計(jì)算方法重修課件

1、2022-3-2科學(xué)計(jì)算的魅力科學(xué)計(jì)算的魅力 南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)系南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)系 2022-3-2內(nèi)容提要1. 1. 科學(xué)計(jì)算的地位與應(yīng)用科學(xué)計(jì)算的地位與應(yīng)用 2. 2. 科學(xué)計(jì)算的基本內(nèi)容科學(xué)計(jì)算的基本內(nèi)容理論理論研究研究科學(xué)科學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)科學(xué)研究科學(xué)研究/工程技術(shù)工程技術(shù) 科學(xué)計(jì)算的地位科學(xué)計(jì)算的地位科學(xué)科學(xué)計(jì)算計(jì)算應(yīng)用應(yīng)用問(wèn)題問(wèn)題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型計(jì)算計(jì)算方法方法建模建模計(jì)算計(jì)算算法算法軟件軟件 科學(xué)工程計(jì)算科學(xué)工程計(jì)算 計(jì)算方法的意義計(jì)算方法的意義: （3）基于離散數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型時(shí)）基于離散數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型時(shí) 無(wú)法采用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法獲得所需解的三種有代表性無(wú)法采用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法獲得

2、所需解的三種有代表性的情形的情形 :（1）所涉及的數(shù)學(xué)模型無(wú)系統(tǒng)的求解析解的方法）所涉及的數(shù)學(xué)模型無(wú)系統(tǒng)的求解析解的方法 （2）所涉及數(shù)學(xué)模型的解法計(jì)算量大，只適用）所涉及數(shù)學(xué)模型的解法計(jì)算量大，只適用 于規(guī)模較小的情形于規(guī)模較小的情形 什么是計(jì)算方法（數(shù)值分析）？什么是計(jì)算方法（數(shù)值分析）？研究怎樣通過(guò)計(jì)算機(jī)所能執(zhí)行的基本運(yùn)算，求得研究怎樣通過(guò)計(jì)算機(jī)所能執(zhí)行的基本運(yùn)算，求得各類(lèi)問(wèn)題數(shù)值解或近似解的學(xué)問(wèn)。各類(lèi)問(wèn)題數(shù)值解或近似解的學(xué)問(wèn)。加、減、乘、加、減、乘、除、邏輯運(yùn)算除、邏輯運(yùn)算 計(jì)算方法計(jì)算方法（又稱(chēng)為（又稱(chēng)為數(shù)值分析數(shù)值分析）的任務(wù)）的任務(wù):研究如何對(duì)給定的問(wèn)題構(gòu)建只須進(jìn)行有限步四則研究

3、如何對(duì)給定的問(wèn)題構(gòu)建只須進(jìn)行有限步四則運(yùn)算的計(jì)算模型，以便有效地借助于計(jì)算機(jī)迅速運(yùn)算的計(jì)算模型，以便有效地借助于計(jì)算機(jī)迅速求出所需要的數(shù)值解。這種計(jì)算模型通常又稱(chēng)為求出所需要的數(shù)值解。這種計(jì)算模型通常又稱(chēng)為計(jì)算格式計(jì)算格式。計(jì)算方法不同于純粹數(shù)學(xué)學(xué)科的一些新特點(diǎn)計(jì)算方法不同于純粹數(shù)學(xué)學(xué)科的一些新特點(diǎn): : 面向計(jì)算機(jī)：將要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化成一系列的面向計(jì)算機(jī)：將要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化成一系列的 算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)，以便在計(jì)算機(jī) 上求出問(wèn)題的上求出問(wèn)題的數(shù)值解數(shù)值解。遵循的遵循的相容性原則相容性原則，滿(mǎn)足控制誤差積累的，滿(mǎn)足控制誤差積累的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值穩(wěn)定性要求要

4、求，以及評(píng)價(jià)計(jì)算格式優(yōu)劣的，以及評(píng)價(jià)計(jì)算格式優(yōu)劣的計(jì)算復(fù)雜性計(jì)算復(fù)雜性，為適應(yīng)，為適應(yīng)大型計(jì)算機(jī)的計(jì)算，現(xiàn)今又提出了大型計(jì)算機(jī)的計(jì)算，現(xiàn)今又提出了并行性并行性要求。要求。三.科學(xué)計(jì)算的基本內(nèi)容線性方程組求解線性方程組求解非線性方程求根非線性方程求根插值與擬合插值與擬合數(shù)值微分與積分?jǐn)?shù)值微分與積分常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解計(jì)算格式的相容性與穩(wěn)定性計(jì)算格式的相容性與穩(wěn)定性定義定義1.11.1 如果一個(gè)計(jì)算格式在取某種極限后可還原成如果一個(gè)計(jì)算格式在取某種極限后可還原成某數(shù)學(xué)模型，則稱(chēng)該計(jì)算格式與此數(shù)學(xué)模型相容。某數(shù)學(xué)模型，則稱(chēng)該計(jì)算格式與此數(shù)學(xué)模型相容。 定義定義1.21.2 如果在用某一計(jì)

5、算格式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的如果在用某一計(jì)算格式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中，誤差不會(huì)嚴(yán)重積累，從而保證解滿(mǎn)足所要過(guò)程中，誤差不會(huì)嚴(yán)重積累，從而保證解滿(mǎn)足所要求的精確度求的精確度( (簡(jiǎn)稱(chēng)精度），則稱(chēng)該計(jì)算格式簡(jiǎn)稱(chēng)精度），則稱(chēng)該計(jì)算格式數(shù)值穩(wěn)數(shù)值穩(wěn)定定（簡(jiǎn)稱(chēng)為（簡(jiǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定穩(wěn)定），反之則為），反之則為不穩(wěn)定不穩(wěn)定。 穩(wěn)定性分析通?；趯?duì)初始誤差的傳播狀況的討論。 補(bǔ)充內(nèi)容：補(bǔ)充內(nèi)容：一般來(lái)說(shuō)，若一個(gè)計(jì)算格式滿(mǎn)足如下誤差關(guān)系式一般來(lái)說(shuō)，若一個(gè)計(jì)算格式滿(mǎn)足如下誤差關(guān)系式 )(|為常數(shù)為常數(shù)初初后后CeCe 則認(rèn)為該計(jì)算格式數(shù)值穩(wěn)定。則認(rèn)為該計(jì)算格式數(shù)值穩(wěn)定。 所以，人們通常以相容性和穩(wěn)定性作所以，人們通常以相容性和

