數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法

1、高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) 數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法安徽理（11）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是_(11)15【命題意圖】本題考查算法框圖的識(shí)別，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和.【解析】由算法框圖可知，若T105，則K14，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，這時(shí)k15，T105，所以輸出的k值為15.（18）（本小題滿分12分）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.（本小題滿分13分）本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力.解：（I）設(shè)構(gòu)成等

2、比數(shù)列，其中則 ， 并利用（II）由題意和（I）中計(jì)算結(jié)果，知另一方面，利用得所以安徽文（7）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（A） 15 (B) 12 (C ) (D) （7）A【命題意圖】本題考查數(shù)列求和.屬中等偏易題.【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；法二：，故.故選A.北京理11.在等比數(shù)列中，若，則公比_；_.【解析】，是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，。20.若數(shù)列：，滿足（，2，），則稱為E數(shù)列。記.（1）寫出一個(gè)滿足，且的E數(shù)列；（2）若，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；（3）對任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存

3、在，說明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。（）令因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詾榕紨?shù),所以要使為偶數(shù),即4整除.當(dāng)時(shí)，有當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足，當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)

4、列An，使得北京文（14）設(shè),，。記為平行四邊形內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則 ；的所有可能取值為 。6；6，7，8（20）（本小題共13分）若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列，記。（I）寫出一個(gè)數(shù)列滿足；（II）若，證明：數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是（III）在的數(shù)列中，求使得=0成立的的最小值解：（）0，1，0，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，-1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000

5、a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。（）所以有：，；相加得：，所以在的數(shù)列中，使得=0成立的的最小值為9。福建理16(本小題滿分13分) 已知等比數(shù)列的公比，前3項(xiàng)和() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為，求函數(shù)的解析式解：()由得，所以；()由()得，因?yàn)楹瘮?shù)最大值為3，所以，又當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，所以，因?yàn)椋?，所以函?shù)的解析式為。福建文17（本小題滿分12分）已知數(shù)列an中，a11，a33。（）求

6、數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值。解：（）由a11，a33得，所以an32n；（），解得k7。廣東理11.等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則 .20.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,廣東文11已知是遞增等比數(shù)列，則此數(shù)列的公比 220（本小題滿分14分） 設(shè)b0,數(shù)列滿足,（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對于一切正整數(shù),解：（1）；（2），；，。湖北理12.九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.【

7、答案】解析：設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依題意，即，解得，則，所以應(yīng)該填.19.（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：， N*，.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）若存在 N*，使得，成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的N*，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.解：（）由已知：得，兩式相減得，又所以當(dāng)時(shí)數(shù)列為：，0，0，0，當(dāng)時(shí)，由已知，所以，于是所以數(shù)列成等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí)綜上數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）對于任意的，且，成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)時(shí)由（）知，此時(shí)，成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，若存在 N*，使得，成等差數(shù)列，則2=+，由（）知數(shù)列的公比，于是對于任意的N*，且，；所以2=+即，成等差數(shù)列；綜上：對于任意

8、的，且，成等差數(shù)列。湖北文17.（本小題滿分12分）成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、。(I) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II) 數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。解：(I)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為；則；數(shù)列中的、依次為，則；得或（舍），于是(II) 數(shù)列的前n項(xiàng)和，即因此數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列。湖南文20（本題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%（I）求第n年初M的價(jià)值的表達(dá)式；（I

9、I）設(shè)若大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新解析：（I）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，M的價(jià)值的表達(dá)式為(II)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又所以須在第9年初對M更新湖南理12、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則答案：25解析：由可得，所以。江蘇13.設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_.答案：.解析：由題意：，而的最小值分別為1，2，3；.本題主要考查綜合運(yùn)用等差、等比的概念及通項(xiàng)公

10、式，不等式的性質(zhì)解決問題的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本題屬難題.20.（本小題滿分16分）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)nk時(shí)，都成立.（1）設(shè)M=1，求的值；（2）設(shè)M=3，4，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案:（1）即：所以，n1時(shí)，成等差，而，（2）由題意：，當(dāng)時(shí)，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；設(shè)公差分別為：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，設(shè)公差為d,在（1）（2）中分別取n=4,n=5得：解析：本題主要考查數(shù)列的概念,通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,等差數(shù)列概

