導數(shù)的綜合應用

1、導數(shù)的綜合應用高考在考什么【考題回放】1（06江西卷）對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1) f ¢(x)³0，則必有（ C ）A f(0)f(2)<2f(1) B. f(0)f(2) £2f(1)C. f(0)f(2) ³2f(1) D. f(0)f(2) >2f(1)解：依題意，當x³1時，f ¢(x)³0，函數(shù)f(x)在（1，¥）上是增函數(shù)；當x<1時，f ¢(x)£0，f(x)在（¥，1）上是減函數(shù)，故f(x)當x1時取得最小值，即有f(0)³

2、;f(1)，f(2)³f(1)，故選C2（06全國II）過點（1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（A）2x+y+2=0（B）3x-y+3=0（C）x+y+1=0（D）x-y+1=0解：y¢=2x+1，設切點坐標為(x0,y0)，則切線的斜率為2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切線方程為y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因為點（1，0）在切線上，可解得x00或4，代入可驗正D正確。選D3.（06四川卷）曲線y=4x-x3在點(-1,-3)處的切線方程是D（A）y=7x+4 （B）y=7x+2 （C）y=x-4（D）y=x-2解：

3、曲線y=4x-x3，導數(shù)y¢=4-3x2，在點(-1,-3)處的切線的斜率為k=1，所以切線方程是y=x-2，選D.4.（06天津卷）函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數(shù)f ¢(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點（）A1個B2個C3個 D4個解析：函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數(shù)f ¢(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A.5.（浙江卷）f (x)=x3-3x2+2在區(qū)間-1,1上的最大值

4、是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：f ¢(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f ¢(x)=0可得x0或2（2舍去），當1£x<0時，f ¢(x)>0，當0<x£1時，f ¢(x)<0，所以當x0時，f(x)取得最大值為2。選C6.（湖南卷）曲線和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.解析：曲線和y=x2在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與x軸所圍成的三角形的面積是.7.（安徽卷）設函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx(xÎR)，

5、已知g(x)= f(x)- f ¢(x)是奇函數(shù)。（）求b、c的值。（）求g(x)的單調區(qū)間與極值?！緦＜医獯稹浚海ǎゝ(x)=x3+bx2+cx，f ¢(x)=3x2+2bx+c.從而g(x)= f(x)- f ¢(x)= x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一個奇函數(shù)，所以g(0)=0得c=0，由奇函數(shù)定義得b=3；（）由（）知g(x)=x3-6x，從而g ¢(x)=3x2-6，由此可知，和是函數(shù)g(x)是單調遞增區(qū)間；是函數(shù)g(x)是單調遞減區(qū)間；g(x)在時，取得極大值，極大值為，g(x)在時，取得

6、極小值，極小值為。高考要考什么【考點透視】從近幾年的高考命題分析，高考對到導數(shù)的考查可分為三個層次：第一層次是主要考查導數(shù)的概念和某些實際背景，求導公式和求導法則。第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式和函數(shù)的單調性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機的結合在一起，設計綜合試題?！緹狳c透析】導數(shù)綜合試題,主要有以下幾方面的內容:1. 函數(shù)，導數(shù)，不等式綜合在一起,解決單調性，參數(shù)的范圍等問題,這類問題涉及到含參數(shù)的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2. 函數(shù)，導數(shù)

7、，方程,不等式綜合在一起,解決極值，最值等問題, 這類問題涉及到求極值和極值點,求最值,有時需要借助于方程的理論解決問題; 3. 利用導數(shù)的幾何意義,求切線方程,解決與切線方程有關的問題; 4. 通過構造函數(shù),以導數(shù)為工具,證明不等式. 5. 導數(shù)與其他方面的知識的綜合高考將考什么【范例1】設函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的圖象關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)當x-1,1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明你的結論；(3)若x1,x2-1,1時，求證：|f(x1)-f(x2)|。解答(1) 函

8、數(shù)f(x)圖象關于原點對稱，對任意實數(shù)x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.f(x)=3ax2+c.x=1時,f(x)取極小值-.f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.(2)證明：當x-1,1時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立，假設圖象上存在兩點A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得過這兩點的切線互相垂直，則由f(x)=x2-1，知兩點處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1

9、. (*)x1、x2-1,1,x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，這與(*)相矛盾，故假設不成立.(3)證明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=±1.當x(-，-1)或（1，+）時，f(x)0;當 x(-1，1)時，f(x)0.f(x)在-1,1上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1時，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1時,|f(x1)-f(x2)|.【點晴】若x0點是y=f(x)的極值點，則f(x0)=0,反之不一定

10、成立；在討論存在性問題時常用反證法；利用導數(shù)得到y(tǒng)=f(x)在-1,1上遞減是解第(3)問的關鍵.【文】設函數(shù) （1）求函數(shù)的單調區(qū)間、極值.（2）若當時，恒有，試確定a的取值范圍.解答：（1）=令得列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-極小極大在（a，3a）上單調遞增，在（-，a）和（3a，+）上單調遞減時，時，（2）0<a<1，對稱軸，在a+1，a+2上單調遞減 ，依題，即解得，又0<a<1a的取值范圍是【范例2】已知(1)當時, 求證f(x)在(-1,1)內是減函數(shù);(2)若y= f(x)在(-1,1)內有且只有一個極值點, 求a的取值范圍

11、.解答：(1) , 又二次函數(shù)f ¢(x)的圖象開口向上,在內f ¢(x)<0, 故f(x)在內是減函數(shù).(2)設極值點為則f ¢(x0)=0當時, 在內f ¢(x)>0,在內f ¢(x)<0.即f(x)在內是增函數(shù),f(x)在內是減函數(shù).當時f(x)在內有且只有一個極值點,且是極大值點. 當時,同理可知,f(x)在內且只有一個極值點,且是極小值點.當時,由(1)知f(x)在內沒有極值點. 故所求a的取值范圍為【點晴】三次函數(shù)求導后為二次函數(shù)，考查導函數(shù)的性質，結合一元二次方程根的分布，考查代數(shù)推理能力、語言轉換能力和待定系數(shù)