6、穩(wěn)定性作為對(duì)一個(gè)計(jì)算格式可行性的基本要求。為對(duì)一個(gè)計(jì)算格式可行性的基本要求。 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 第二章第二章 線性方程組的數(shù)值解法線性方程組的數(shù)值解法 2.1 消去法消去法2.2 矩陣分解法矩陣分解法2.3 向量與矩陣范數(shù)向量與矩陣范數(shù)3.4 經(jīng)典迭代法經(jīng)典迭代法給定一個(gè)線性方程組給定一個(gè)線性方程組Ax=b1112111212222212(),nnijn nnnnnnnaaaxbaaaxbAaxbaaaxb 其其中中A A為系數(shù)矩陣為系數(shù)矩陣,b,b為右端向量，為右端向量，x x為需為需求解的未知向量。求解的未知向量。 直接法直接法：按求精確解的方法運(yùn)算求解，：按求精確解的方法運(yùn)算求解，

7、有有GaussGauss消去法及修正（矩陣分解法）等。消去法及修正（矩陣分解法）等。迭代法迭代法：給一個(gè)初始近似解：給一個(gè)初始近似解, ,按一定法則按一定法則逐步求更精確的近似解的過(guò)程逐步求更精確的近似解的過(guò)程; ; 有經(jīng)典與有經(jīng)典與現(xiàn)代迭代法現(xiàn)代迭代法. . 解線性方程組數(shù)值解法有兩類(lèi)：解線性方程組數(shù)值解法有兩類(lèi)：2.3 2.3 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)向量范數(shù)與矩陣范數(shù)定義定義2.12.1 從向量到實(shí)數(shù)的實(shí)值函數(shù)滿(mǎn)足下列從向量到實(shí)數(shù)的實(shí)值函數(shù)滿(mǎn)足下列3 3個(gè)條件稱(chēng)為個(gè)條件稱(chēng)為向量范數(shù)向量范數(shù)：(1)0;00 xxx ；(3),xyxy 三三角角不不等等式式： (2),ncR xRcxc x 任任

8、意意有有；111niixx ( (1 1) )- - 范范數(shù)數(shù)：1/222122niixx （） 范范數(shù)數(shù)： 13maxii nxx （ ） - - 范范數(shù)數(shù)： 三個(gè)常用向量范數(shù)：三個(gè)常用向量范數(shù)：定義定義2.22.2 設(shè)設(shè)|是是Rn上向量范數(shù)，上向量范數(shù)， A為為Rnn中的矩陣，中的矩陣，稱(chēng)稱(chēng) 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)。1maxxAAx 12112211max,max,xxAAxAAx 1maxxAAx 三個(gè)常用矩陣范數(shù)為三個(gè)常用矩陣范數(shù)為1211max|,(),(2.3.2 )nTijj niAaAA Aa 11max|(2.3.2 )niji njAab 三個(gè)常用矩陣范數(shù)的計(jì)算公式為三個(gè)常用矩陣

9、范數(shù)的計(jì)算公式為例例2.6 2.6 設(shè)設(shè) 23(1,2, 3) ,11TxA 求常用的向量與矩陣范數(shù)。求常用的向量與矩陣范數(shù)。解：解：126,14,3;xxx 12152214,5.2AAA 2.4 2.4 經(jīng)典迭代法經(jīng)典迭代法( (Classic Iterative Methods) ) 迭代法思想：迭代法思想： (1)AxbxMxf (1)( )(2)kkxMxf 迭迭代代格格式式：0(3),x（）取取初初始始用用迭迭代代格格式式求求解解。 2.4.1 2.4.1 JacobiJacobi迭代法迭代法 ( (以對(duì)角元為分母以對(duì)角元為分母) )12310213210115 ,012510ii

10、xxax 例例2 2. . 7 7：1122331021310211551210 xxxxxx 解解：11223300.20.10.30.200.11.50.20.402xxxxxx (1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )3120.20.10.30.20.11.50.20.42kkkkkkkkkxxxxxxxxx (11)1(11)2(11)31.0002.0003.000 xxx 將上述過(guò)程一般將上述過(guò)程一般化化建立迭代格式建立迭代格式(0)(0)(0)1230 xxx 將初值將初值 代入后迭代得代入后迭代得以分量表示方程組得以分量表示方程組得 1(1,2,)ni

11、jjija xbin 對(duì)角元對(duì)應(yīng)的量對(duì)角元對(duì)應(yīng)的量移到左邊，其它移到左邊，其它量在右邊量在右邊便得便得 ：11()(1,2,)niiijjj iiijxba xina Jacobi迭代迭代 (1)( )11()(1,2,;0,1,2)(2.4.2)nkkiiijjj iiijxba xin ka 從而可建立迭代格式從而可建立迭代格式1212121110000,000nnnnnn naaaaLUaaa 1122,nnaaADLUDa 可可逆逆雅可比迭代格式（雅可比迭代格式（2.4.22.4.2）可用矩陣表示為）可用矩陣表示為 (1)1( )1()kkxDLU xD b MJf J迭代法的矩陣表示

12、迭代法的矩陣表示 2.4.2、Guass-SeidaliGuass-Seidali迭代法迭代法( (及時(shí)更新計(jì)算值及時(shí)更新計(jì)算值) )將例將例2.7中對(duì)中對(duì)Jacobi迭代格式修改得迭代格式修改得(1)( )( )123(1)(1)( )213(1)(1)(1)3130.20.10.30.20.11.50.20.42kkkkkkkkkxxxxxxxxx 將上述過(guò)程一般化將上述過(guò)程一般化用矩陣表示為用矩陣表示為 1(1)(1)( )111()1,2,(2.4.5)inkkkiiijjijjjj iiixba xa xina Gauss-Seidel迭代迭代 (1)1( )1()()(2.4.7)

