初中數(shù)學數(shù)與式總復習

1、初中數(shù)學數(shù)與式總復習實數(shù)的有關概念(1)實數(shù)的組成有理數(shù)實數(shù)正整數(shù)整數(shù) 零負整數(shù)有盡小數(shù)或無盡循環(huán)小數(shù)無理數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)無盡不循環(huán)小數(shù)注意：1.最簡分數(shù)是有理數(shù)。2.冗、最簡根式、e等是無理數(shù)。(2)數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意 上述規(guī)定的三要素缺一個不可)。實數(shù)與數(shù)軸上的點是對應的。數(shù)軸上任一點對應的數(shù)總大于這個點左邊的點對應的數(shù)，(3)相反數(shù)實數(shù)的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，零的相反 數(shù)是零).從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱.(4)絕對值a (a 0)|a|0(a0)a (a 0)從數(shù)

2、軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離(5)倒數(shù)實數(shù)a(aw0)的倒數(shù)是1(乘積為1的兩個數(shù)，叫做互為倒數(shù))；零沒有倒數(shù). a【例題經(jīng)典】理解實數(shù)的有關概念例1a的相反數(shù)是-1,則a的倒數(shù)是5*實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示： b 0 a貝化簡 I b - a | + 4(a b)2 =.去年泉州市林業(yè)用地面積約為山，用科學記數(shù)法表示為約【點評】本大題旨在通過幾個簡單的填空，讓學生加強對實數(shù)有關概念的理 解.例 2.(-2) 3與-23().(A)相等(B)互為相反數(shù) (C)互為倒數(shù) (D)它們的和為16 分析：考查相反數(shù)的概念，明確相反數(shù)的意義。例小的絕對值是；-3 1

3、的倒數(shù)是；3的平方根是29分析：考查絕對值、倒數(shù)、平方根的概念，明確各自的意義，不要混淆。答案：V3 , -2/7 , 2/3例4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()A . -3 與超 B . I -3 | 與一 -C . | -3 | 與1 33例1下列實數(shù)22、sin60 0 7有()個A . 1 B . 2 C分析：本題考查相反數(shù)和絕對值及根式的概念 掌握實數(shù)的分類、(72)、-屈、(-/)-2、78中無理數(shù) 3.3 D . 4【點評】對實數(shù)進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據(jù)結果去判斷.實數(shù)的運算(1) 加法同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)

4、的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕 對值；任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。(2) 減法 a-b=a+(-b)(3) 乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零.即|a| |b|(a,b同號)ab |a| |b|(a,b異號)0(a或b為零)除法 a a工(b 0) b b(5)乘方 an aa an個(6)開方 如果乂2 = 2且乂0,那么Ja =x; 如果x3=a,那么3/a x在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減.有括號時，先算括號里面.3.實數(shù)的運算律(1)加法交換律 a+b =b+a(2)加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)(3)乘法交換律 ab

5、 =ba.(4)乘法結合律 (ab)c=a(bc)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意實數(shù).運用運算律有時可使運算簡便.【例題經(jīng)典】例1、若家用電冰箱冷藏室的溫度是 4C,冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低 22C, 則冷凍室的溫度(C)可列式計算為A . 422 =18B. 224=18C. 22 ( 4) = 26D. 422=26點評：本題涉及對正負數(shù)的理解、簡單的有理數(shù)運算，試題以應用的方式呈現(xiàn)，同時也強調“列式”，即過程。例2.我國宇航員楊利偉乘“神州五號”繞地球飛行了 14周，飛行軌道近似看 作圓，其半徑約為6. 71 X103千米，總航程約為(冗取3. 14,保留3個

6、有效數(shù)字)()A . 5. 90 X 105千米 B . 5. 90 X 106千米C . 5. 89 X 105千米 D . 5. 89X 106千米分析：本題考查科學記數(shù)法例3.化簡的結果是(). 7 2(A) 7-2 (B)7+2 (C)3(7-2) (D)3(7+2)分析：考查實數(shù)的運算。例4.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子中正確的有(). b+c0 a+ba+c bcac abaccbaJ .一 2-1 Q 123 1(A)1 個(B)2 個(C)3 個(D)4 個 分析：考查實數(shù)的運算，在數(shù)軸上比較實數(shù)的大小。1例 5 計算：-1+ (-2) 2X (-1)

