中心極限定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)課程名稱經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)C課時50+50=100分鐘 任課教師李飛專業(yè)與班級人力資源管理B1601-02市場營銷B1601課型新授課課題中心極限定理學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能掌握棣莫弗拉普拉斯中心極限定理和列維林德伯格中心極限定理(獨(dú)立同分布中心極限定理)的結(jié)論和應(yīng)用條件，并會用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率;過程與方法1.中心極限定理產(chǎn)生的歷史背景。2.中心極限定理的提法.3.林德伯格-勒維中心極限定理4.隸莫弗拉普拉斯定理5.林德貝格中心極限定理6.李雅普諾夫中心極限定理7.中心極限定理在管理中的應(yīng)用情感態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學(xué)生能夠自覺地用極限定理的視角觀察生活，將統(tǒng)計(jì)方法

2、用于分析和探討生活中的實(shí)際問題，提高認(rèn)知能力和水平.2.中心極限定理名稱的得來是由于隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布的極限定理的研究在長達(dá)兩個世紀(jì)的時間內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此也得到了中心極限定理的名稱3.讓學(xué)生懂得，量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系。.教學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容1.中心極限定理產(chǎn)生的歷史背景。2.中心極限定理的提法.3.林德伯格-勒維中心極限定理4.隸莫弗拉普拉斯定理5.林德貝格中心極限定理6.李雅普諾夫中心極限定理7.中心極限定理在管理中的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)1.隸莫弗拉普拉斯定理；2.李雅普諾夫中心極限定理;教學(xué)難點(diǎn)1.隸莫弗拉普拉斯定理；2.李雅普諾夫中心極限定理;教學(xué)方法與策略課堂教學(xué)設(shè)計(jì)思

3、路本課從隨機(jī)變量序列的各種收斂與它們間的關(guān)系談起，通過對概率論的經(jīng)典定理中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種情況下的結(jié)論作了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)平均結(jié)果的穩(wěn)定性經(jīng)過對中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布可以用正態(tài)分布來表示的理論依據(jù)同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立同分布與獨(dú)立不同分布兩個角度來進(jìn)行討論;最后給出了一些中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、近似計(jì)算、以及保險業(yè)等方面的應(yīng)用，來進(jìn)一步地闡明了中心極限定理在各分支學(xué)科中的重要作用和應(yīng)用價值板書設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)1.極大似然估計(jì)的原理與思想（10分鐘）中心極限定理的提法累計(jì)10分鐘概率統(tǒng)計(jì)

4、學(xué)是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性1的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的應(yīng)用十分廣泛，涉及自然科學(xué)、社會經(jīng)濟(jì)學(xué)科、工程技術(shù)及軍事科學(xué)、農(nóng)醫(yī)學(xué)科、企業(yè)管理部門等而大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中最重要的內(nèi)容之一，甚至可以說概率論的真正歷史開始于極限定理的研究，在這以前概率論還僅局限于古典概率的直接計(jì)算，而且主要是賭博中的概率計(jì)算2極限定理最早的成果有:伯努利大數(shù)定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，這些定理開辟了概率論中的重要研究方向大數(shù)定律、中心極限定理及以正態(tài)分布和泊松分布為代表的無窮可分分布的研究概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理是概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景在自然界與

5、生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗(yàn)中，某事件A出現(xiàn)的次數(shù)漸近于正態(tài)分布的問題 1716年前后，棣莫佛對n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為1/2的情況進(jìn)行了討論，隨后，拉普拉斯和李亞普諾夫等進(jìn)行了推廣和改進(jìn)自萊維在1919-1925年系統(tǒng)地建立了特征函數(shù)理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產(chǎn)生了普遍極限定理和局部極限定理等無論是在概率論的發(fā)展史上還是在現(xiàn)代概率論中，極限定理的研究都占特別重要的地位，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石

6、之一，其理論成果也比較完美長期以來，對于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展同時新的極限理論問題也在實(shí)際中不斷產(chǎn)生這樣中心極限定理在概率論中占有重要的地位，同時極限定理的研究引起了現(xiàn)代概律論的發(fā)展，并且在統(tǒng)計(jì)分析和近似計(jì)算等方面具有一定的應(yīng)用，所以中心極限定理的研究具有一定的理論和實(shí)際意義直觀上，如果一隨機(jī)變量決定于大量(乃至無窮多個)隨機(jī)因素的總合，其中每個隨機(jī)因素的單獨(dú)作用微不足道，而且各因素的作用相對均勻，那么它就服從(或近似地服從)正態(tài)分布，下面我們將按嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式來表述這一直觀在許多情形下，一隨機(jī)變量可以表示為或近似地表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和， (a)這里，每

