定積分的應(yīng)用61799

1、第十章 定積分的應(yīng)用應(yīng)用一 平面圖形的面積1、積分的幾何意義我們講過，若且，則定積分表示由連線曲線y=f(x)，以及直線x=a,b和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)<0時(shí)，定積分表示的是負(fù)面積，即表示的是f在a,b上的正負(fù)面積代數(shù)和。例如。若計(jì)算sinx在0，上的面積，則變?yōu)椤?、f(x)，g(x)在a,b上所圍的面積由幾何意義得，該式當(dāng)f(x)和g(x)可判斷大小的情況下適合，但f(x)和g(x)無法判斷大小時(shí)，要修改為。如果f(x)和g(x)有在積分區(qū)域a,b內(nèi)交點(diǎn)，設(shè)為，且，則。所以此時(shí)求f(x)和g(x)在a,b上的面積，即為f(x)和g(x)所圍成的面積，要先求出交點(diǎn)，作為它們的

2、積分區(qū)域。 例1、求，所圍的面積S。 例2、求、在上所圍圖形的面積。例3、已知通過點(diǎn)(1,2)與有個(gè)交點(diǎn)，又a<0，求與所圍的面積S，又問a,b為何值時(shí)，S取最小值？例4、求拋物線與直線所圍成的圖形的面積。例5、有一個(gè)橢圓柱形的油灌，某長度為l，底面是長軸為a，短軸為b的橢圓，問油灌中油面高為h時(shí)，油量是多少？（已知油的密度為）3、參數(shù)方程形式下的面積公式若所給的曲線方程為參數(shù)形式： （），其中y(x)是連續(xù)函數(shù)，x(t)是連續(xù)可微函數(shù)，且且，那么由，x軸及直線xa，xb所圍圖形的面積S的公式為。（） 例1、求旋輪線：（a>0）一個(gè)拱與x軸所圍的圖形的面積。例2、求橢圓（a>

3、0，b>0）的面積S。4、極坐標(biāo)下的面積公式設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程是：，則由曲線，射線及所圍的扇形面積S等于。例1、求雙紐線所圍圖形面積S。例2、求由，所決定的外層曲線和內(nèi)層曲線之間的面積S。例3、求三葉形成曲線（a>0）所圍圖形面積。應(yīng)用二 曲線的弧長1、先建立曲線的長度（弧長）的概念 一條線段的長度可直接度量，但一條曲線段的“長度”一般卻不能直接度量，因此需用不同的方法來求。設(shè)平面曲線C由參數(shù)方程 （）給出，設(shè)是的一個(gè)劃分，即，它們?cè)谇€C上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，。從端點(diǎn)開始用線段一次連接這些分點(diǎn)，得到曲線的一條內(nèi)接折線，用來表示的長度，則內(nèi)接折線總長度為曲線C的弧長S定義為內(nèi)接折線的總長

4、在時(shí)的極限：如果S存在且為有限，則稱C為可求長曲線。2、弧長公式設(shè)曲線C： （），且，在上可微且導(dǎo)數(shù)，在上可積，曲線C在無自交點(diǎn)，則曲線C的弧長S為：注：其它形式的弧長公式（1）設(shè)在a,b上可微且導(dǎo)數(shù)可積，則曲線（axb）的弧長S為：（2）若曲線極坐標(biāo)方程，則當(dāng)在上可微，且可積時(shí)，（3）空間曲線 （），弧長S為其中x(t)，y(t)，z(t)在上可微，導(dǎo)數(shù)，在上可積且曲線C在 上無自交點(diǎn)。例1、求圓周，的弧長S。例2、求拋物線，的弧長S。例3、求橢圓（b>a>0）的弧長S。3、弧長的微分設(shè)C： （）是光滑曲線（，在連續(xù)且）；且無自交點(diǎn)。若把公式中的積分上限改為t，就得到曲線C，由端