12、法是近年高考的熱點題型。【文】已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b（a、bÎR）。（）若f(x)的圖像在-2£x£2部分在x軸的上方，且在點(2,f(2)處的切線與直線9x-y+5=0平行，求b的取值范圍；（）當x1、，且x1¹x2時，不等式| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2|恒成立，求a的取值范圍。解答：（）。依題意，有，所以。因為的圖像在部分在軸上方，所以在區(qū)間上的最小值大于零。令，于是由，知：在區(qū)間上的最小值為，故有；（）（），即當時，即恒成立，由此得。【范例3】設函數(shù)f(x)與數(shù)列an滿足下列關系：a1a，其中a是方程f(x)=x的實

13、數(shù)根；an+1=f(an) (nÎN*)；f(x)的導函數(shù)f(x)（0，1）；證明：ana；(nÎN*)；判斷an與an+1的大小，并證明你的結論。解答：（1）證明：用數(shù)學歸納法n=1時，a1a成立假設n=k時，aka成立， 則n=k+1時，由于f(x)>0，f(x)在定義域內遞增，即n=k+1時，命題成立由知，對任意，均（2）解：令，則，遞減， 時，即，猜測，下證之n=1時，成立假設n=k時，成立則n=k+1時，由于遞增，即n=k+1時，命題成立 由知，對任意，均【點晴】由導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再由單調性來證明不等式、數(shù)列有關的綜合問題必將會成為今后高考的重點內容，

14、在復習中要足夠地重視?！疚摹恳阎矫嫦蛄?(,-1).=(,).(1)證明；(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，試求函數(shù)關系式k=f(t)；(3)據(jù)(2)的結論，討論關于t的方程f(t)-k=0的解的情況.解答：(1)=×+(-1)×=0.(2)，=0即+(t2-3) ·(-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + t(t2-3)·=0=0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(3)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t2-3)與直線y=k的交點個

15、數(shù).于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當t=-1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=-.函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當k或k-時,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)當k=或k=-時,方程f(t)-k=0有兩解；(3) 當-k時,方程f(t)-k=0有三解.【點晴】導數(shù)的應用為作函數(shù)的草圖提供了新途徑，方程根的個

16、數(shù)與極值的正負有關?！痉独?】已知雙曲線與點M（1，1）.（1）求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切；（2）設（1）中的兩切點分別為A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切點坐標。解答：（1）證明：設，要證命題成立只需要證明關于t的方程有兩個符號相反的實根。，且t0，t1。設方程的兩根分別為t1與t2，則由t1t2=m<0，知t1，t2是符號相反的實數(shù)，且t1，t2均不等于0與1，命題獲證。（2）設，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而，即線段AB的中點在直線上。又，AB與直線垂直。故A與B關于對稱， 設，則有t2-2mt+m=0 由及夾角公式知，即由得從而由知，

17、代入知因此，?！军c晴】本題的關鍵在于實現(xiàn)了導數(shù)的幾何意義和曲線切線的斜率和諧的溝通。應深切領會導數(shù)的幾何意義在解析幾何綜合問題中的特殊作用【文】設拋物線y=x2與直線y=x+a（a是常數(shù)）有兩個不同的交點，記拋物線在兩交點處切線分別為l1，l2，求值a變化時l1與l2交點的軌跡。解答：將y=x+a代入y=x2整數(shù)得x2xa=0,為使直線與拋物線有兩個不同的交點，必須= (1)24a0，所以a設此兩交點為(，2)，(, 2)，由y=x2知y=2x，則切線l1，l2的方程為y=2x2，y=2x2.兩切線交點為(x，y) 則 因為，是的解，由韋達定理可知=1，=a由此及可得x=，y=a從而，所求的軌

18、跡為直線x=上的y的部分【自我提升】1設曲線y和曲線y在它們交點處的兩切線的夾角為，則tan（C ）A1BCD2函數(shù)y= f(x)的圖象關于直線x=1對稱，則導函數(shù)y= f¢(x)的圖象(C) A. 關于直線x=1對稱B. 關于直線x=-1對稱 C. 關于點（1，0）對稱D. 關于點（1，0）對稱3函數(shù)y= f(x)在定義域內可導，其圖象如圖所示記y= f(x)的導函數(shù)為y= f¢(x)，則不等式f¢(x)0的解集為（ A ）yxO12-13 ABCD4如果函數(shù)f(x) = ax3x2 + x5在(¥, + ¥)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

19、 (D)A(0，+ ¥)BC (，+ ¥)D5設f (x) = x3+bx2 + cx + d，又k是一個常數(shù). 已知當k < 0或k > 4時，f (x) k = 0只有一個實根；當0 < k < 4時，f (x) k = 0有三個相異實根, 現(xiàn)給出下列命題：(1) f (x) 4 = 0和f¢(x) = 0有一個相同的實根；(2)f (x) = 0和f¢(x) = 0有一個相同的實根；(3) f (x)+3 = 0的實根大于f (x) 1 = 0的任一實根；(4) f (x) + 4 = 0的實根小于f (x) 2 = 0的任一實根.；其中，錯誤命題的個數(shù)是（ D ）A4 B3 C2 D16設f (x)，g (x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f¢(x)g (x)+ f (x) g¢(x)>0且則不等式f (x) g (x)<0的解集是=_7（文）如果f(x)=x2+1，g(x)=ff(x),設F(x)=g(x)-lf(x)，問是否存在適當?shù)膌，使F(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)