0,解得 a1 = am = - 2,則 am=2+(m1)x 1 = 2,解得 m=5.4. (2019 武漢性叫)已知數(shù)列an滿足 a =2, n(an+1 n1) = (n+1)(an+n)(n C

35、N*).(1)求證：數(shù)列jan髭等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn = >/2或一15,求數(shù)列|bn|的前n項(xiàng)和Tn.解(1)證明：: n(an+1 n 1) = (n+ 1)(an+ n)(nC N*), ，. ,、_ , . ,、. an+1an - nan+1 (n + 1)an=2n(n+1), .十1n = 2，:數(shù)列an是等差數(shù)列，其公差為2,首項(xiàng)為2,2+2(n-1) = 2n.(2)由(1)知 an=2n2, ：bn=反一15 = 2n15, n( 13+2n 15)2則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn =2= n214n.令 bn = 2n15<0, nCN*,解得 n

36、<7.n& 7 時(shí)，數(shù)列| bn|的前 n 項(xiàng)和 Tn = bi b2一bn= Sn= n + 14n.n > 8 時(shí)，數(shù)列| bn|的前 n 項(xiàng)和 Tn= bi b2一b7+b8+ bn= 2S7 + Sn= - 2X (72 14X7) 22+ n 14n = n 14n+98.114n n2, n<7,n2 14n + 98, n > 8.第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)夯實(shí)基礎(chǔ),掃除盲點(diǎn)考綱傳真1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決

37、相應(yīng)的問(wèn)題 的關(guān)系.知識(shí)全通關(guān)1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差郁等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列 就叫做等差數(shù)列.用符號(hào)表示為 an+1an = d(nC N*, d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：an= a1+ (n 1)d.A=亨，其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).前n項(xiàng)和公式：Sn = nai +3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)n(n 1 dn(ai+ an)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n- m)d(n, mW N*).(2)若an為等差數(shù)列，且 k + l =

38、m+n(k, l, m, nW N),貝 ak土旦產(chǎn) am+ an.若an是等差數(shù)列，公差為d,則a2n和a2n+l也是等差數(shù)列，公差為 2d.(4)若an, bn是等差數(shù)列，則pan+qbn也是等差數(shù)列.(5)右an是等差數(shù)列，公差為d,則ak, ak+m, ak+ 2m,(k, mCN )是公差為(6)數(shù)列Sm, S2mSm, S3mS2m,也是等差數(shù)列.(7)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系md的等差數(shù)歹U.常用結(jié)論1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，若ai>0, dv0,則Sn有最大值，即所有正項(xiàng)之和最大，若 Sn有最小值，即所有負(fù)項(xiàng)之和最小.ai<0, d>

39、;0,則2.兩個(gè)等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,則有*=12口.bn I 2n-13,等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為G,則數(shù)列 春池是等差數(shù)列.基礎(chǔ)自測(cè)1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"X”)(1)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nCN*,都有2an+1=an+an+2.()(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.()數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).()(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為 0的二次函數(shù).()2.(教材改編)等差數(shù)列11,8,5,，中一49是它的第幾項(xiàng)()A.第19項(xiàng)B.第20項(xiàng)C.第21項(xiàng)D

40、.第22項(xiàng)3.在等差數(shù)列an中，若a2=4, a4=2,則a6等于()A.1B. 0C. 1D. 64 .小于20的所有正奇數(shù)的和為 5.(教材改編)設(shè)S為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，82=0,a4 = 1,則 a5=課堂題型全突破考點(diǎn)全面方法簡(jiǎn)潔等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a6+ai8=54, S9 = 437,則a2 018的值是()A. 4 039 B. 4 038 C. 2 019 D. 2 0382 . (2019武漢模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，ai + a7= 8, a2=2,則數(shù)列an的公差d等于()A. - 1B. 2C, -3 D, -43 .