11、念及基本性質(zhì)、和與通項(xiàng)關(guān)系、集合概念、全稱量詞,轉(zhuǎn)化與化歸、考查分析探究及邏輯推理解決問題的能力，其中（1）是中等題，（2）是難題.江西理5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且，那么A.1 B.9 C.10 D.55【答案】A【解析】，可得，可得，同理可得，故選A18. （本小題滿分12分）已知兩個(gè)等比數(shù)列，滿足，.（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列唯一，求的值.【解析】（1）設(shè)的公比為，則，由，成等比數(shù)列得，即，解得，所以的通項(xiàng)公式或.（2） 設(shè)的公比為，則由，得由得，故方程（*）有兩個(gè)不同的實(shí)根.由唯一，知方程（*）必有一根為0，代入（*）得.江西文5.設(shè)為等差數(shù)列，公差d = -2，為其

12、前n項(xiàng)和.若，則=（ ）A.18 B.20 C.22 D.24答案：B 解析： 21.(本小題滿分14分） （1）已知兩個(gè)等比數(shù)列，滿足， 若數(shù)列唯一，求的值； （2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列，使得成公差為的等差數(shù)列？若存在，求 的通項(xiàng)公式；若存在，說明理由解：（1）要唯一，當(dāng)公比時(shí)，由且， ，最少有一個(gè)根（有兩個(gè)根時(shí)，保證僅有一個(gè)正根），此時(shí)滿足條件的a有無數(shù)多個(gè)，不符合。當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，唯一，此時(shí)由，可推得符合綜上：。（2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得：要使該式成立，則=或此時(shí)數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列。遼寧理

13、17（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 5分 （II）設(shè)數(shù)列，即，所以，當(dāng)時(shí)，所以綜上，數(shù)列 12分遼寧文5若等比數(shù)列an滿足anan+1=16n，則公比為 BA2 B4 C8 D1615Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2=S6，a4=1，則a5=_1全國理（17）（本小題滿分12分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（17）解：（）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得所以。由條件可知a0,故。由得，所以。故數(shù)列

14、an的通項(xiàng)式為an=。（）=故所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為全國文（17）（本小題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列滿足，。（）求的通項(xiàng)公式； （）求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值。解：（）由及，得；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），所以時(shí)取得最大值。全國理（4）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則 (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5【答案】：D【命題意圖】：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等有關(guān)知識(shí)。【解析】：，解得。另外：本題也可用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算。（20）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)數(shù)列滿足且.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，記，證明：.【命題立意】：本小題主要考查數(shù)列

15、的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的概念、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力。在解題過程中也滲透了化歸與轉(zhuǎn)化思想方法.難度較小，學(xué)生易得分?！窘馕觥浚海ǎ┯芍獢?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。（）由（）知全國文(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知求和【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題解得所以如果則如果則山東理15. 設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)， .【答案】【解析】觀察知:四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為,即,所以歸納出分母為的分母為,故當(dāng)且時(shí)，.20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二

16、、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（）由題意知,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以公比為3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（）因?yàn)?, 所以=-=-=-,所以=-=-.（20）（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.山東文沒有新題陜西理13觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+

17、5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第個(gè)等式為 .【分析】歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，然后歸納出一般結(jié)論行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵【解】把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)，加數(shù)的個(gè)數(shù)是；等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù) 等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以，即【答案】14植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路

18、程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）【分析】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題【解】（方法一）設(shè)樹苗放在第個(gè)樹坑旁邊（如圖）， 1 2 19 20那么各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑距離的和是，所以當(dāng)或時(shí)，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和即可。樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個(gè)（或第11個(gè)）樹坑旁邊時(shí)，路程總和是，所以路程

19、總和最小為2000米.【答案】200019（本小題滿分12分）如圖，從點(diǎn)P1（0，0）作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)再從做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：；，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（1）試求與的關(guān)系（）；（2）求【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）嘗試求出通項(xiàng)的表達(dá)式，然后再求和【解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，在點(diǎn)處的切線方程是，令，則（）（2），于是有，即陜西文10植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前

20、來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為（ ）（A）和 （B）和 (C) 和 (D) 和【分析】根據(jù)選項(xiàng)分別計(jì)算四種情形的路程和；或根據(jù)路程和的變化規(guī)律直接得出結(jié)論【解】選D （方法一）選項(xiàng)具體分析結(jié)論A和：比較各個(gè)路程和可知D符合題意B：=2000C：=2000D和：路程和都是2000（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和進(jìn)行比較即可。樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10

