逆轉(zhuǎn)點觀測數(shù)據(jù)的平差模型

1、逆轉(zhuǎn)點觀測數(shù)據(jù)的平差模型孫現(xiàn)申 陳繼華（鄭州測繪學院 鄭州市 郵編：450052）摘要：陀螺經(jīng)緯儀的定向觀測過程受到多種誤差因素的復雜影響，因此依據(jù)陀螺軸進動的理論方程進行數(shù)據(jù)處理表現(xiàn)出很顯著的模型誤差。為此，應對平差處理中的隨機模型和函數(shù)模型同時進行修改。針對跟蹤式定向觀測中的逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)，我們采用Schuler-Wolf模型替代傳統(tǒng)的等權(quán)處理，并對該模型進行了改進，包括初始信號作為參數(shù)求解、關(guān)聯(lián)系數(shù)進行迭代估計等；同時用多項式衰減替代理想情況下的指數(shù)衰減，作為平差處理的函數(shù)模型。實測數(shù)據(jù)解算結(jié)果表明，由此所組成的逆轉(zhuǎn)點平差模型具有解算精度高、殘差為白噪聲信號、參數(shù)求解比較穩(wěn)定等優(yōu)點。關(guān)鍵詞：

2、陀螺經(jīng)緯儀 逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù) 隨機模型 函數(shù)模型提高定向精度和定向速度是陀螺經(jīng)緯儀定向測量的發(fā)展方向。定向精度的提高主要依賴于硬件性能的改善，另一方面也要求用嚴密的平差方法進行數(shù)據(jù)處理。陀螺經(jīng)緯儀的定向觀測過程受到多種誤差因素的復雜影響，如讀數(shù)誤差、環(huán)境溫度變化、電源電壓的變化、懸掛帶不穩(wěn)定、轉(zhuǎn)子軸轉(zhuǎn)動頻率不穩(wěn)定、不規(guī)則的擺動衰減以及跟蹤不規(guī)則對擺動的影響等，因此依據(jù)陀螺軸進動的理論方程進行數(shù)據(jù)處理表現(xiàn)出很顯著的模型誤差。根據(jù)現(xiàn)代平差理論，模型誤差的處理分為修正隨機模型和修正函數(shù)模型兩種途徑。在陀螺經(jīng)緯儀的定向觀測數(shù)據(jù)處理中，隨機模型的研究成果為MSchuler和HWolf (1954)針對跟蹤逆轉(zhuǎn)

3、點觀測數(shù)據(jù)提出的一個模型，以下稱其為Schuler-Wolf模型，EGrafarend（1980）、朱光（1988）對該模型進行了實測數(shù)據(jù)研究；在函數(shù)模型研究中，LMAJeudy 和PGagnon（1982）采用不同擺幅、不同頻率的諧波進行迭加來逼近不跟蹤觀測數(shù)據(jù)，郭金運和李成堯（1996）根據(jù)龐卡萊（Poincare）的擾動理論導出了陀螺軸進動的雙尺度解?；趯σ陨夏Ｐ偷睦碚撗芯考皩崪y數(shù)據(jù)解算結(jié)果的分析，本文試圖通過同時修正隨機模型和函數(shù)模型來綜合研究跟蹤逆轉(zhuǎn)點觀測數(shù)據(jù)的平差模型，以期得到更優(yōu)的解算結(jié)果。一、逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)處理的傳統(tǒng)模型由動力學理論可以推得，陀螺軸的進動規(guī)律為衰減的簡諧擺動，可

4、表示為 (1)其中，為（進動中）陀螺軸所對應的經(jīng)緯儀水平度盤讀數(shù)；為進動擺幅值；為擺幅隨時間的衰減系數(shù)；為與所對應的時刻；為初相時間；為進動周期。當僅取逆轉(zhuǎn)點處的觀測值時，式（）成為將右端的正負號合并到中，則得 （2）由于誤差的存在使上式不能嚴格成立，引入誤差項，得逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)平差的函數(shù)模型 （3）隨機模型一般采用 （4）式（3）、（4）即逆轉(zhuǎn)點法數(shù)據(jù)處理的傳統(tǒng)模型，著名的舒勒平均值是其解算結(jié)果的特例。表1為采用式（3）、（4）對一組逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)分別取前50、41、30、21、10、6、5、4個逆轉(zhuǎn)點平差結(jié)果的比較。從表1可以看出，隨著所采用的逆轉(zhuǎn)點個數(shù)增加而迅速增大，而則隨著增加呈明顯減小趨勢。

