人教版八年數(shù)學(xué)上冊(cè)競(jìng)賽專(zhuān)題：分式的化簡(jiǎn)與求值(含答案)

1、人教版八年數(shù)學(xué)上冊(cè)競(jìng)賽專(zhuān)題：分式的化簡(jiǎn)與求值(含答案)3 2a例1已知a -3a+1=0,則代數(shù)式 F一的值為a6 1(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思路：目前不能求出a的值，但可以求出 a + =3, a【例 2】已知一列數(shù) a1,a2, a3,a4,a5, a6,a7，且 a1 =8, a7a1a2a3a4a5a6，貝U a§ 為（）a?a3a4a§a6a?A. 648B. 832C. 1168D. 1,需要對(duì)所求代數(shù)式變形含“ a + -a=5832 ,1344(五城市聯(lián)賽試題)解題思路：引入?yún)?shù)k,把a(bǔ)7用k的代數(shù)式表示，這是解決等比問(wèn)題的基本思路.【例 3】x+ y+

2、z = 3a(a =0).(x -a)(y a) (y a)(z a) (z a)(x a)小222(x-a) (y -a) (z - a)(宣州競(jìng)賽試題)解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，所求代數(shù)式是關(guān)于x-a、y-a、z-a的代數(shù)式，而條件可以拆成 x-a y- a z-酌等式，因此很自然的想到用換元法來(lái)簡(jiǎn)化解題過(guò)程.例 4已知-xy- =1,-yz- =2,-zx- =3,求 x 的值.x y y z z x(上海市競(jìng)賽試題)解題思路：注意到聯(lián)立等式得到的方程組是一個(gè)復(fù)雜的三元一次方程組，考慮取倒數(shù)，將方程組化 為簡(jiǎn)單的形式.1 1 11.,一 【例5不等于0的三個(gè)正整數(shù)a,b,c滿足一+ +-=,求

3、證：a,b,c中至少有兩個(gè)互為相a b c a b c反數(shù).解題思路：a,b,c中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)，即要證明（a+b）（b + c）（c + a） =0.（北京市競(jìng)賽試題）【例6】 已知a,b,c為正整數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件： a + b + c = 32;b c - a c a - b a b - c 1+=-.求證：以ja,而,n為三邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形.bc ac ab 4解題思路：本題熟記勾股定理的公式即可解答.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）能力訓(xùn)練a -b c-da b -c d的值是（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）xx22.已知=1 ,則 4 x 2一x -3x 1 x -9x 1（廣東

4、競(jìng)賽試題）2x 3xy -2y 31 14,已知二一,則一一一x -2xy - y5x y1 一 115 .如果 a+g=1,b+=1,那么 c + =().A. 16 .設(shè)有理數(shù)值為（B. 2C. 1D24(“新世紀(jì)杯”競(jìng)賽試題)111sa,b,c都不為0,且 a+b+c = 0,貝U 刀2222+-22的222222222b c -a c a -b a b -c).A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.不能確定7.已知 4x-3y -6z=0,x +2y-7z = 0（xyz=0）,2222x 3y 6z ,42的值為（x2 5y2 7z2A. 0B. 1C. 2xI,x3，一.8,已知 =1 ,則一

5、63飛一的值為（x - mx 1 x - m x 1D.不能確定)A. 1B.1m3 3C.123m2 -211 23m2 1a2b2c2，9 .設(shè) a +b +c = 0 ,求一2十一2+-2的值2a bc 2b ac 2c ab一，1112 2 2.10 .已知x + = y + - = z + 其中x, y,z互不相等，求證 x y z =1 . yzx（天津市競(jìng)賽試題）5,*111111 .設(shè) a,b,c滿足 一 十一 十一=,a b c a b c1 111求證 -2n 42n J-2n 1 - 2n J. , . 2n J , 2n 4,（ n 為自然數(shù)）a b c a b c（波