41、張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾.初日織五尺，今一月日織九匹三丈.” 其意思為今有一女子擅長(zhǎng)織布，且從第 2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布.則該女子最后一天織布的尺數(shù)為 ( )A. 18B. 20C. 21 D. 254 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a12 = 8, &=9,則$6=規(guī)律方法等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法(1件差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前 n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組內(nèi)解.(2%差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量 a1，不，d, n, Sn,知其中

42、三個(gè)就能求另 外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題 .|題型21等差數(shù)列的判定與證明【例 1】已知數(shù)列an中，a1 = 3,an = 2-(n>2,nCN*),數(shù)列bn滿足bn =7；(n CN*).5an 1an - 1(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.拓展探究本例中，若將條件變?yōu)?a1 = 3, nan+1= (n + 1)an+n(n+1),試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 5規(guī)律方法等差數(shù)列的四個(gè)判定方法（1聲義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+i an等于同一個(gè)常數(shù).（2件差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an + i = an + an+2后，可遞

43、推得出an+2an+l= an+1 an =an- an 1 =an 1-an 2 = >" = a2-ai,根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列.（3型項(xiàng)公式法：得出an=pn+q后，得an+i an= p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an 為等差數(shù)列.（4 W n項(xiàng)和公式法：得出Sn = An2+Bn后，根據(jù)S, %的關(guān)系，得出an,再使用定義法證明數(shù)列 an為等差數(shù)列.跟蹤練習(xí) （2019貴州模擬）已知數(shù)列an滿足ai = 1,且nan+i（n + 1）an= 2n2+ 2n.求a2, a3；1（2）證明數(shù)列，On 混等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式.1題型3等差數(shù)列性質(zhì)的

44、應(yīng)用?考法1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用【例 2】（1）（2019 長(zhǎng)沙模擬）數(shù)列an滿足 2an= an-1 + an+1（n> 2）,且 az + a4+a6=12,則 a3+a4 + a5等于（）A. 9B, 10C. 11D. 12（2）（2019銀川模擬）已知等差數(shù)列an的公差為d（dw0）,且a3 + a6 + ao+a3 = 32,若am= 8,則m 的值為（）A. 8B. 12C. 6 D. 4?考法2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例3】（1）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9, S6=36,則a7+ag+a9等于（）A. 63B. 45C. 36 D. 27（2）已知&am

45、p;是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1 = -2 014, 20喜一2瑞=6,則S2 019=規(guī)律方法應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1 向等差數(shù)列an中，若 m+n= p + q = 2k(m、n、p、q、kC N *> 則 am+ an= ap+aq = 2ak 是常用 的性質(zhì).(2淤握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的 值的特征，這是解題的突破口 .跟蹤練習(xí)(1)已知等差數(shù)列4的前n項(xiàng)和為Sn.且Sio = 10. S2o=30,則&o=.(2)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若am=10, S2m 1 = 110,則m=.等差數(shù)列an

46、與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若Tn = 3nU，則熱1題型4|等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值【例4】(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1 = 13, 8=&1,當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A. 5B. 6C. 7 D. 8(2)已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為一3,前三項(xiàng)的積為8.求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若a2, a3, a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和&最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式 Sn=an2+bn,通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最 值的方法求解.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：am'0，八H 口、，當(dāng)a»0, d<0時(shí)，滿足， 八 的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；qm + 1&0一 .一 4工0, 一 ， 當(dāng)a1<0, d>0時(shí)，滿足，的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.L.am + 1 ) 0跟蹤練習(xí)(1)在等差數(shù)列an中，a1+a3+a5= 105, az+a4+a6=99,以Sn表示an的前n項(xiàng)和, 則使Sn達(dá)到最大值的n是()A. 21B. 20C. 19 D. 18(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-10(n N*),則冏|+園+閉51=.真題自主驗(yàn)效果近年考題，感悟規(guī)律Z bl E N T I1.(全國(guó)卷I)記Sn為等差數(shù)列an