一維定態(tài)問題

1、三 方勢壘的穿透 隧道效應(yīng) ( 1 ) 散射問題和勢壘穿透 一個粒子從無窮遠(yuǎn)處來，被勢壘散射再到無窮遠(yuǎn)處去。特點： 波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不為零； 粒子的能量可以取任意值，組成連續(xù)譜。 求解散射問題，是由已知能量E來求定態(tài)薛定諤方程的解；也就是求出一個動量和能量已知的粒子，在受到勢場的作用后，被散射到各個方向去的概率。 一維問題一個粒子被散射后，或者穿透勢壘，或者被勢壘反射。要求透射概率和反射概率。能量為E的粒子沿x軸正方向射向方勢壘： 圖5 - 7 一維方勢壘 (5. 94)在經(jīng)典力學(xué)中，只有能量E大于V0的粒子才能越過勢壘運(yùn)動到x > a的區(qū)域；能量E小于V0的粒子運(yùn)動到勢壘左邊緣x=0處

2、就會被反射回去，不能穿過勢壘。從量子力學(xué)的觀點來看，考慮到粒子的波動性，這個問題與波碰到一層厚度為a的介質(zhì)的問題相似，其結(jié)果是有一部分波透過，一部分波被反射。因此，按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，無論粒子能量E是大于V0還是小于V0，都有一定的概率穿透勢壘，也有一定的概率被反射。這里我們只具體計算E < V0的情況。( 2 ) 勢壘外部的定態(tài)薛定諤方程及其解在勢壘外( x < 0或x > a )，定態(tài)薛定諤方程可表示為. (5. 95)它的兩個線性無關(guān)解可取為 和,其中k由確定。假設(shè)粒子從左邊入射，在x < 0區(qū)域： 入射波， 反射波；在x > 0區(qū)域：透射波()。為了簡便

3、，將入射波的波幅取為1，入射粒子流密度為 , (5. 96)因此，可以取 (5. 97)透射波和反射波都是德布羅意波。相應(yīng)的反射流密度和透射流密度為： , . (5. 98)得：反射系數(shù)， 透射系數(shù).( 3 ) 勢壘內(nèi)部的定態(tài)薛定諤方程及其解在勢壘內(nèi)部當(dāng)0xa時，定態(tài)薛定諤方程可表示為 , (5. 99)其通解可取為 (5. 100)其中. (5. 101)勢壘內(nèi)部的波是指數(shù)衰減的，衰減的快慢依賴于VE 和勢壘寬度。如果勢壘寬度足夠小，衰減不到零，粒子就有足夠的概率穿過勢壘，這就是粒子的波動性所導(dǎo)致的隧道效應(yīng)。R？， T？( 4 ) 由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性條件定解已知 和，考慮連續(xù)性條件：在

4、處， ;在處， .由以上四式中消去A和B, 可解得：, (5. 102), (5. 103). (5. 104)圖5 - 8 隧道效應(yīng)的波動圖象( 5 ) 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡粒子能穿透比動能更高的勢壘的現(xiàn)象 隧道效應(yīng)是微觀粒子具有波動性的表現(xiàn)圖5 8為勢壘穿透的波動圖象。 隧道效應(yīng)對勢壘寬度十分敏感 如一個a粒子穿過一個勢壘： 勢壘寬度a 透射系數(shù)1MeV 10-4 1MeV m， 對于宏觀物體，隧道效應(yīng)在實際上已經(jīng)沒有意義。 電子的隧道效應(yīng) 在兩層金屬導(dǎo)體之間夾一薄絕緣層，就成為一個電子的“隧道結(jié)”。在玻璃片基上沉淀一鋁箔，在高溫中使其表面氧化，然后再沉淀一層Sn箔，做成一個Al/Al