13、kkxDLU xDLb f GMG例例 2.8 用用JacobiJacobi迭代法和迭代法和Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法求解迭代法求解線性方程組線性方程組 1231021321011512510 xxx解解Gauss-Seidel迭代迭代(1)( )( )123(1)(1)( )213(1)(1)(1)3120.30.20.11.50.20.120.20.4kkkkkkkkkxxxxxxxxx (1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )3120.30.20.11.50.20.120.20.4kkkkkkkkkxxxxxxxxx Jacobi迭代

14、迭代令令 取四位小數(shù)迭代計(jì)算取四位小數(shù)迭代計(jì)算 (0)(0)(0)1230,xxx 由由Jacobi迭代得迭代得 (11)(11)(11)1231.000,2.000,3.000 xxx 由由Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代得迭代得 (6)(6)(6)1231.000,2.000,3.000 xxx 相應(yīng)的迭代公式相應(yīng)的迭代公式為為 2.4.3 一般一般 迭代法的收斂性迭代法的收斂性 定義定義3.2 3.2 設(shè)設(shè) , , 其精確解為其精確解為 x*, AxbxMxf 等等價(jià)價(jià)于于相應(yīng)的迭代格式為相應(yīng)的迭代格式為 (1)( )(2.4.9)kkxMxf 如果存在某個(gè)向量范數(shù)使

15、得如果存在某個(gè)向量范數(shù)使得( )*lim0,kxxx 則稱(chēng)由（則稱(chēng)由（2.4.92.4.9）確立的迭代法收斂）確立的迭代法收斂, , 否則稱(chēng)發(fā)散否則稱(chēng)發(fā)散. .定理定理 2.12.1 設(shè)方程組設(shè)方程組Ax=b的精確解為的精確解為x*。如果存在一。如果存在一個(gè)矩陣范數(shù)使得（個(gè)矩陣范數(shù)使得（2.4.92.4.9）中的迭代矩陣滿(mǎn)足條件）中的迭代矩陣滿(mǎn)足條件 1M 則由則由(2.4.9)(2.4.9)確立的迭代任何初始向量均收斂確立的迭代任何初始向量均收斂。且。且 證證 1,M 而而( )*lim0,kkxx 因因此此定理得證。定理得證。 (1)*( )*( )*()()kkkxxM xxMxx 迭代

16、式相減取范數(shù)得迭代式相減取范數(shù)得 (1)*( )*kkxxMxx 進(jìn)一步遞推得進(jìn)一步遞推得1(1)*( )*()kkkxxMxx 則由則由(2.4.9)(2.4.9)確立的迭代法收斂確立的迭代法收斂。 121,1,1MMM 或或或或推論推論 2.12.1 若若(2.4.9)(2.4.9)迭代矩陣迭代矩陣 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件推論推論 2.2 2.2 若若JacobiJacobi（Gauss-SeidelGauss-Seidel）迭代法的迭代矩陣）迭代法的迭代矩陣 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件利用定理利用定理2.1很容易判別迭代法的收斂性。以常用很容易判別迭代法的收斂性。以常用矩陣范數(shù)為例，有下列結(jié)論。矩陣范數(shù)

17、為例，有下列結(jié)論。則則JacobiJacobi（Gauss-SeidelGauss-Seidel）迭代法對(duì)任何初始向量均收斂。）迭代法對(duì)任何初始向量均收斂。 11221(1),1(1),1(1)JGJGJGMMMMMM或或或或第三章第三章 非線性方程非線性方程(組組)的數(shù)值解法的數(shù)值解法 3.1 二分法二分法 3.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)迭代法 3.3 Newton法法 3.4 割線法割線法 3.5非線性方程組的非線性方程組的Newton法法（1 1）確定初始含根區(qū)間）確定初始含根區(qū)間 數(shù)值計(jì)算方法主要分為兩大類(lèi)。數(shù)值計(jì)算方法主要分為兩大類(lèi)。第一類(lèi)是第一類(lèi)是區(qū)間收縮法區(qū)間收縮法。 0)(: xf

18、求求解解問(wèn)問(wèn)題題（2 2）收縮含根區(qū)間）收縮含根區(qū)間第二類(lèi)是第二類(lèi)是迭代法迭代法。 （1 1）選定根的初始近似值）選定根的初始近似值（2 2）按某種原則生成收斂于根的近似點(diǎn)列）按某種原則生成收斂于根的近似點(diǎn)列 二分法評(píng)述二分法評(píng)述優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單可靠，易于編程實(shí)現(xiàn)，它對(duì)函數(shù)要：簡(jiǎn)單可靠，易于編程實(shí)現(xiàn)，它對(duì)函數(shù)要 求低，適用于的奇數(shù)重根情形。求低，適用于的奇數(shù)重根情形。缺點(diǎn)缺點(diǎn)：不能直接用于求偶重根，不能用于求復(fù)：不能直接用于求偶重根，不能用于求復(fù) 根，也難以向方程組推廣使用，收斂速度根，也難以向方程組推廣使用，收斂速度 慢。慢。3.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)迭代法0( )f x 迭代法的算法思想為：

19、迭代法的算法思想為： 1) 把（把（1 1）等價(jià)變換為如下形式）等價(jià)變換為如下形式 ( )(3.2.1)xx 2) 建立迭代格式建立迭代格式13()( .2.2)kkxx 3) 適當(dāng)選取初始值適當(dāng)選取初始值x 0 ，遞推計(jì)算出所需的解。遞推計(jì)算出所需的解。 3.2.13.2.1不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)迭代法 1: ( )()kkxxg x 其其中中迭迭代代函函 迭迭代代格格式式數(shù)-稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)迭代法稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)迭代法或更一般地建立迭代格式或更一般地建立迭代格式 111(,)()kkkk mxxxxm 稱(chēng)為稱(chēng)為多步迭代法，多步迭代法，而迭代格式而迭代格式(3.2.2)(3.2.2)稱(chēng)為稱(chēng)為