6、蘭競(jìng)賽試題）12 .三角形三邊長(zhǎng)分別為 a,b,c .(1)若a+且=b+c ,求證：這個(gè)三角形是等腰三角形; b c b c -a4 1111-,（2）若1 _1+1=一1，判斷這個(gè)三角形的形狀并證明.a b c a -b c.11111113 .已知 ax = by = cz=1,求4+4 +4 +4 +4+4 的值.1 a 1b 1 c 1 - x 1 y 1 z（“華杯賽”試題）14 .解下列方程(組)：、x 1x 8x2x7(1) +=+；x 2x 9x3x8(江蘇省競(jìng)賽試題)/、5x-96 x-8 4x-19 2x -21(2) +=+x -19 x-9 x-6 x-8（“五羊杯”

7、競(jìng)賽試題）111+=一x y z 2(3)111"T =z x y 4（北京市競(jìng)賽試題）1.設(shè) a,b,c滿足 a+b+c = 0 ,a b cx=Ti 十一+ 一|a| |b| |c111111y =a(- +)+b(- +)+c(一 +-),則 x +2y +3xy =.bccaaba b b c c a (a b)(b c)(c a)2 .若abc =0,且 =，則-= cababc3 .設(shè) a,b,c均為非零數(shù)，且 ab = 2(a+b),bc = 3(b+c),ac = 4(a+c),貝Ua + b + c=4.x已知x, y, z滿足十y z222上+3=1,則上十工+3

8、的值為x z y x y z x z y x5 .設(shè)a,b,c是三個(gè)互不相同的正數(shù)，已知A. 3b =2c B. 3a =2ba -cc b=一,那 a 有().b abaC. 2b = cD. 2a=b).八 111,111.6 .如果 a*b*c = 0, *+ = 4 ,那么一2 + 2 + 2 的值為( a b ca b cA. 3B. 8C. 16D. 2022x y6x -15y4x -5xy 6y ,8 .若=-=則11 的值為(9B. 一4C. 5D. 6（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3y 2x -5yxx -2xy 3y9 .已知非零實(shí)數(shù) a,b,c滿足a+b+c =0 .(1)求

9、證：a3 +b3 +c3 =3abc；a -b b -c c-a、/ c a b 、(2)求(+)(+)的值.c a b a -b b -c c -a(北京市競(jìng)賽試題)一 210.已知 a +4a +1 =0 ,42a ma 1"" 32 "-2a ma 2a=3 .求m的值.（北京市競(jìng)賽試題）11.完成同一件工作，甲單獨(dú)做所需時(shí)間為乙、丙兩人合做所需時(shí)間的p倍，乙單獨(dú)做所需時(shí)間為甲、丙兩人合做所需時(shí)間的 q倍；丙單獨(dú)做所需時(shí)間為甲、乙兩人合做所需時(shí)間的x倍，求證：x = p+q +2 (pq-i#0)pq -1（天津市競(jìng)賽試題）13.某商場(chǎng)在一樓和二樓之間安裝了

10、一自動(dòng)扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時(shí)從自動(dòng)扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）.如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級(jí)，且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的 2倍.已知男孩走了 27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)頂部.（1）扶梯露在外面的部分有多少級(jí)？（2）現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺(tái)階的級(jí)數(shù)與自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩人各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動(dòng)扶梯上樓（不考慮扶梯與樓梯間的距離）.求男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級(jí)臺(tái)階？（江蘇省競(jìng)賽試題）118提示:參考答案a61 a3a 3a 例 3 油 x+y+z=3a,得(x-a ) + (y-a

11、 ) + (z-a ) =0.設(shè) x-a=m, y-a=n , z-a=p ,則 m+n+p=0 即 p=- ( m+n .A 提示:k6a .a2 . a3 鼻.a5 . a6 a1 = 8a? a3 a 4 a§ a 6 a 7 a7 5832m 1，得k= ±-，又 3a5a1a2 a3a2 a3a4a52mn np pm _ mn p m n _ mn - m n一 12例 4 x=5提示:由已知條件知xyw0, yzw0,取倒數(shù)，得:i,xy二，即zx 2z x 1 ,zx 31 1=1,x y11+ 1y z2 2,1 11,z x3I2a11+，得12例 5