5、2O3/Sn隧道結(jié)。Al和Sn箔厚約10003000A0。絕緣層Al2O3厚約1020 A0。但實驗發(fā)現(xiàn)電流可以通過這個隧道結(jié)，即電子可穿過絕緣層。I. Giaever于1961年首先用這種器件發(fā)現(xiàn)了超導(dǎo)體中正常電子的隧道效應(yīng)。 掃描隧道顯微鏡(Scanning Tunneling Microscopy)。隧道效應(yīng)對勢壘高度V和寬度a的變化十分敏感。據(jù)此，賓寧和羅勒于1982年制成了掃描隧道顯微鏡。用一金屬探針在被觀察的金屬表面上方相距約10 A0處平行移動進(jìn)行掃描，于是探針、空氣隙、金屬表面構(gòu)成一個電子隧道體系。加一微小電壓，從隧道電流的變化，就可以分辨出金屬表面原子結(jié)構(gòu)的細(xì)微特征。 利用S

6、TM可以分辨表面上離散的原子，顯示出表面上原子的臺階、平臺、原子陣列、以至于可直接繪出表面的三維圖象，橫向分辨率達(dá)0.1 nm，縱向分辨率達(dá)0.01 nm. 掃描隧道顯微鏡使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)，在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域的研究中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。 光子掃描隧道顯微鏡(PSTM)：利用光學(xué)中的受抑全反射理論，人們還研制成功了光子掃描隧道顯微鏡(PSTM)，其成象技術(shù)是在1989年提出來的。我們知道，如果光波從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，會發(fā)生全反射現(xiàn)象。這時，盡管所有的光全部被反射回光密介質(zhì)，但光波還是要透入光疏介

7、質(zhì)很薄的一層表面，并沿界面流動約半個波長再返回光密介質(zhì)。這種透入光疏介質(zhì)表面的波，稱為隱失波。如圖5 - 9所示，將光纖尖作為探針，當(dāng)它向樣品(光密介質(zhì))表面逼近而進(jìn)入隱失場后，光纖尖端通過與隱失場耦合，有部分入射光子進(jìn)入光纖探針尖，形成了光子隧道信息，通過光纖光導(dǎo)傳輸至遠(yuǎn)場。如圖5 - 10所示，利用光纖探針尖在樣品表面進(jìn)行近場光子隧道信息等強(qiáng)度掃描，產(chǎn)生空間各點的光纖探針反饋高度增量，就直接構(gòu)成了PSTM圖象。光子掃描隧道顯微鏡可用于不導(dǎo)電樣品的觀測。圖5- 9 光子隧道信息 圖5 - 10 PSTM成象原理自從1932年魯斯卡和諾爾等人發(fā)明透射電子顯微鏡(TEM)以來，許多用于表面結(jié)構(gòu)分

8、析的現(xiàn)代儀器先后問世，如掃描電子顯微鏡(SEM)，場電子顯微鏡(FEM)，場離子顯微鏡(FIM)，低能電子衍射儀(LEED)，俄歇譜儀(AES)，光電子能譜儀(ESCA)和電子探針等。這些技術(shù)與STM一起，在表面科學(xué)各個領(lǐng)域的研究中起了重要的作用。當(dāng)然，任何一種技術(shù)都有其局限性。例如，SEM的分辨率不足以分辨出表面原子，而高分辨TEM主要用于薄層樣品的體相和界面研究，F(xiàn)EM和FIM只能探測在半徑小于100 nm的針尖上的原子結(jié)構(gòu)和二維幾何性質(zhì)，LEED和X射線衍射等要求樣品具備周期性結(jié)構(gòu)，STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性，在恒電流工作模式下有時對樣品表面微粒間的某些溝槽不能準(zhǔn)確探測等。(6)

9、放射性某些重原子核能自發(fā)發(fā)射He原子核而轉(zhuǎn)變成其它原子核的現(xiàn)象。I.-ray放射性元素放出的He原子核稱為射線：帶正電，可在電磁場作用下偏轉(zhuǎn)； 強(qiáng)電離作用； 較小的貫穿物質(zhì)的本領(lǐng)。II.衰變的壽命 表征原子核素進(jìn)行放射性衰變的快慢:壽命越長則放射性過程進(jìn)行的越慢。衰變的壽命：a few s 宇宙年齡（1017s） 壽命與粒子的能量：衰變的壽命越長，粒子的能量越低 粒子的能量變換范圍?。?9 MeVIII.衰變的理論設(shè)粒子預(yù)先存在于原子核內(nèi)部，由于粒子與剩余核電荷之間有核力（吸引力）和庫侖排斥力作用，但核力遠(yuǎn)大于庫侖力，所以粒子被禁錮于勢阱之內(nèi)。只有越過高度為E0 的勢壘，粒子才能發(fā)射出來。勢能