7、 0- | -712 | .3【點評】按照運算順序進行乘方與開方運算。例5.校學生會生活委員發(fā)現(xiàn)同學們在食堂吃午餐時浪費現(xiàn)象十分嚴重，于是決 定寫一張標語貼在食堂門口，告誡大家不要浪費糧食.請你幫他把標語中的有關 數(shù)據(jù)填上.(已知1克大米約52粒)如果每人每天浪費1粒大米、全國13億人口、每天就要大約浪費噸大米分析：本題考查實數(shù)的運算。例7.陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級或二級臺階，玩著玩著兩 人發(fā)現(xiàn)：當樓梯的臺階數(shù)為一級、二級、三級逐步增加時，樓梯的上法數(shù)依 次為：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,. .(這就是著名的斐波那契數(shù)列).請你仔細 觀察這列數(shù)中的規(guī)律后回答：

8、上10級臺階共有 種上法.分析：歸納探索規(guī)律：后一位數(shù)是它前兩位數(shù)之和例8.觀察下列等式(式子中的“ ！”是一種數(shù)學運算符號)1!=1 , 2!=2X1, 3!=3X2X1, 4!=4X3X2X1,，98!分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn) 100! =100*99*98!整式【回顧與思考】字時表示數(shù)知識點代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項、合并同類項、去括號與去括號法則、幕的 運算法則、整式的加減乘除乘方運算法則、乘法公式、正整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、 負整數(shù)指數(shù)幕。大綱要求考查重點1 .代數(shù)式的有關概念.(1) 代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表 示數(shù)的字母連結而成的

9、式子.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式.(2) 代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果p叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡 再求化(3)代數(shù)式的分類2 .整式的有關概念1、單項式的有關概念(1)單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字 母也叫做單項式。例如：3a, m2n, abx,4x3,9,aI注意：單項式不含加減運算，只含字母與字母或字母的乘法(包括乘方)運算 (2)單項式的系數(shù)：單項式中數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。例如：單項式1c c 1x2y, 7xy2的系數(shù)分別是-,7,當單項式系數(shù)是1或一

10、1時，“1”通常省略不22寫，如ab就是1 ab ,系數(shù)是1; n就是1 n ,系數(shù)是1.(3)單項式的次數(shù)(指數(shù))：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項 式的次數(shù)。如4x的次數(shù)是1, 3x2y3z的次數(shù)是2+3+1=6;數(shù)學的次數(shù)是0,如3, 9等可以當作0次單項式。一個單項式的次數(shù)是幾就叫做幾次單項式，如 1a2b2中，a與b的指數(shù)和為4,3則-a2b2是四次單項式。3例1:指出下列各單項式的系數(shù)和次數(shù)2 3a 22. 3 x y,5ab ,a bc ,37提示：圓周率 是常數(shù)，當單項式中含有 時， 是單項式的系數(shù)，且在計算單 項式的次數(shù)時應注意不要加上的指數(shù)。2、多項式的有關概念

11、(1)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項， 不含字母的項叫做常數(shù)項。如3x2 2x 5是多項式，它的項分別是3x2, 2x和 5,其中5是常數(shù)項。(2)多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。如2y4 3x2 2的次為是3,即“2x3”的次數(shù)。一個多項式中含有幾項，最高次數(shù)是幾次就叫幾次幾項式。如2y4 6y3 6叫做四次三項式。在多項中，含有字母的項的次數(shù)是幾次就叫做幾次項。如3a2b 2ab b 5中，3a2b就是它的三次項，二次項是2ab, 一次項是b,常數(shù)項是5.3、整式的概念單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。判斷一個式子是不是整式應注意幾點

12、(1)分母不含字母；(2)根號里面不含字 母根式（1）單項式：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式.對于給出的單項式，要注意分析它的系數(shù)是什么，含有哪些字母，各個字母 的指數(shù)分別是什么。（2） 多項式：幾個單項式的和，叫做多項式對于給出的多項式，要注意分析它是幾次幾項式，各項是什么，對各項再像分析單項式那樣來分析（3）多項式的降幕排列與開幕排列把一個多項式技某一個字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降幕排列把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來，叫做把這個多項式技這個字母開幕排列，給出一個多項式，要會根據(jù)要求對它進行降幕排列或開幕排列.（4） 同類項所含字