20、單步迭代法單步迭代法. .例例3.313( )0f xxx 3-1xx 由此建立迭代格式由此建立迭代格式 131(),( )-kkxxxx 其其中中：31xx 也可建立迭代格式也可建立迭代格式13(),( )1kkxxxx 其其中中：1021112()(),(),kkkxxxxxxxxx 得得到到列列數(shù)1021112()(),(),kkkxxxxxxxxx 得得到到列列數(shù)-發(fā)散發(fā)散-收斂收斂求求01.5x 在在 附近的一個(gè)根附近的一個(gè)根.3.2.2 迭代法的收斂性迭代法的收斂性 定理定理3.1 (3.1 (不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性定理不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性定理) ) 設(shè)設(shè) ,( ) , xC a b 并且滿(mǎn)

21、足以下兩個(gè)條件并且滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件: : , ,( )1.xa bxL *, ( ) , .xa bx 那那么么在在上上存存在在唯唯一一不不區(qū)間動(dòng)點(diǎn)(2) (2) 存在常數(shù)存在常數(shù) 01,L , ,( ) , xa bxa b 若若有有；(1)對(duì)對(duì) 都收斂于都收斂于 的唯一不動(dòng)點(diǎn)的唯一不動(dòng)點(diǎn) , , 并且并且 定理定理3.2 3.2 （非局部收斂定理）（非局部收斂定理） 在定理在定理3.13.1的條件下的條件下, , 01 , ,()kkxa bxx( )x*x1|(3.2.6)1kkkLxxxxL 103 2 51|( . . )kkLxxxxL 1ln1|ln|ln|101 LxxLK |

22、11kkxxLL（2）事后誤差估計(jì)事后誤差估計(jì) (1) 事前誤差估計(jì)事前誤差估計(jì)簡(jiǎn)單地以簡(jiǎn)單地以 |1kkxx對(duì)給定的精度對(duì)給定的精度 可進(jìn)行可進(jìn)行 |*xxk代之代之注注: 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi) , 對(duì)任何對(duì)任何 ，迭，迭代格式代格式 不收斂。不收斂。 ,ba( )1x 1()kkxx,0bax 定理定理3.3 設(shè)設(shè) ， 若若 在在 x* 附近連續(xù)且附近連續(xù)且 ，則迭代格式，則迭代格式 在在 x* 附近局部收斂。附近局部收斂。 1*|()|x 注注: 由于由于 x* 事先未知，故實(shí)際應(yīng)用時(shí)，事先未知，故實(shí)際應(yīng)用時(shí)，代之以近似判則代之以近似判則 。 但需注但需注 意意 ，這實(shí)際上是假設(shè)了，這實(shí)際

23、上是假設(shè)了x0充分接近充分接近 x* ，若若 x0 離離 x* 較遠(yuǎn)，迭代格式可能不收斂。較遠(yuǎn)，迭代格式可能不收斂。 01|()|x *()xx ( )x 1()kkxx 3 , 2052)(3 xxxxf2531 kkxx3152 kkxx例例3.43.4352( ),xx 2322 31( ), , |( )|xxx 由由知知在在內(nèi)內(nèi), ,所以該迭代格式在區(qū)所以該迭代格式在區(qū)間內(nèi)間內(nèi)發(fā)散發(fā)散，不可取。，不可取。 325( )xx 23321( )3(25)20( )(2)193xxx 又又由由在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減得得故由定理故由定理3.2得：任取得：任取 ，該迭代格式該迭代格式收斂

24、收斂。02,3x 易知在易知在 x 0時(shí)時(shí) 單調(diào)增，單調(diào)增，故有故有( )x 22 3 3( )( )( )x則稱(chēng)該序列是則稱(chēng)該序列是 p p 階收斂階收斂的。的。p p=1=1且且0C1 0C1 時(shí)稱(chēng)為時(shí)稱(chēng)為線性收斂線性收斂; ;p p=1=1且且C=0 C=0 時(shí)稱(chēng)為時(shí)稱(chēng)為超線性收斂超線性收斂; ;p p=2 =2 時(shí)稱(chēng)為時(shí)稱(chēng)為平方收斂平方收斂。 10()kpkeC Ce 定義定義 設(shè)解序列設(shè)解序列 收斂于收斂于 ，如果迭代誤，如果迭代誤差差 當(dāng)當(dāng) 滿(mǎn)足漸近關(guān)系式滿(mǎn)足漸近關(guān)系式 kxkkexx k*x一般迭代法：線性收斂一般迭代法：線性收斂*11*()()( )()( )()1kkkkkk

25、kkkxxexxxxexxxxxxx 3.3 牛頓迭代法牛頓迭代法 3.3.1 3.3.1 牛頓迭代公式的構(gòu)造牛頓迭代公式的構(gòu)造 設(shè)設(shè) f (x) 在其零點(diǎn)在其零點(diǎn) 附近連續(xù)可微，已知附近連續(xù)可微，已知 為的第為的第k次近似值，則次近似值，則 *xkx )()()()()()()(12xPxxxfxfxxOxxxfxfxfkkkkkkk 取取 的根作為的根作為 的第的第k+1次近似值次近似值 0)(1xPx1kx1()()()kkkkf xxxfx 解解得得3 3. .3 3. .3 3其迭代函數(shù)為其迭代函數(shù)為 ( )( )()( )f xxxfx 3 3. .3 3. .4 4牛頓迭代法牛頓

26、迭代法幾何意義幾何意義：過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 作函數(shù)作函數(shù)y= f (x)的切線的切線 l： ,()kkP xf x()()()kkkyf xfxxx 以切線以切線 l 與與x 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn) 作為作為 的新近似值的新近似值 1kx*xxxk+1x*xkly3.3.2 3.3.2 牛頓迭代法的收斂性與收斂速度牛頓迭代法的收斂性與收斂速度 定理定理 3.5 給定給定 f (x)=0，如果在根，如果在根 附近附近 f (x)二階連二階連續(xù)，且續(xù)，且 為為 f (x)=0的單根，則牛頓迭代法在的單根，則牛頓迭代法在 附附近至少是平方收斂的。近至少是平方收斂的。 *x*x*x證證 2( )( )( )( )f

