勾股定理主題單元設(shè)計(jì)及思維導(dǎo)圖

1、勾股定理主題單元設(shè)計(jì)主題單元標(biāo)題勾股定理作者姓名 郵箱： 電話： 學(xué)科領(lǐng)域 （在內(nèi)打 表示主屬學(xué)科，打+ 表示相關(guān)學(xué)科） 思想品德 音樂 化學(xué) 信息技術(shù) 勞動(dòng)與技術(shù) 語文 美術(shù) 生物 科學(xué) 數(shù)學(xué) 外語 歷史 社區(qū)服務(wù) 體育 物理 地理 社會(huì)實(shí)踐 其他（請(qǐng)列出）：適用年級(jí)八年級(jí)所需時(shí)間課內(nèi)5課時(shí)，課外1課時(shí)主題單元學(xué)習(xí)概述勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特征，學(xué)習(xí)勾股定理及其逆定理是進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)直角三角形的需要，也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，再數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和發(fā)展中起著重要的作用，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用。它將為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和開拓思維打

2、下基礎(chǔ)。勾股定理主題單元包括：“探索勾股定理”、“能得到直角三角形嗎”、“螞蟻怎樣走最近”三部分內(nèi)容。本單元的重點(diǎn)是勾股定理的探究驗(yàn)證、直角三角形的判定條件、勾股數(shù)、綜合應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題。主題單元規(guī)劃思維導(dǎo)圖主題單元學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能：1、用數(shù)格子（或割、補(bǔ)、拼等）的辦法體驗(yàn)勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)初步運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際運(yùn)用2、掌握勾股定理及其驗(yàn)證，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問題。3、通過對(duì)幾種常見的勾股定理驗(yàn)證方法的分析和欣賞，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系；經(jīng)歷綜合運(yùn)用已有知識(shí)解決問題的過程，加深對(duì)勾股定理、整式

3、運(yùn)算、面積等的認(rèn)識(shí)。 4、理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容及勾股數(shù)的概念；能根據(jù)所給三角形三邊的條件判斷三角形是否是直角三角形。   5、學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及應(yīng)用意識(shí)過程與方法：1、讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-驗(yàn)證”的探索過程，了解勾股定理的各種探究方法及其內(nèi)在聯(lián)系，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的方法 2、經(jīng)歷不同的拼圖方法驗(yàn)證勾股定理的過程，體驗(yàn)解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值；3、通過驗(yàn)證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。4、通過豐富有趣的拼圖活動(dòng)，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、計(jì)算、推理

4、交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考和表達(dá)的能力，獲得一些研究問題的方法與經(jīng)驗(yàn)。5、在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想情感態(tài)度與價(jià)值觀：1、在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)2、在勾股定理的驗(yàn)證活動(dòng)中，培養(yǎng)探究能力和合作精神；通過對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)愛國情感，并通過應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。 3、 通過豐富有趣的拼圖活動(dòng)增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；通過探究總結(jié)活動(dòng)，讓學(xué)生獲得成功的體 驗(yàn)和克服困難的經(jīng)

5、歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心；在合作學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的合作交流的意識(shí)和能力。   4、通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性對(duì)應(yīng)課標(biāo)探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 主題單元問題設(shè)計(jì)1、如何探索勾股定理？2、如何利用邊判定直角三角形？3、怎樣應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決相應(yīng)的實(shí)際問題？專題劃分專題一：探索勾股定理 （課內(nèi)3 課時(shí)+課外研究性學(xué)習(xí)）專題二：能得到直角三角形嗎 （ 1課時(shí)）專題三：螞蟻怎樣走最近 （ 1課時(shí)）專題一探索勾股定理所需課時(shí)課內(nèi)3課時(shí)+課外1課時(shí)專題學(xué)習(xí)目標(biāo) ：知識(shí)與技能目標(biāo)：能用自己的語言敘述勾股定

6、理，經(jīng)歷勾股定理的探索過程，理解勾股定理。過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想歸納-驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)探究過程，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn)，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)，通過問題情景的創(chuàng)設(shè)和解決，讓學(xué)生體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，能用數(shù)學(xué)的眼光看待生活。專題問題設(shè)計(jì)1、怎樣用數(shù)格子和圖形割補(bǔ)法探究勾股定理？2、勾股定理的內(nèi)容是什么？3、用圖形割補(bǔ)法怎樣驗(yàn)證勾股定理？有幾種常見的不同方法？4、已知直角三角形的兩邊，怎樣求第三邊的平方？5、用拼圖法怎樣驗(yàn)證勾股定理？各種方法的聯(lián)系？所需教學(xué)環(huán)境和教學(xué)資源信息化資源幾何畫板課件常規(guī)資源作圖工具（直尺，三角

7、尺等）教參、課標(biāo)。教學(xué)支撐環(huán)境多媒體教室、網(wǎng)格紙。其 他紙筆等學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)第一課時(shí) 探索勾股定理活動(dòng)一： 步驟（1）投影顯示如下地板磚示意圖，讓學(xué)生初步觀察：（2）引導(dǎo)學(xué)生從面積角度觀察圖形： 思考：你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？學(xué)生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：結(jié)論1 以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積從觀察實(shí)際生活中常見的地板磚入手，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊通過對(duì)特殊情形的探究得到結(jié)論1，為探究活動(dòng)二作鋪墊.探究活動(dòng)一讓學(xué)生獨(dú)立觀察，自主探究，培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣和能力；通過探索發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生得到成功體驗(yàn)，激發(fā)進(jìn)一步探究的熱情和愿望.活