13、母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類頃.要會判斷給出的項是否同類項，知道同類項可以合并.即ax bx （a b）x其中的X可以代表單項式中的字母部分，代表其他式子。3.整式的運算（1）整式的加減：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來， 再用加減號連接.整式加減的一般步驟是：（i） 如果遇到括號.按去括號法則先去括號：括號前是“十”號，把括 號和它前面的“ +”號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是“一”號，把括 號和它前面的“一”號去掉.括號里各項都改變符號.（ii） 合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù).字母和字母 的指數(shù)不變.（2） 整式的乘除：單項式相乘

14、（除），把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘（除）， 對于只在一個單項式（被除式）里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積（商）的一個 因式相同字母相乘（除）要用到同底數(shù)幕的運算性質：am an am n（m,n是整數(shù)）am an amn（a Qm,n 是整數(shù)）多項式乘（除）以單項式，先把這個多項式的每一項乘（除）以這個單項式，再 把所得的積（商）相加.多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一 項，再把所得的積相加.遇到特殊形式的多項式乘法，還可以直接算：2(xa)(xb)x(ab)x ab,(ab)(ab)a2b2,2 _2(a b) a 2ab b ,(a b)(a2 ab b

15、2) a3 b3.3 3)整式的乘方單項式乘方，把系數(shù)乘方，作為結果的系數(shù)，再把乘方的次數(shù)與字母的指數(shù) 分別相乘所得的事作為結果的因式。單項式的乘方要用到幕的乘方性質與積的乘方性質：(am)n amn(m,n 是整數(shù))，(ab)n anbn(n 是整數(shù))多項式的乘方只涉及222(a b) a 2ab b【例題經(jīng)典】代數(shù)式的有關概念例 1、已知一1b0, 0 a a+b、a+b2、a2+b 中, 對任意的a、b,對應的代數(shù)式的值最大的是()(A) a+b (B) a-b (C)a+b2(D)a2+b評析：本題一改將數(shù)值代人求值的面貌，要求學生有良好的數(shù)感。同類項的概念例1若單項式2am+2bn-

16、2m+2與a5b7是同類項，求nm的值.【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得m 2n 5, n 2m 2 7X房房 室客廳解出即可。例2 一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、廚房的面積 和是()A. 4xyB . 3xy C . 2xy D . xy評析：本題是一道數(shù)形結合題，考查了平面圖形的面積的計算、 合并同類項等知識，同時又隱含著對代數(shù)式的理解。幕的運算性質例1 (1) aman=( m n都是正整數(shù))；(2) am+ an=(aw0, m, n 都是正整數(shù)，且 mn ,特別地：a0=1 (aw0),a-p=4 (aw0, p是正整數(shù))； a(3) (am) n=(m n都是正

17、整數(shù))；(4) (ab) n=(n是正整數(shù))(5)平方差公式：(a+b) (a-b) =.(6) 完全平方公式：(ab) 2=.【點評】能夠熟練掌握公式進行運算.例2.下列各式計算正確的是().(A)(a 5) 2=a7 (B)2x -2= (c)4a 3 - 2a2=8a6 (D)a 8+ a2=a62x分析：考查學生對幕的運算性質及同類項法則的掌握情況。例3.下列各式中，運算正確的是()A . a2a3=a6B . (-a+2b) 2=(a-2b) 2c . a b?(a+bwO) D . J(1 73)2 1 V3a2 b2 a b分析：考查學生對幕的運算性質例4、(泰州市)下列運算正確

18、的是A. a2 a3 a5；B . (-2x)3=-2x3 ;C. (a b)( a+b)=a2 2abb2 ;D. 28 3 /2評析：本題意在考查學生幕的運算法則、整式的乘法、二次根式的運算等的掌握情況。整式的化簡與運算例 5 計算：9xy (- - x2y)=;3先化簡，再求值：(x-y ) 2+ (x+y) (x-y ) +2x 其中 x=3, y=-1 . 5.【點評】本例題主要考查整式的綜合運算，學生認真分析題目中的代數(shù)式結構，靈活運用公式，才能使運算簡便準確.【回顧與思考】因式分解K考查重點與常見題型R考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點考查的分式提取公因

19、式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。因式分解知識點多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積. 分解因式要進行 到每一個因式都不能再分解為止.分解因式的常用方法有：提公因式法如多項式 am bm cm m(a b c),其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式.(2)運用公式法，即用22a b (a b)(a b),a2 2ab b2 (a b)2,寫出結果a3 b3 (a b)(a2 ab b2)(3)十字相乘法對于二次項系數(shù)為l的二次三項式x2 px q,尋找滿足ab=q,a+b=p的 a,b,如有