27、x fxxfx 首先證明牛頓迭代法的收斂性：首先證明牛頓迭代法的收斂性： 因此由定理因此由定理3.33.3知，牛頓迭代法局部收斂。知，牛頓迭代法局部收斂。 1()x 即即001*()()()fxxx 對(duì)牛頓迭代法對(duì)牛頓迭代法而單根保證了而單根保證了其次證明牛頓迭代法的收斂速度：其次證明牛頓迭代法的收斂速度： 之之間間與與介介于于由由kkkkkxxxxfxxxfxfxf 2)(21)()()(0整理得整理得 212)()()(21)()()(21)()(kkkkkkkkxxxffxxxxffxfxfxx 121( )1()2()2()kkkkeffxefxfx 所所以以 可見(jiàn)，當(dāng)可見(jiàn)，當(dāng) 時(shí)，牛

28、頓迭代法為平方收斂；時(shí)，牛頓迭代法為平方收斂；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，牛頓迭代法超平方收斂。時(shí)，牛頓迭代法超平方收斂。 0)( xf0)( xf例例 3.5 試用牛頓迭代法求解試用牛頓迭代法求解 在區(qū)在區(qū)間間 (2,3) 內(nèi)滿(mǎn)足精度要求內(nèi)滿(mǎn)足精度要求 的根。的根。 3( )250f xxx810相應(yīng)于該方程的牛頓迭代公式為相應(yīng)于該方程的牛頓迭代公式為 2352231 kkkkkxxxxx取取 x0 = 2 ，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2-4。 解解0 2 1 2.1 0.1 2.094568121 -0.005431879 2.094551482 -0.000016639 2 2.094551482 01

29、kkkxxxk83410 xx牛頓迭代法評(píng)述牛頓迭代法評(píng)述 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：收斂速度比較快收斂速度比較快 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：(1) (1) 局部收斂局部收斂. （2 2）當(dāng)）當(dāng) 為為 重根時(shí)，牛重根時(shí)，牛頓迭代法僅僅線性收斂。頓迭代法僅僅線性收斂。 ( )0(2)f xm 的的*x（3 3）由于涉及）由于涉及 的計(jì)算，計(jì)算量大的計(jì)算，計(jì)算量大. . 因此，因此，人們致力于研究牛頓迭代法的修改形式。人們致力于研究牛頓迭代法的修改形式。本章僅對(duì)非線性方程介紹一種較為有效的修改本章僅對(duì)非線性方程介紹一種較為有效的修改算法算法弦截法。弦截法。 ( )fx 3.4 3.4 割線法割線法( (弦截法弦截法) ) ,

30、1 , 0,)()()()(10111 kxxxxxfxfxfxxkkkkkkk割線法割線法 計(jì)算思想是：若已知計(jì)算思想是：若已知 x* 的兩個(gè)近似值的兩個(gè)近似值 xk 和和 xk-1，則，則以以 f (x) 在在 xk 與與 xk-1 之間的平均變化率之間的平均變化率(差商差商) 近似代替近似代替 ，據(jù)此把牛頓迭代法修改為，據(jù)此把牛頓迭代法修改為 11)()( kkkkxxxfxf)(kxf 幾何意義幾何意義是以過(guò)是以過(guò) 和和 兩點(diǎn)兩點(diǎn)做曲線做曲線 的弦線的弦線 l ： )(,kkxfxP )(,11 kkxfxQ)(xfy )()()()(11kkkkkkxxxxxfxfxfy 以以 l

31、與與 x 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn) 作為的新近似值作為的新近似值1 kxyo xkxy=f(x)PQ1 kx1 kxx 該定理說(shuō)明割線法是超線性收斂的算法，也是該定理說(shuō)明割線法是超線性收斂的算法，也是局部收斂的方法，其迭代初始值亦可用二分法提供局部收斂的方法，其迭代初始值亦可用二分法提供。 定理定理 3.63.6 設(shè)設(shè) f (x) 在其零點(diǎn)在其零點(diǎn) x* 的鄰域的鄰域 內(nèi)二階連續(xù)，且對(duì)內(nèi)二階連續(xù)，且對(duì) ，則，則對(duì)對(duì) ，相應(yīng)的割線法是，相應(yīng)的割線法是 階收斂的。階收斂的。 |xxx0)(, xfx 10,xx618. 1251 p 定理定理 3.63.6 設(shè)設(shè) f (x) 在其零點(diǎn)在其零點(diǎn) x* 的鄰域

32、的鄰域 內(nèi)二階連續(xù)，且對(duì)內(nèi)二階連續(xù)，且對(duì) ，則，則對(duì)對(duì) ，相應(yīng)的割線法是，相應(yīng)的割線法是 階收斂的。階收斂的。 |xxx0)(, xfx 10,xx618. 1251 p 例例 3.73.7 試用割線法求解試用割線法求解 在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)滿(mǎn)足精度要求內(nèi)滿(mǎn)足精度要求 的根。的根。 052)(3 xxxf810 相應(yīng)于該方程的割線法公式為相應(yīng)于該方程的割線法公式為 )()52()52(521131331 kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx解解取取 計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3.5。 3,210 xx4.1 引言引言 4.2 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3 Newton

33、插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.4 分段低次插值分段低次插值則稱(chēng)則稱(chēng)P(x)為為f (x)的的插值函數(shù)插值函數(shù)。這時(shí)，我們稱(chēng)。這時(shí)，我們稱(chēng)a,b為為插值插值區(qū)間區(qū)間， 稱(chēng)稱(chēng) 為為插值節(jié)（結(jié)）點(diǎn)插值節(jié)（結(jié)）點(diǎn)，稱(chēng)（，稱(chēng)（4-14-1）為）為插值條件插值條件，f (x)為為被插函數(shù)被插函數(shù)。求插值函數(shù)。求插值函數(shù)P(x)的方法稱(chēng)的方法稱(chēng)為為插值法插值法。 4.1 4.1 引言引言 定義定義 4.14.1 設(shè)設(shè) y= f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在a,b內(nèi)內(nèi)n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)個(gè)互不相同的點(diǎn) 上取上取值值 。如果存在一性態(tài)較好的簡(jiǎn)單函數(shù)。如果存在一性態(tài)較好的簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)，使，使得得