10、曲線：在核的內(nèi)部和勢壘附近：粒子的動能總能量E 勢能只有越過高度為E0 的勢壘，粒子才能發(fā)射出來。 因為核力是短程力，在原子核外核力很快為零，只剩下粒子與剩余核電荷之間的庫侖排斥力。遠(yuǎn)離原子核后，粒子所具有的能量全部轉(zhuǎn)變成動能。在經(jīng)典物理中，越過勢壘后的動能（EE0）為負(fù)值，是不可能的。故， 粒子被禁錮于勢壘之內(nèi)，不可能出現(xiàn)放射性。量子力學(xué)認(rèn)為，能量為E的粒子具有越過高為E0的勢壘的概率。可以想象，粒子在勢阱內(nèi)來回振蕩，最后終于越出了這個勢阱。用r表示離原子核中心的距離，有勢能勢壘高度 。代入薛定諤方程 where 求解。為與實驗比較，理論可求出放射性元素的壽命當(dāng)系統(tǒng)能量E 靠近勢壘尖頂處，同

11、能量落在勢壘底部或腰部處比較，上式的積分值可以相差很遠(yuǎn)，這就導(dǎo)致了不同核素的衰變壽命有天壤之別。IV. Discovery of Elements 118 and 116 In May,1998， scientists from the Berkeley Lab and Oregon State University report the observation of superheavy elements in the reaction （449 MeV ）86Kr + 208Pb performed at LBNL's 88-Inch Cyclotron. The group ob

12、served three events consisting of a chain of six alpha particles (4He nuclei) emitted sequentially following the reaction, an unambiguous signal of the production and subsequent decay of Element 118： The Science The reaction of 449 MeV 86Kr + 208Pb occurs at an energy just enough above the Coulomb b

13、arrier (the energy required to make the Kr and Pb fuse together) so that one neutron is evaporated to make . reaction were possible totally new, Element 114 has possibly been observed in a recent "hot fusion reaction" experiment in Dubna, Russia but is not yet confirmed, and Elements 112,

14、110, 108 and 106 are known, but the isotopes observed in the present experiment have never before been seen.). However, other possibilities are not energetically feasible, and the energies and lifetimes of the measured alpha particles agree with theoretical predictions. A New Region of Stability The

15、 sequence of decay events measured in this experiment is consistent with theories that have long predicted an "island of stability" for elements of approximately 114 protons and 184 neutrons. This experiment appears to have reached the edge of this island because the production rates for E

16、lement 118 - approximately one in every 1012 interactions produced an atom of Element 118 - is larger than that measured in unsuccessful searches for Element 113. It is possible that with present accelerator technologies, it will not be possible to directly make the elements in the "sea of inst

17、ability" leading up to this island. The significance of this work goes beyond the discovery of two new superheavy elements. It is now clear that studies of superheavy elements are possible: the island of stability can be reached.例題20. 3 設(shè)粒子處在0, a范圍內(nèi)的一維無限深方勢阱中，波函數(shù)為,試求粒子能量的可能測量值及相應(yīng)的概率。解 在一維無限深方勢阱

18、中，粒子的能量本征態(tài)以及相應(yīng)的本征值分別為：( 1 ) 解法一：波函數(shù)y 可用yn來展開，即.利用三角函數(shù)公式及三角函數(shù)系的正交性，可得展開系數(shù)為 .這就是說，除了外，其他展開系數(shù)均為零。因此，能量的可能值和概率以及能量的平均值分別為：, 概率為；, 概率為；.( 2 ) 解法二：利用三角函數(shù)的性質(zhì)，直接把y( x )展開，可得. 例題20. 4 求線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置。解 由式, (20. 99)和,. (20. 94)可得，線性諧振子的第一激發(fā)態(tài)為.由于,，所以求極大值所在位置x0，就相當(dāng)于求解代數(shù)方程,即.可解得,.舍去使取極小值的解 x1 = 0，由上述解可得，所以有.例題20. 5 試證明：若勢能函數(shù)