21、個(gè)（或第11個(gè)）樹坑旁邊時(shí)，路程總和是，所以路程總和最小為2000米.上海理14.已知點(diǎn)O(0,0)、Q0(0,1)和點(diǎn)R0(3,1)，記Q0R0的中點(diǎn)為P1，取Q0P1和P1R0中的一條，記其端點(diǎn)為Q1、R1，使之滿足，記Q1R1的中點(diǎn)為P2，取Q1P2和P2R1中的一條，記其端點(diǎn)為Q2、R2，使之滿足.依次下去，得到，則 . 18.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長為的矩形的面積（），則為等比數(shù)列的充要條件是（ ）（A）是等比數(shù)列.（B）或是等比數(shù)列.（C）和均是等比數(shù)列.（D）和均是等比數(shù)列，且公比相同.22.（本大題滿分18分，第1小題滿分4分，第二小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數(shù)

22、列和的通項(xiàng)公式分別為，（.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列（1）寫出；（2）求證：在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22、 ； 任意，設(shè)，則，即 假設(shè)（矛盾）， 在數(shù)列中、但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 ， 當(dāng)時(shí)，依次有， 上海文2、 計(jì)算= 23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列（1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項(xiàng)，又是數(shù)列中的項(xiàng)；（2）數(shù)列中有多少項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)？請說明理由；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.23、解： 三項(xiàng)分別為。 分別為 ， 。四川理8數(shù)列的首項(xiàng)為3，為

23、等差數(shù)列且，若則，則（A）0 （B）3（C）8（D）11答案：B解析：為等差數(shù)列，由，及解得，故，即，故，相加得，故，選B11定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)在上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則（A）3（B）（C）2 （D）答案：D解析：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，選D20（本小題共12分）設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，（）（）寫出a1，a2,，a3并判斷an是否為等比數(shù)列若是，給出證明；若不是，說明理由；（）設(shè)bn=ndan（），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn本小題考查等比數(shù)列和組合數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本的運(yùn)算能力，分析問題、解決問題的能力和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解：（）由已知可得，當(dāng)，時(shí)，因此由此可見，當(dāng)時(shí)，故an

24、是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，（），an不是等比數(shù)列（）由（）可知，從而， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊同乘以得 ，式相減可得：化簡即得綜上，四川文9數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n1），則a6=（A）3 44 （B）3 44+1（C）44（D）44+1答案：A解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn1（n2），相減得an+1an =3(SnSn1)= 3an，則an+1=4an（n2），a1=1，a2=3，則a6= a244=344，選A20（本小題共12分）已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和（）當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（）當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，求

25、證：對任意自然數(shù)k，、也成等差數(shù)列本小題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力解：（）由已知，因此，當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，可得化簡得解得（）若，則的每項(xiàng)，此時(shí)、顯然成等差數(shù)列若，由、成等差數(shù)列可得，即整理得因此，所以，、也成等差數(shù)列天津理6已知是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且則的前項(xiàng)和為（）或或【解】設(shè)數(shù)列的公比為，由可知于是又，于是，即，因?yàn)?，則數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則前項(xiàng)和故選22（本小題滿分分）在數(shù)列中，且對任意，成等差數(shù)列，其公差為（）若，證明成等比數(shù)列；（）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為() 設(shè),證明是等差數(shù)列;() 若,證明.【解】（）解法1由題設(shè)

26、可得，所以因?yàn)?，所以從而由成等差?shù)列，其公差為得于是因此，所以，于是當(dāng)時(shí)，對任意， 成等比數(shù)列解法2用數(shù)學(xué)歸納法(1) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，及，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，及，則由，所以成等比數(shù)列所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；(2) 假設(shè)對于結(jié)論成立，即成公差為等差數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，則，又由題設(shè)成公差為等差數(shù)列，則，因此，解得于是，再由題設(shè)成公差為等差數(shù)列，及，則因?yàn)?，所以，于是成等比?shù)列于是對結(jié)論成立，由(1)，(2)，對對任意,結(jié)論成立（）()證法1由成等差數(shù)列，成等比數(shù)列,則 ,即因?yàn)?可知,從而，即，所以是等差數(shù)列，且公差為證法2由題設(shè),所以.因?yàn)?可知,于是所以是等差數(shù)列，且公差為() 證法1由（）得解法1和解法2均可得從而，因此，(1) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)若，則，滿足；若，則所以，所以，(2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)所以，所以，由(1)，(2)可知，對任意，證法2由（）得解法1和解法2均可得從而所以，由，可得于是由（）知，以下同證法天津文15設(shè)是等比數(shù)列，公比，為的前項(xiàng)和記，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則【解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)，取得最小值，所以在時(shí)取得最大值此時(shí)，解得即為數(shù)列的