7、個直觀上表示一種隨機(jī)因素的效應(yīng)，假如式(a)包含了決定的充分多的隨機(jī)因素的效應(yīng)(即充分大)，則的分布就近似于X的分布中心極限定理就是要說明，在什么條件下大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布，即，在什么條件下，當(dāng)時，獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的時間：10分鐘 中心極限定理的名稱最早是由仆里耶(1920年)提出來的，中心極限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年1894年)提出來的下面我們介紹四個主要定理:1)林德伯格一勒維定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普諾夫定理其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推論引入中心極限定理的基本思想累計(jì)20分鐘中心極限

8、定理有多種不同的形式，它們的結(jié)論相同，區(qū)別僅在于加在各被加項(xiàng)上的條件不同獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列的中心極限定理，是中心極限定理最簡單又最常用(特別在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中)的一種形式，通常稱做林德伯格-勒維定理歷史上最早的中心極限定理一棣莫弗一拉普拉斯(積分)定理是它的特殊情形設(shè)的方差，大于，令 （1）我們說，隨機(jī)變數(shù)列服從中心極限定理，如果關(guān)于均勻的有 （2） (2)表示：隨機(jī)變量數(shù)的分布函數(shù)關(guān)于均勻的趨于正態(tài)分布的分布函數(shù)時間:5分鐘用足球比賽事件引入達(dá)到以下目的：吸引學(xué)生注意力，使學(xué)生盡快進(jìn)入上課狀態(tài)；幫助學(xué)生深入淺出的理解極大似然估計(jì)的基本思想.教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)林德伯格-勒維中心累計(jì)40分鐘獨(dú)

9、立同分布的兩個定理：林德伯格-勒維中心極限定理設(shè)相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差：記 則對任意實(shí)數(shù)，有 （3）證明 為證（1）式，只須證的分布函數(shù)列若收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布又由定理4343，只須證的特征函數(shù)列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)為此設(shè)的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為 又因?yàn)?，所以?， 于是特征函數(shù)有展開式 從而有 ，而正是分布的特征函數(shù)，定理得證例1某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車輛數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布若一年365天都經(jīng)營汽車銷售,且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的,求一年中售出700輛以上汽車的概率解:設(shè)某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車輛數(shù),則,為一年的總銷量由,知利用林德貝格-勒維中心極限定

10、理可得, 這表明一年中售出700輛以上汽車的概率為08665時間20分鐘提問：如何度量樣本值出現(xiàn)的可能性？隸莫弗拉普拉斯定理（10分鐘）教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)隸莫弗拉普拉斯定理累計(jì)50分鐘在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記 且對任意實(shí)數(shù)，有 此定理由定理1馬上就得出，也就是說定理2是定理1的推論例2 某保險公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20,以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)(1)寫出的分布列;(2)求被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值解:(1) 服從的二項(xiàng)分布

11、,即 (2)利用隸莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有 這表明被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值為09437時間10分鐘主要依據(jù)上邊的例題，歸納總結(jié)離散型總體下似然函數(shù)的構(gòu)建.課間休息10分鐘3. 極大似然估計(jì)法應(yīng)用（15分鐘）教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)林德貝格中心極限定理累計(jì)15分鐘對于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列只要它們的方差有窮，中心極限定理就成立而在實(shí)際問題中說諸具有獨(dú)立性是常見的，但是很難說諸是“同分布”的隨機(jī)變量，正如前面提到的測量誤差的產(chǎn)生是由大量“微小的”相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的，即則間具有獨(dú)立性，但不一定同分布，所以我們有必要討論獨(dú)立不同分布隨機(jī)變量和的極限分布問題，目的是給