34、010,()nnxxxaxxb 01,nyyy()(0,1,)(41)iiP xyin01,nxxx 從幾何上看，插值法就是確定一個(gè)簡(jiǎn)單曲線從幾何上看，插值法就是確定一個(gè)簡(jiǎn)單曲線為為y=P(x) ，使其通過(guò)給定的，使其通過(guò)給定的 n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ， 并用它近似已知曲線并用它近似已知曲線 y=f (x).(,),0,1,iixyin 圖圖2-12-1 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)P(x)為次數(shù)不超過(guò)為次數(shù)不超過(guò)n次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，相應(yīng)的插值法稱(chēng)為相應(yīng)的插值法稱(chēng)為多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值；當(dāng)；當(dāng)P(x)為三角多項(xiàng)式為三角多項(xiàng)式時(shí)，相應(yīng)的插值法稱(chēng)為時(shí)，相應(yīng)的插值法稱(chēng)為三角插值三角插值；當(dāng)；當(dāng)P

35、(x)為分段解析為分段解析函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值法稱(chēng)為函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值法稱(chēng)為分段插值分段插值。其中三角插值。其中三角插值主要用于處理周期函數(shù)。本章僅介紹最基本的多項(xiàng)式主要用于處理周期函數(shù)。本章僅介紹最基本的多項(xiàng)式插值插值。 定理定理 4.14.1 在在 n+1 個(gè)互異點(diǎn)個(gè)互異點(diǎn) 上滿(mǎn)足插上滿(mǎn)足插值條件值條件 (4-1) 的次數(shù)不超過(guò)的次數(shù)不超過(guò)n次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式Pn(x) 存在且存在且惟一惟一。 01,nxxx4.2 Lagrange4.2 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.2.1 4.2.1 線性插值與二次插值線性插值與二次插值 設(shè)給定函數(shù)設(shè)給定函數(shù) 兩點(diǎn)兩點(diǎn) ， 經(jīng)過(guò)這兩

36、點(diǎn)的經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的多項(xiàng)式插值就是直線多項(xiàng)式插值就是直線( )yf x0011(,),(,)xyxy011010110( )xxxxL xyyxxxx 稱(chēng)給定稱(chēng)給定 為線性插值多項(xiàng)式。稱(chēng)為線性插值多項(xiàng)式。稱(chēng)為關(guān)于點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn) 的線性插值基函數(shù)，其在節(jié)點(diǎn)處滿(mǎn)足的線性插值基函數(shù)，其在節(jié)點(diǎn)處滿(mǎn)足：1( )L x01,xx01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx 1,()0,ijijl xij 4.2.1 4.2.1 線性插值與二次插值線性插值與二次插值 假定插值節(jié)點(diǎn)為假定插值節(jié)點(diǎn)為 ， ， ，要求二次插值多項(xiàng)式，要求二次插值多項(xiàng)式2x1x0 x),(2xL 幾何上幾何上 是通過(guò)三點(diǎn)是通過(guò)三點(diǎn)

37、 的拋物線的拋物線. .)(2xL),(),(),(221100yxyxyx).2, 1, 0()(2 jyxLjj 可以用基函數(shù)的方法求可以用基函數(shù)的方法求 的表達(dá)式，的表達(dá)式，)(2xL),(0 xl),(1xl)(2xl是二次函數(shù)，是二次函數(shù)，);2, 1(,0)(, 1)(000 jxlxlj);2,0(,0)(, 1)(111 jxlxlj).1 ,0(,0)(, 1)(222 jxlxlj 4.2.2 4.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 1(),0,1,(44)0ijijijl xi jnij 0()naxxb 解解 的零點(diǎn)為)(,110 xlxxxxiniinjij

38、jixxxl0)()(中含有因式而此因式已為而此因式已為n次多項(xiàng)式，故應(yīng)有次多項(xiàng)式，故應(yīng)有為待定系數(shù)injijjiiAxxAxl0)()(), 1 , 0()(nixli求的求的n+1個(gè)次數(shù)個(gè)次數(shù) 次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足滿(mǎn)足 n01()()niiiijj ijl xAxx 再由 01()inijj ijAxx 得得00 1()( )(, , )()njij iijjxxl xinxx 00045( )( )()nnnjni iiiij iijjxxLxy l xyxx 稱(chēng)為稱(chēng)為n次拉格朗日（次拉格朗日（LagrangeLagrange）插值基函數(shù)）插值基函數(shù)或稱(chēng)為或稱(chēng)為拉格朗日基本插

39、值多項(xiàng)式拉格朗日基本插值多項(xiàng)式。( (據(jù)之，我們可構(gòu)造據(jù)之，我們可構(gòu)造多項(xiàng)式多項(xiàng)式 它稱(chēng)為它稱(chēng)為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。次拉格朗日插值多項(xiàng)式。 引進(jìn)引進(jìn) n+1 次與次與n n次多項(xiàng)式函數(shù)為次多項(xiàng)式函數(shù)為10( )()(4.2.10)nnjjxxx 1( )( )/()inixxxx 0( )( )()niniiiixLxyx n次拉格朗日插值多項(xiàng)式可表示為次拉格朗日插值多項(xiàng)式可表示為誤差估計(jì)定理誤差估計(jì)定理 注注 （1 1）余項(xiàng)公式主要用于理論分析。實(shí)際使用時(shí)，代）余項(xiàng)公式主要用于理論分析。實(shí)際使用時(shí)，代 之以誤差估計(jì)式之以誤差估計(jì)式 11( )( )(1)!nnnMRxxn 4.2.2 4

40、.2.2 插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)與誤差估計(jì) 定理定理4.2 設(shè)設(shè)f(x)的的n+1階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 在在a,b存在，存在，則對(duì)任何則對(duì)任何 ，插值余項(xiàng)滿(mǎn)足，插值余項(xiàng)滿(mǎn)足(1)1( )( )( )( )( ), , (1)!nnnnfRxf xLxxxa bn ( )( , ).xa b 其其中中(1)( )nfx a,bx （2 2）插值節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)盡量靠近插值點(diǎn)，以使）插值節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)盡量靠近插值點(diǎn)，以使 盡可能小，以減小誤差。盡可能小，以減小誤差。 )(1xn(1)( )=(),( )0,knf xxknfx 若若那那么么 0( )( )0,nkkniiiRxxx l x 0( ),0,1

41、, .nkkiiix l xxkn 0( )1.niil x 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=1時(shí)時(shí)例例4.14.1：已知函數(shù)：已知函數(shù) x -1 0 1 y 1.25 0.75 1.25 2L ( )x求求3001122( )( )( )( )P xlx ylx ylx y 解解：1200102()()1( )(1)()()2xxxxlxx xxxxx 而而0211012()()( )(1)(1)()()xxxxlxxxxxxx 0122021()()1( )(1)()()2xxxxlxx xxxxx 2001122012( )() ( )() ( )() ( )1.25 ( )0.75 ( )1.