5、點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的一段弧長。由上限函數(shù)的可微性知存在，4、平面曲線的曲率曲線的彎曲程度不僅與其切線方形的變化角度的大小有關(guān)，而且還與所考察的曲線的弧長有關(guān)，并且曲率與成正比，與成反比。即一般曲線的彎曲程度可用，其中：曲線段的平均變化率；：曲線段上切線方向的角度；：曲線段的弧長。例1、半徑為R的圓：。對(duì)于一般的曲線，如何刻畫它在一點(diǎn)處的彎曲程度呢？，稱為曲線在A點(diǎn)的曲率，即5、曲率的計(jì)算記二階可微，則在點(diǎn)x處的曲率為：因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗岳?、求在任一點(diǎn)的曲率。6、曲率圓和曲率半徑過點(diǎn)（x，y(x)）且與yy（x）在該點(diǎn)有相同的一階及二階導(dǎo)數(shù)的圓稱為曲率圓。曲率圓的中心和半徑分別稱為曲率中心和曲率半徑

6、。如何求曲線上一點(diǎn)（x，y(x)）處的曲率圓呢？因?yàn)椋瑒t（a,b）在過（x，y(x)）的法線上：。例1、求在點(diǎn)（0,0）的曲率圓方程？應(yīng)用三 旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積（一）一般體積公式：設(shè)一幾何體夾在xa和xb（a<b）這兩個(gè)平行平面之間，用垂直于X軸的平面去截此幾何體，設(shè)載面與X軸交點(diǎn)為（x，0），可得的截面面積為S（x），如果S(x)是a,b上的（R）可積函數(shù)，則該幾何體的體積V等于：。例1、求底面積為S，高為h的斜柱體的體積V。例2、求底面積為S，高為h的圓錐體的體積V。例3、求由橢球面所圍的幾何體體積。(a,b,c>0)（二）旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)yy(x)于a,b（R）可積，曲線yy

7、(x)，axb，繞x軸產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的截面積為S(x)，則例4、求拋物線，0x1分別繞x軸和y軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。（三）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)yy(x)于a,b上非負(fù)，且連續(xù)可微，該曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)后所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積：例5、求半徑為r的球面面積S。應(yīng)用四 物理方面（一）質(zhì)量有一根不均勻的細(xì)棒，常ba，密度為，求棒的質(zhì)量M，則M（二）質(zhì)心（重心）重心在計(jì)算不少實(shí)際問題中遇到，例如造船時(shí)就要考慮怎樣來設(shè)計(jì)才使船的重心低一些。從最簡單的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)說起。設(shè)質(zhì)點(diǎn)，的質(zhì)量分別為，想像它們?yōu)橐患?xì)桿所連接，這時(shí)若重心在點(diǎn)C，則C點(diǎn)用一物支起來，桿是平衡的。這不難理解。為計(jì)算重心，不妨把桿放在x軸上，設(shè)，和C點(diǎn)坐

8、標(biāo)依次為，在C點(diǎn)所用支起的力應(yīng)等于作用在，處的重力，的和。因此它們?yōu)樵c(diǎn)O的力矩之和應(yīng)為0，即0，所以如果不是兩個(gè)原點(diǎn)，而是有限多個(gè)，質(zhì)量分別為，橫坐標(biāo)分別為，則重心。如果原點(diǎn)不是放在X軸上，而是在平面上，并設(shè)坐標(biāo)為，原量分別為，則該重心為（），有以下公式：，下面將此概念加以推廣，來計(jì)算一般平面曲線（?。┑脑模涸O(shè)曲線方程為（），存在且（設(shè)原心為均勻分布，即密度為常數(shù)，這時(shí)重心由圓形的形狀完全決定，所以均勻物體的質(zhì)心也叫形心）。曲線的重心坐標(biāo)（）有近似公式：，記，則時(shí)，。具體地，如果曲線方程段為，（），在a,b連續(xù)，則此曲線段的質(zhì)心坐標(biāo)為，其中為曲線段的弧長。如果密度不是常數(shù)，而是x的連續(xù)函數(shù)，（）那么完全類似地可得曲線段質(zhì)心坐標(biāo)為：，其中，為曲線段的質(zhì)量。例：求以r為半徑的半圓弧的