12、提示：由已知條件，得 (ab+b2 +ac+bc C+(ab+b2 + ac +bc a = b(a + b )+c(a + b )a + c) =a b b cc a =0例6由勾股定理，結(jié)論可表示為等式：a=b+c,或b=a+c,或c=b+a,，聯(lián)立，只需證 a=16或或 b=16 或 c=16,即(a16) (b16) (c 16) = 0.展開(kāi)只需證明0 = abc- 16 (ab + bc+ ac) + 162 (a+b+c) 163= abc 16 (ab+ bc+ ac) + 163 將平方、移項(xiàng)，有 a2+b2+c2= 3222 (ab+bc+ca),又將移項(xiàng)、通分，有1/ b

13、+c+a c+aba b c、0=(ff )4 bc ac ab2221/ab+ac-a,bc+ab-b ,ac bc -c 、=-(FF)4abcabcabc_222abc -8(ab bc ac) 4(a b c )4abc2abc -8(ab bc ac) 432 -2(ab bc ca)=乙s4abc把代入等式中，abc -16(ab，bc ac) 1634abc23abc - 16(ab bc ac) 16 (a b c) -16 =114abc(a -16)(b -16)(c -16) =-4abc當(dāng)a16=0時(shí)，由有a=16=b+c,由勾股定理逆定理知， 以正,Jb , Jc為三

14、邊長(zhǎng)組成一個(gè)以 后為斜邊的直角三角形.同理，當(dāng)b=16或c= 16時(shí)，分別有b= a+c或c=b+a,均能以 J9 ,斑，Jc為三邊長(zhǎng)組成一個(gè)直角三角形.1.0 或一22.1x2-3x 1 ,一 - = 1,x+ 工=4.422又x 9x 1x2= 5，一2xx -9x 1 3.3 4. A5. C 提示：b 2+c 2-a2=- 2bc6. B11Q7. C 提示：取倒數(shù)，得 x+ =1 + m,原式的倒數(shù)=x3+ - -m3 xx38. 1 提示：2a2 + bc=2a2+b (a b)=a2 ab + a2 b2=( ab)(a+a+b) = (ab) (a c)9. 提示：由 x+ L

15、 = y+ 工，得 x-y=-,得 zy= zy zz yx i y10. 提示：參見(jiàn)例 5 得(a+b) (b+c) (a + c) = 011.a(b c)bcb c(b c) -ab+c) (ab+aca2bc) =0.，(b+c) (ab) (ca)=0.11+ -, a-b+c b: b+ cwqa = b或c= a.這個(gè)三角形為等腰三角形a c a c = ac (a - b c)b(a b+c) = ac,( a b) (b c) = 0, a = b b= c,，這個(gè)三角形為等腰三角形12.1x= 一, y=a1 .一 一=1, 一原式=3.113.(1)x=11x=21237

16、4(3)(x,y, z)=(23,1023,623 ，一 、.、，一,、一 ,一 ，一 一23）提示：原方程組各方程左端通分、方程兩邊同時(shí)取倒數(shù)21.2., a b1或8提?。涸O(shè)c=k,貝k k= - 1 或 2b11283. 354.0提示：由- = 1-y z，得：l=x-xy.-xz5. A 6. Cx y7.A提示：由已知條件得x= 3y8.(1)由 a+b+c=0,得a+ b= ca3+ b3 + c3= 3ab ( a+ b) = 3abcca -b2c2一=1+工，同理:abb -cFa2a2a -bFcb -cFa上=1+次,c -a ac2 c2左邊=3+2 + ab2a2b

17、c對(duì)=3 +ab3 . 33.2(a b c ) =9abc2 .9. .a +4a+1 = 0,a2+ 1 = 4a,42 .a ma 1a w 0. 322a ma 2a/、2 /c、 2(a 1)2 (m-等=3.把代入上式中,2a(a 1) ma2216a2 (m -2)a2-8a2 ma2=3,消元得16 9m-2) 曰=3,解得 m= 19.-8 m10.設(shè)甲、乙、丙三人單獨(dú)完成此項(xiàng)工作分別用a天、b天、c天，則a門(mén)="二口，m分別取值，則有6m12345n21221 32162A6m=16-6n,分別取值，則有m12n104bca = p -,b c1 pa1a cabc = xa b1x ,一 cb c11T ac111解得x411. (1)設(shè)女孩速度x級(jí)/分，電梯速度y級(jí)/分，男孩速度2x級(jí)/分，樓梯S級(jí),27 S -27一