42、25 ( )L xf x lxf x lxf x lxlxlxlx 255(1)0.75(1)(1)(1)883142x xxxx xx 例例 4.2 給定函數(shù)表給定函數(shù)表試分別用線性插值和拋物插值求試分別用線性插值和拋物插值求ln 1.46的近似值并估計(jì)誤差。的近似值并估計(jì)誤差。 x1.21.31.41.51.61.7lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628解解作線性插值作線性插值 得得010110101)(xxxxyxxxxyxL 377868. 05 . 1ln4 . 15 . 14 . 146. 14 . 1ln5 . 14

43、 . 15 . 146. 146. 1ln 414 . 125 . 14 . 121012. 6)5 . 146. 1)(4 . 146. 1(! 251002. 05102. 01)(lnmax RxxMxx誤誤差差為為378402. 06 . 1ln)5 . 16 . 1)(4 . 16 . 1 ()5 . 146. 1)(4 . 146. 1 (5 . 1ln)6 . 15 . 1)(4 . 15 . 1 ()6 . 146. 1)(4 . 146. 1 (4 . 1ln)6 . 14 . 1)(5 . 14 . 1 ()6 . 146. 1)(5 . 146. 1 (46. 1ln 3

44、7843643.046.1ln 精精確確值值為為7289.02 )(lnmax4 .135,14 .13 xxxxM52101 . 4)6 . 146. 1)(5 . 146. 1)(4 . 146. 1(! 37289. 0 R誤誤差差為為 作拋物插值作拋物插值 6 . 15 . 14 . 1210 xxx取取)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL 4.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式問(wèn)題：利用插值基函數(shù)得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式有何優(yōu)問(wèn)題：利用插值基函數(shù)得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式

45、有何優(yōu)缺點(diǎn)？缺點(diǎn)？?jī)?yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)緊湊，便于理論分析，易于編程求解。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)緊湊，便于理論分析，易于編程求解。缺點(diǎn)：當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，缺點(diǎn)：當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化整個(gè)公式也將發(fā)生變化. .問(wèn)題：如何改進(jìn)？問(wèn)題：如何改進(jìn)？4.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3.1 4.3.1 均差的定義和性質(zhì)均差的定義和性質(zhì)定義定義：稱(chēng) 為函數(shù) 關(guān)于點(diǎn) 的一階均差一階均差. 100110()(),f xf xf xxxx )(xf01,xx120101220,f xxf xxf xxxxx 稱(chēng)為 關(guān)于點(diǎn) 的二階均差二階

46、均差.)(xf012,xxx 一般地，稱(chēng)11011010,nnnnnf xxxf xxxf xxxxx 為 的 階均差階均差n)(xf（均差也稱(chēng)為差商差商）.4.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3.1 4.3.1 均差的定義和性質(zhì)均差的定義和性質(zhì)利用如下均差表來(lái)計(jì)算均差：利用如下均差表來(lái)計(jì)算均差：0011012212012332312301234434234123401234()1st2nd3rd4th()(),(),(),(),kkxf xxf xxf xf xxxf xf x xf xx xxf xf xxf x xxf xx xxxf xf xxf xxxf

47、 x xxxf xx xxx 表21均差均差均差均差（）（）（）（）解解 根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表 給出給出 的如下函數(shù)表，的如下函數(shù)表，由此計(jì)算由此計(jì)算 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)0,2,4,80,2,4,8的三階均差的三階均差 . .( )f x( )f x例例9 9-39-39-3-310108 84 42 20 0kx)(kxf-2.875-2.875-18-18-39-394 40.9843750.9843755 512129 98 8-6.5-6.5-3-32 210100 0三階均差三階均差二階均差二階均差一階均差一階均差kx)(kxf0,2,4,8f均差的性質(zhì)：均差的

48、性質(zhì)：時(shí)恒為零。次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)為當(dāng)階均差函數(shù)次多項(xiàng)式，則其為若）（nkknnkxxxPknxPknn,)(210的任一排列），為排列順序無(wú)關(guān)，即有由此知，均差與節(jié)點(diǎn)的kiiixxxfxxxfxxxfxxxfkiiikkikjijjiikk10,(,)124()()(,) 1 (1010001010這性質(zhì)又稱(chēng)為均差關(guān)于自變量的對(duì)稱(chēng)性均差關(guān)于自變量的對(duì)稱(chēng)性。 根據(jù)均差定義，把根據(jù)均差定義，把 看成看成 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，x , a b000 ,( )()(),f x xf xf xxx010001011012212 , ,(), ,(),f xxxxf xxf x xxf x xf x xxxxfx

49、xxxx010101 , ,().nnnnf x xxf xxxf x xxxxx 可得可得4.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3.2 Newton4.3.2 Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到 0010( )(),()f xf xf xxxx01201,()()f xx xxxxx( )( ),nnNxRx0010( )(),()nNxf xf xxxx01201,()()f xxxxxxx其中其中 0101,()()nnf xxxxxxx 01 ,( )nnf x xxx 0101,()(),n