5、顯然，這是由模型誤差引起的。表1 采用傳統(tǒng)模型對逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)進行平差的結(jié)果 點數(shù)誤差504130211065453.111453.112053.111853.111253.112453.112753.112153.1128180619651943199720512046205920750.0820.1030.1000.1100.1230.1200.1280.138"7764644826282017"11101211812990.0020.0030.0030.0030.0040.0080.0070.009二、隨機模型的改進將式（3）線性化，并寫成矩陣形式 （5）其中，為逆轉(zhuǎn)點觀

6、測向量， 為誤差向量，為未知參數(shù)向量，為的系數(shù)矩陣。陀螺定向觀測中的誤差具有相關(guān)性，采用部分延續(xù)模式（相當于數(shù)學上的Self-correlation模式） （6）展開為寫成矩陣形式，記則有 （7）在上式中，與之間相互獨立，各分量之間也相互獨立，并且有， （8）由上述各式可以推出： （9）其中，式（9）即Schuler-Wolf模型。將該模型應用于實測數(shù)據(jù)解算時，未知，需根據(jù)經(jīng)驗人為指定；、需由方差分量估計得到，且因、強相關(guān)導致解算困難。因此，EGrafarend（1980）用此模型的解算結(jié)果并不理想。為此，我們做如下修正。將作為參數(shù)合并到中進行求解，隨機模型相應變?yōu)?（10）這樣避免了方差分量

7、估計。另外，按下式估計 （11）實算中式（11）需迭代完成。三、函數(shù)模型的改進理論分析和實測數(shù)據(jù)解算結(jié)果（如表1）均表明，在陀螺軸進動過程中，擺幅和周期隨時間而變化，并非固定值。將此因素反應到式（2）中，擺幅的變化較理論上的指數(shù)衰減復雜得多，為此，我們用多項式進行逼近。表示為 （12）稱之為多項式衰減模型?；?qū)懗烧`差方程形式 （13）解算時把作為未知參數(shù)求解，顧及到式（7）中的參數(shù)，則其函數(shù)模型為 （14）其中， （15）取，則 （16） （17）系數(shù)陣B為 （18）其中，（=1，2，3，n），式中帶上標0者表示給定的初值。四、白噪聲信號檢驗如果平差系統(tǒng)不包含模型誤差，那么所得的殘差應屬于白噪

8、聲信號。為此，CRRao（1973，）構(gòu)造了服從分布的統(tǒng)計量 （19）其中，為觀測值個數(shù)，為未知參數(shù)個數(shù)。的臨界值按下式計算 （20）解算結(jié)果表明，如果采用傳統(tǒng)的平差模型，所得殘差向量不能通過白噪聲檢驗。但如果對平差模型稍做改動就可以通過此項檢驗，例如，函數(shù)模型采用式（3），隨機模型采用式（11），并加權(quán)平差，所得殘差向量即可滿足該檢驗條件。因此，僅靠白噪聲信號檢驗平差模型是不夠的，好的平差模型還需具有更多的優(yōu)良特性，例如，參數(shù)求解的穩(wěn)定等。五、實測數(shù)據(jù)解算表2為一組跟蹤式定向觀測的逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)。函數(shù)模型取式（14），隨機模型取式（11）。依次取表2中前50、40、30、20、10個觀測數(shù)據(jù)，多

9、項式分別取3、4、5、6，解算結(jié)果列于表3表6中。表4表6結(jié)果無顯著區(qū)別，因此，我們認為多項式次數(shù)取4較為合適，采用3次多項式時，對某些觀測數(shù)據(jù)（如表8中的第一組數(shù)據(jù)）迭代收斂很慢。多項式次數(shù)取4，逆轉(zhuǎn)點數(shù)目為30的3組數(shù)據(jù)的解算結(jié)果列于表7中。表8為本文提出的改進模型與傳統(tǒng)模型的參數(shù)求解精度比較?？梢钥闯?，改進模型的解算精度有顯著提高。表2 一組跟蹤式觀測逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)52.375053.423052.423053.384752.452653.362452.485553.322552.504953.302152.530053.284952.543153.265452.555253.255052.