20、，則x2 px q (x a)(x b);對于一般的二次三項式ax2 bx c(a 0),尋找滿足aia2=a,ciC2=c,aiC2+a2Ci=b的ai,a2,ci,C2, 如有，則2ax bx c (a1x c1 )(a2x a).(4) 分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因 式在各組之間進行.分組時要用到添括號：括號前面是“ +”號，括到括號里的各項都不變符號； 括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變符號.(5)求根公式法：如果ax2 bx c 0(a 0),有兩個根Xi, X2,那么- 2ax bx c a(x x1 )(x x?).【例題經(jīng)典】掌握因式分

21、解的概念及方法例1、分解因式： X 3-x 2=； X 2-8i=; X 2+2x+i=; a2-a+ -=;4 a 3-2a 2+a=.【點評】運用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可。例2.把式子x2-y 2-x y分解因式的結果是 分析：考查運用提公因式法進行分解因式。例3.分解因式：a24a+4= 分析：考查運用公式法分解因式。分式1.考查整數(shù)指數(shù)幕的運算，零運算，有關習題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中，如：下列 運算正確的是（）(A) -40=1 (B) (-2)-i 11= 2 (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b) -1=a1+b-12.考查分式的化簡求值。習題多為中檔

22、的解答題 值，化簡要認真仔細，化簡并求值：o如:在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計算就或化簡求值，有關 注意解答有關習題時，要按照試題的要求，先化簡后求x? y 3(x-y) 2 . x2+xy+y2 +(2x+2 一，虧-2),其中 x=8s30 ,y=si n90知識要點1.分式的有關概念設A、B表示兩個整式.如果B中含有字母,式子A就叫做分式.注意分母BB的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式. 行約分化簡如果分子分母有公因式,要進2、A B 3.(分式的基本性質A里，A 土也（M為不等于零的整式）B M B B M分式的運算分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似）.

23、ad bcbd（異分母相加，先通分）;a b a bcd_cdacbd a d b cadbcn abn4.零指數(shù)1(a0)5.負整數(shù)指數(shù)1-(a 0, p為正整數(shù)). ap注意正整數(shù)幕的運算性質mamamx(a )(ab)m na ,m na (a 0),mna ,n na b可以推廣到整數(shù)指數(shù)幕，也就是上述等式中的可以是?；蜇撜麛?shù).熟練掌握分式的概念：性質及運算,x , x23 .， 工例4 (1)若分式 _3的值是零，則x=.x 3【點評】分式值為0的條件是：有意義且分子為0.L2 c(2)同時使分式2x 5 有意義,又使分式 x 3x無意義的x的取值 x2 6x 8(x 1)2 9范圍

24、是()A .乂金-4且乂金-2B. x=-4 或 x=2C . x=-4D, x=2(3)如果把分式上且 中的x和y都擴大10倍，那么分式的值()xA .擴大10倍 B .縮小10倍 C .不變 D .擴大2倍例5:化簡(上上)一上的結果是.x 2 x 22 x分析：考查分式的混合運算，根據(jù)分式的性質和運算法則。2211 2a a a 2a 1例6.已知a=,求2的值.2、3a 1a a分析：考查分式的四則運算，根據(jù)分式的性質和運算法則，分解因式進行化簡2.2.例 7.已知 |a-4|+ Vb9 =0 ,計算 a 2ab ?a2 ab 的值 b a b答案：由條件，得 a-4=0且b- 9=0

25、 ；a=4 b=9 原式=a2/b2例8.計算(xy+)(x+y- 也)的正確結果是() x y x yA y 2-x2 c . x2-4y2 D . 4x2-y2分析：考查分式的通分及四則運算。因式分解與分式化簡綜合應用例1先化簡代數(shù)式：管2xx2 14 ，然后選取一個使原式有意義的x的 x 1值代入求值.【點評】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無意義.例2、有一道題“先化簡，再求值：(上二 -24) 2L_，其中x B x 2 x2 4 x2 4小玲做題時把“ x 褥”錯抄成了 “ x V3”，但她的計算結果也是正確的， 請你解釋這是怎么回事？點評：化簡可發(fā)現(xiàn)結果是x2 4,因此無論x V3還是x 73其計算結果都是7?？梢姮F(xiàn)在的考試特別重視應用和理解?！净仡櫯c思考】內(nèi)容分析1.二次根式的有關概念(1) 二次根式式子上(a 0)叫做二次根式.注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或O.(2) 最簡二次根式被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式