50、nf xxxxxxx 4.3.2 Newton Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式01( )( )( ) ,( ),nnnnRxf xNxf x xxx （*） 是同是同LagrangeLagrange余項(xiàng)定義的余項(xiàng)定義的. )(1xn 顯然，由確定的多項(xiàng)式顯然，由確定的多項(xiàng)式 滿(mǎn)足插值條件滿(mǎn)足插值條件，( )nNx且次數(shù)不超過(guò)且次數(shù)不超過(guò)n n 的多項(xiàng)式，其所給出形式的系數(shù)為的多項(xiàng)式，其所給出形式的系數(shù)為00 1,(, , ).kkaf xxkn稱(chēng)稱(chēng) 為為牛頓（牛頓（NewtonNewton）均差插值多項(xiàng)式）均差插值多項(xiàng)式. ( )nNx 系數(shù)系數(shù) 就是均差表就是均差表4-14-1中主

51、對(duì)角線上的各階均差，中主對(duì)角線上的各階均差，它比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì)它比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì).ka 4.3.2 Newton Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式例例4.3：已知：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.25386。計(jì)計(jì)算算試試?yán)糜?。?jì)計(jì)算算求求)596. 0()()2()596. 0(),()1(25fxNfxN0 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.11602 0.65 0.69615 1.1860 0.28003 0.80

52、 0.88811 1.2757 0.3583 0.1974 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.0345 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0 k xk yk 一階一階 二階二階 三階三階 四階四階 五階五階 )80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(034. 0)65. 0)(55. 0)(40. 0(197. 0)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(5 xxxxxxxxxxxN63192.0)596.0()596.0(5 Nf6320. 0)596

53、. 0()55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(22 NxxxxN解解: (1)(2)與與0.596最接近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)最接近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)65. 055. 040. 0210 xxx例例 4.4 給定表格函數(shù)給定表格函數(shù) x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36 （1）試用二次牛頓均差插值法求）試用二次牛頓均差插值法求 f (2.8) 的近似值；的近似值； （2）設(shè)）設(shè) f (x)=-1.166 已知，試用（已知，試用（1）中構(gòu)造的插值多項(xiàng)）中構(gòu)造的插值多項(xiàng) 式求式求 x 的近似值。的近似值。1728. 0)2 . 1()2

54、 . 0(8 . 09 . 0)48 . 2)(38 . 2)(28 . 2(1 , 4 , 3 , 2)8 . 2()8 . 2(3982. 1)38 . 2)(28 . 2(97. 1)28 . 2(135. 1175. 0)8 . 2(22 fNfN解解 (1) 選取節(jié)點(diǎn)選取節(jié)點(diǎn)x=2,3,4)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN k xkf (xk)一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差020.1751.135-1.97-0.9131.31-2.0805-1.0724-1.495-0.665310.5929. 342647. 1929. 3

55、0749.12985.1097. 1166. 1)3(297. 12135. 1175. 0)2(212 xxxxxxxx故故所所求求解解為為，舍舍去去），（超超出出區(qū)區(qū)間間，解解得得整整理理得得）（）（由由解 由于是由于是3 3次函數(shù)次函數(shù), ,所以取靠近所以取靠近0.450.45的的4 4個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生均差表個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生均差表. . 例4.5 根據(jù)給定數(shù)據(jù)根據(jù)給定數(shù)據(jù)( (見(jiàn)課本第見(jiàn)課本第6565頁(yè)的表頁(yè)的表) )，用，用3 3次牛頓插值次牛頓插值多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算 f(0.45)(0.45)的近似值的近似值, ,并估計(jì)近似誤差并估計(jì)近似誤差. . 4.3.2 Newton4.3.2 Newton

56、均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式 一階一階 二階二階 三階三階 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000()iixf x3(0.4( )0.5( 0.540900)(0.6)(0.000001.8871)785(0.2)6360Nxxxx 于是于是 4(0.45)(0.45)0.985114fN 按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入得按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入得為了估計(jì)誤差，增加一個(gè)靠近為了估計(jì)誤差，增加一個(gè)靠近0.450.45的插值點(diǎn)

57、的插值點(diǎn)0.00.0，在均差，在均差表后加一行（均差與節(jié)點(diǎn)排列無(wú)關(guān)）表后加一行（均差與節(jié)點(diǎn)排列無(wú)關(guān)）. . 一階一階 二階二階 三階三階 四階四階 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000 0.0 0.000000 0.734733 -4.251817 -0.722708 3.613540()iixf x因此，截?cái)嗾`差因此，截?cái)嗾`差 3044(0.45),(0.4596)0.0024.Rf xx 事實(shí)上，給定的函數(shù)是事實(shí)上

58、，給定的函數(shù)是 因此可計(jì)算實(shí)際誤差因此可計(jì)算實(shí)際誤差 3sin0.45(0.45)0.002574N 由此可見(jiàn)，誤差估計(jì)是相當(dāng)有效的。由此可見(jiàn)，誤差估計(jì)是相當(dāng)有效的。sinx 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.2 5.2 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分0002()( )( )()( )limlim()()limhhhf xhf xf xf xhfxhhf xhf xhh 微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然，而又簡(jiǎn)單的方法就是，自然，而又簡(jiǎn)單的方法就是，取極限的近似值，即差商取極限的近似值，即差商.5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)

59、公式000()()()f xhf xfxh 由由Taylor展開(kāi)展開(kāi)2000002()()()( ),!hf xhf xhfxfxxh因此，有誤差因此，有誤差0002()()( )()( )( )!f xhf xhR xfxfO hh 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式000()()()f xf xhfxh 由由Taylor展開(kāi)展開(kāi)2000002()()()( ),!hf xhf xhfxfxxh 因此，有誤差因此，有誤差0002()()( )()( )( )!f xf xhhR xfxfO hh 5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5

60、.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式0002()()()f xhf xhfxh 由由Taylor展開(kāi)展開(kāi)23000010102300002020()()()()(),2!3!()()()()(),2!3!hhf xhf xhfxfxfxxhhhf xhf xhfxfxfxhx 因此，有誤差因此，有誤差00022212()()( )()2 ()()( )()126f xhf xhR xfxhhhfffO h5.1 5.1 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分5.1.1 5.1.1 差商型求導(dǎo)公式差商型求導(dǎo)公式由誤差表達(dá)式，由誤差表達(dá)式，h h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，