10、581053.231452.584853.231252.581353.242652.590953.215153.004253.204953.020453.201553.042653.191753.032253.183753.045153.173753.052953.161253.071653.141553.084453.144853.083653.135853.081853.132753.080653.135753.091053.112253.105253.1145 儀器類型：TDJ-II，標稱精度：10秒，No.461003，觀測者：于來法等，1983年9月表3 表1數(shù)據(jù)的3次多項式衰減模型

11、解算結(jié)果 項目514242283253.111753.112053.111853.111853.1127778711-0.574-0.368-0.258000570.183 表4 表1數(shù)據(jù)的4次多項式衰減模型解算結(jié)果 項目454141293453.111653.111953.111953.111853.1122668714-0.0689-0.0729-0.0557-0.0726-0.12940.00290.00320.00070.00390.0250-0.464-0.340-0.176-0.0080.413 表5 表1數(shù)據(jù)的5次多項式衰減模型解算結(jié)果 項目444042283653.111653

12、.111953.111953.111853.1123668715-0.0872-0.0552-0.0384-0.0265-0.2854220.00520.0005-0.0026-0.00950.102704-0.410-0.329-0.1900.1860.394 表6 表1數(shù)據(jù)的6次多項式衰減模型解算結(jié)果 項目404140262053.111753.111953.111853.111553.1137676612-0.0298-0.0427-0.1298-0.13591.2225-0.0046-0.00200.02050.03130.0313-0.285-0.320-0.1770.3660.55

13、5 表7 3組數(shù)據(jù)的4次多項式衰減模型解算結(jié)果之比較 項目數(shù)據(jù)第一組132-.028350.00040.036第二組214-0.03660.0022-0.340第三組418-0.05570.0008-0.176 表8 改進模型與傳統(tǒng)模型解算精度之比較 項目數(shù)據(jù)傳 統(tǒng) 模 型改 進 模 型第一組2392919269第二組1131819338第三組18410318第四組761145650六、結(jié)語本文較為深入地研究了陀螺經(jīng)緯儀跟蹤式定向觀測逆轉(zhuǎn)點數(shù)據(jù)處理的平查模型。在隨機模型方面，將Schuler-Wolf模型中的初始信號作為參數(shù)求解，并對進行迭代估計。在函數(shù)模型方面，基于理論和實驗分析，提出了4次

14、多項式衰減模型。改進的平差模型，在逆轉(zhuǎn)點實測數(shù)據(jù)解算中，表現(xiàn)出以下優(yōu)點： 采用改進的平差模型，所得北方向值的誤差較采用傳統(tǒng)模型減小，因此改進模型能夠提高解算精度。 采用改進的平差模型，所得觀測值中誤差隨逆轉(zhuǎn)點個數(shù)增加而增大的趨勢明顯減弱，因此改進模型更能反應陀螺轉(zhuǎn)子軸的實際運動及觀測誤差的相關(guān)特性。 所得殘差為白噪聲信號。另外，由解算結(jié)果可以看出，解算出的相關(guān)因子及多項式系數(shù)、在同一組數(shù)據(jù)中，用不同的逆轉(zhuǎn)點個數(shù)解算結(jié)果并不穩(wěn)定，說明在不同的觀測時間內(nèi)，誤差的相關(guān)特性是無序的，陀螺轉(zhuǎn)子軸的運動是不穩(wěn)定的不規(guī)則運動。良好的平常模型應具有參數(shù)解算精度高、殘差為白噪聲信號序列、參數(shù)求解穩(wěn)定等優(yōu)點。通過

15、研究與實算，我們認為，參數(shù)求解精度并不一定要求越高越好，只需高于儀器精度的3倍即可，使殘差通過白噪聲信號檢驗的措施也比較容易，最為重要、難度最大的是保證參數(shù)求解的穩(wěn)定（即不隨序列的長度而變化）。依此要求，本文提出的改進模型有較大的改善，但在參數(shù)穩(wěn)定性方面仍不十分理想，尚需進一步探討。參 考 文 獻1 Grafarend E，A KleusbergExpectation and variance component estimation of multivariate gyro theodolite observations IAVN, 1980(3),pp129-1372 Rao C RLinear statistical inference and its applicationsJohn Wiley & Sons，New York,19733 Jeudy L M A, P Gag