12、出極限分布為正態(tài)分布的條件林德伯格(Lideberg)于1922年找到了獨(dú)立隨機(jī)變量服從中心極限定理的最一般的條件，通常稱做林德伯格條件231林德貝格中心極限定理設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 滿足林德貝格條件，則對任意的，有 為證此，先證下列三個不等式：對任意實(shí)數(shù)，有 ； (4) (5) (6)實(shí)際上，對上三式明顯設(shè)，則 ； ； 利用，可見（4）（5）（6）方都是的偶函數(shù)，故他們對也成立時間5分鐘通過指數(shù)分布(連續(xù)型)參數(shù)的極大似然估計(jì)，進(jìn)一步鞏固極大似然估計(jì)的方法與步驟，同時體現(xiàn)極大似然估計(jì)法在工作生活中有著很廣泛、很重要的應(yīng)用.李雅普諾夫中心極限定理累計(jì)30分鐘李雅普諾夫中心極限定理如對獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)

13、列，存在常數(shù)，使當(dāng)時有 （25）則（2）對均勻的成立 證只要驗(yàn)證林德貝格條件滿足，由（25） 例3 一份考卷由99個題目組成,并按由易到難順序排列某學(xué)生答對第1題的概率為099;答對第2題的概率為098;一般地，他答對第題的概率為加入該學(xué)生回答各題目是相互獨(dú)立的，并且要正確回答其中60個題目以上（包括60個）才算通過考試試計(jì)算該學(xué)生通過考試的可能性多大？ 解 設(shè)于是相互獨(dú)立，且服從不同的二點(diǎn)分布： 而我們要求的是 為使用中心極限定理，我們可以設(shè)想從開始的隨機(jī)變量都與同分布且相互獨(dú)立下面我們用來驗(yàn)證隨機(jī)變量序列滿足李雅普諾夫條件（25），因?yàn)?， ，于是 ，即滿足李雅普諾夫條件（25），所以可以

14、使用中心極限定理 又因?yàn)?所以該學(xué)生通過考試的可能性為 由此看出：此學(xué)生通過考試的可能性很小，大約只有千分之五時間15分鐘中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用（20分鐘）教學(xué)意圖教學(xué)環(huán)節(jié)水房擁擠問題累計(jì)40分鐘假設(shè)某高校有學(xué)生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會特向?qū)W校后勤集團(tuán)公司提議增設(shè)水龍頭假設(shè)后勤集團(tuán)公司經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生在傍晚一般有1的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭數(shù)量為45個，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？（2）需至少要裝多少個水龍頭，才能以95以上的概率保證不擁擠？解：（1）設(shè)同一時刻，50

15、00個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為，則B（5000，001）擁擠的概率是 直接計(jì)算相當(dāng)麻煩，我們利用隸莫佛-拉普拉斯定理已知n=5000,p=001，q=099，故從而 怪不得同學(xué)們有不少的抱怨擁擠的概率竟達(dá)到7611%（2）欲求m，使得即由于即查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 即故需要裝62個水龍頭問題的變形：（3）需至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m，使得即由于76即查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 即故需要裝67個水龍頭（4）若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個，其余的條件不變,1,2兩問題結(jié)果如何？解：（1）（2） 同上（5）若條件中的每個學(xué)生占用由1%提高到15%，其余的條件不變，則

16、（1），（2）兩問題結(jié)果如何?解：(1) 設(shè)同一時刻，5000個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為，則B（5000，0015），已知n=5000,p=0015，q=0985，擁擠的概率是擁擠的概率竟達(dá)到100%(2) 欲求m，使得即由于 即 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 即 故需要裝90個水龍頭時間10分鐘提問，請學(xué)生思考.盈利問題累計(jì)50分鐘盈利問題5：假設(shè)一家保險公司有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費(fèi)，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0006，死亡時，家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問（1）保險公司虧本的概率有多少？（2）保險公司一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多少？解： 設(shè)為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則，即由德莫佛拉普拉斯中心極限定理(1)7809（2）設(shè)分別表示一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的事件，則時間10分鐘教學(xué)意圖教學(xué)環(huán)節(jié)本次課小結(jié)時間1分鐘回顧總結(jié)拓展設(shè)問來加深學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的印象，進(jìn)一步思考并引導(dǎo)學(xué)生對下節(jié)課要解決的問題進(jìn)行思考.累計(jì)50分鐘時間20分鐘根據(jù)本節(jié)講授內(nèi)容，給出一些思考拓展的問題.作業(yè)布置：1.復(fù)讀課本第151至第157頁；2.完成書面作業(yè)：第160頁第11-12題3.預(yù)習(xí)課本第162頁至175頁.要求學(xué)