8、動(dòng)二：內(nèi)容：由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？（1）觀察下面兩幅圖：（2）填表：A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）左圖右圖（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流（學(xué)生可能會(huì)做出多種方法，教師應(yīng)給予充分肯定 圖1 圖2 圖3【技術(shù)應(yīng)用】應(yīng)用幾何畫板（或利用方格紙）演示說明，形象直觀。（4）分析填表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)，歸納出：結(jié)論2 以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積探究活動(dòng)二意在讓學(xué)生通過觀察、計(jì)算、探討、歸納進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)一般直角三角形的性質(zhì)由于正方形C的面積計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)

9、，為此設(shè)計(jì)了一個(gè)交流環(huán)節(jié).學(xué)生通過充分討論探究，在突破正方形C的面積計(jì)算這一難點(diǎn)后得出結(jié)論2.活動(dòng)三：內(nèi)容：（1）你能用直角三角形的邊長、來表示上圖中正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長度2中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？意在讓學(xué)生在結(jié)論2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系，得到勾股定理.讓學(xué)生歸納表述結(jié)論，可培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力及語言表達(dá)能力.第二課時(shí)：用圖形面積割補(bǔ)驗(yàn)證勾股定理活動(dòng)1： 教師導(dǎo)入，小組拼圖.今天我們將研究利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角

10、三角形，拼出一個(gè)以斜邊為邊長的正方形.（請(qǐng)每位同學(xué)用2分鐘時(shí)間獨(dú)立拼圖，然后再4人小組討論.）為了讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗(yàn)證作鋪墊，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、創(chuàng)新能力. 22 圖1活動(dòng)2：層層設(shè)問，完成驗(yàn)證一. 學(xué)生通過自主探究，小組討論得到兩個(gè)圖形： 圖2問：（1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學(xué)生先獨(dú)立思考，再4人小組交流）；（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？ 從而利用圖1驗(yàn)證了勾股定理.活動(dòng)3 ： 自主探究，完成驗(yàn)證二.我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，聯(lián)系整式運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，從理論上驗(yàn)證了勾股定理，你還能利用圖2驗(yàn)證勾股定理嗎？

11、（學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流，最后請(qǐng)一個(gè)小組同學(xué)上臺(tái)講解驗(yàn)證方法二）學(xué)生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗(yàn)證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點(diǎn).第三課時(shí)：拼圖驗(yàn)證勾股定理活動(dòng)一；內(nèi)容：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)收集的驗(yàn)證方法進(jìn)行歸類整理：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，“無字證明”分三種類型：適當(dāng)?shù)臍w類整理有助于學(xué)生提高對(duì)有關(guān)驗(yàn)證方法的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生的理解?；顒?dòng)二：五巧板的制作（動(dòng)手操作，合作探究）·

12、教師介紹“五巧板”的制作方法，學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的硬紙板制作“五巧板”。1利用五巧板拼“青朱出入圖”。2取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個(gè)以C為邊長的正方形，將另外一幅五巧板拼成兩個(gè)邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？3用上面的兩幅五巧板，還可拼出其它圖形，你能驗(yàn)證勾股定理嗎？4利用五巧板還能通過怎樣拼圖來驗(yàn)證勾股定理？ abc可能的拼圖方案：bcabc通過前面的展示，學(xué)生可能已經(jīng)基本理解了所謂的“無字證明”，但沒有通過親身的體驗(yàn)，可能仍有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生難以認(rèn)同，甚至部分學(xué)生可能還存在一定的懷疑，為此利用五巧板拼圖證明勾股定理，力圖通過學(xué)生的親身實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步確認(rèn)“無字證明”的驗(yàn)證方法?；顒?dòng)三：搜

13、集匯總勾股定理的文化價(jià)值(1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。(2) 勾股定理反映了自然界基本規(guī)律,有文明的宇宙“人”都應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)。(3)勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。(4)勾股定理公式是第一個(gè)不定方程，為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。第四課時(shí)：（課外）：勾股定理驗(yàn)證方法的收集與整理以學(xué)校小組或興趣小組為單位活動(dòng)活動(dòng)1：上這節(jié)課前一個(gè)星期教師布置給學(xué)生以下活動(dòng)：查有關(guān)勾股定理的資料（可上網(wǎng)查，也可查閱報(bào)刊、書籍）.實(shí)行“小組合作制”，各小組中自己推薦一人擔(dān)任“發(fā)言人”，一人擔(dān)任“書記員”，在小組結(jié)束后，由小組的“發(fā)

14、言人”匯報(bào)本小組的結(jié)果，提前兩三天由幾位學(xué)生匯總(教師可適當(dāng)指導(dǎo))。可利用“多媒體視頻展示臺(tái)”展示本組找到的證明方法，其他小組給予評(píng)價(jià)，這樣既保證討論的有效性，也調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。具體的做法是：請(qǐng)各個(gè)學(xué)習(xí)小組從網(wǎng)絡(luò)或書籍上，盡可能多地尋找和了解驗(yàn)證勾股定理的方法，并填寫探究報(bào)告：勾股定理證明方法匯總方法種類及歷史背景驗(yàn)證定理的具體過程知識(shí)運(yùn)用及思想方法   勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。同時(shí)勾股定理是世界上證法最多的定理，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，希望學(xué)生能從這些證明方法中學(xué)習(xí)到一些重要的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想。鼓勵(lì)同學(xué)們作為新時(shí)期的學(xué)習(xí)者，也能探索出自己的證明方法，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。:活動(dòng)2：探究成果的交流與展示：以下是學(xué)生搜集的勾股定理的證明方法:1.趙爽證明2.1876年美國總統(tǒng)Garfield證明3.意大利著名畫家