實(shí)數(shù)例題及習(xí)題競(jìng)賽

1、經(jīng)典例題類型一有關(guān)概念的識(shí)別 1下面幾個(gè)數(shù)：0.23 ，1.010010001，3，其中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解析：本題主要考察對(duì)無(wú)理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，1.010010001，3，是無(wú)理數(shù)故選C舉一反三：【變式1】下列說(shuō)法中正確的是（ ）A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反數(shù)【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，=9，9的平方根是±3，A正確1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不正確【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓

2、心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（ ）A、1 B、1.4 C、 D、【答案】本題考察了數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線為，由圓的定義知|AO|=，A表示數(shù)為，故選C【變式3】 【答案】= 3.1415，9310因此3-90，3-100 類型二計(jì)算類型題2設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因?yàn)?，所以選B舉一反三：【變式1】1）1.25的算術(shù)平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 【變式2】求下列各式中的（1） （2）（3）【答案】（

3、1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4類型三數(shù)形結(jié)合 3. 點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點(diǎn)的距離為_解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點(diǎn)，舉一反三：【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（ ）A1 B1 C2 D2【答案】選C變式2 已知實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示： 化簡(jiǎn) 【答案】：類型四實(shí)數(shù)絕對(duì)值的應(yīng)用4化簡(jiǎn)下列各式：(1) |-1.4|(2) |-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3| (x3)(5) |x2+6x+10|分析：要正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，就要弄清絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然

4、后根據(jù)絕對(duì)值的定義正確去掉絕對(duì)值。解：(1) =1.4141.4 |-1.4|=1.4-(2) =3.141593.142 |-3.142|=3.142-(3) , |-|=-(4) x3, x-30, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3| = 說(shuō)明：這里對(duì)|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對(duì)這個(gè)絕對(duì)值的基本概念要有清楚的認(rèn)識(shí)，并能靈活運(yùn)用。(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)20, (x+3)2+10|x2+6x+10|= x2+6x+10舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：【答案】=+-=類型五實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用5已知：=0，求

5、實(shí)數(shù)a, b的值。分析：已知等式左邊分母不能為0，只能有0，則要求a+70，分子+|a2-49|=0，由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組 從而求出a, b的值。解：由題意得 由(2)得 a2=49 a=±7由(3)得 a>-7，a=-7不合題意舍去。只取a=7把a(bǔ)=7代入(1)得b=3a=21a=7, b=21為所求。舉一反三：【變式1】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：(x-6)2+|y+2z|=0且(x-6)20, 0, |y+2z|0,幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個(gè)加數(shù)都為0。 解這個(gè)方程組得 (x-y)3

6、-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【變式2】已知那么a+b-c的值為_【答案】初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)： ，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2類型六實(shí)數(shù)應(yīng)用題 6有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，問(wèn)邊長(zhǎng)應(yīng)為多少cm。解：設(shè)新正方形邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得 x2=112+13×8x2=225x=±15邊長(zhǎng)為正，x=-15不合題意舍去，只取x=15(cm)答：新的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)取15cm。舉一反三：【變式1】拼一拼，畫一畫： 請(qǐng)你用4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形拼成一個(gè)大正方形，并且正中間

7、留下的空白區(qū)域恰好是一個(gè)小正方形。（4個(gè)長(zhǎng)方形拼圖時(shí)不重疊） （1）計(jì)算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？ （2）當(dāng)拼成的這個(gè)大正方形邊長(zhǎng)比中間小正方形邊長(zhǎng)多3cm時(shí)，大正方形的面積就比小正方形的面積 多24cm2，求中間小正方形的邊長(zhǎng).解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長(zhǎng)是： ，所以面積為= 大正方形的面積=， 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積=。 所以， 答：中間的小正方形的面積，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或） (2) 大正方形的邊長(zhǎng)：，小正方形的邊長(zhǎng)： ，即 ， 又 大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2 所以有， 化簡(jiǎn)得： 將代入，得： cm 答：中間小正方形的邊長(zhǎng)2.5 cm。類型七易錯(cuò)題 7判

8、斷下列說(shuō)法是否正確（1）的算術(shù)平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）當(dāng)x=0或2時(shí)，（4）是分?jǐn)?shù)解析：（1）錯(cuò)在對(duì)算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).故 （2）表示225的算術(shù)平方根，即=15.實(shí)際上，本題是求15的平方根， 故的平方根是.（3）注意到，當(dāng)x=0時(shí)， =，顯然此式無(wú)意義， 發(fā)生錯(cuò)誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒有平方根”，故x0，所以當(dāng)x=2時(shí)，x=0.（4）錯(cuò)在對(duì)實(shí)數(shù)的概念理解不清. 形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無(wú)理數(shù).類型八引申提高 8（1）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2-b2的值.（2）把下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：（1）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分

9、與小數(shù)部分，首先判斷這個(gè)算術(shù)平方根在哪兩個(gè)整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分解：由 得的整數(shù)部分a=5, 的小數(shù)部分， （2）解：(1) 設(shè)x= 則 -得 9x=6 . (2) 設(shè) 則 -，得 99x=23 . (3) 設(shè) 則 -，得 999x=107， .學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)：A組（基礎(chǔ)）一、細(xì)心選一選1下列各式中正確的是（ ）A B. C. D. 2. 的平方根是( )A4 B. C. 2 D. 3. 下列說(shuō)法中 無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù) 無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù) -2是4的平方根 帶根號(hào)的數(shù)都是 無(wú)理數(shù)。其中正確的說(shuō)法有（ ）A3個(gè) B. 2個(gè) C. 1

10、個(gè) D. 0個(gè)4和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的是（ ）A整數(shù) B.有理數(shù) C. 無(wú)理數(shù) D. 實(shí)數(shù)5對(duì)于來(lái)說(shuō)（ ）A有平方根 B只有算術(shù)平方根 C. 沒有平方根 D. 不能確定6在（兩個(gè)“1”之間依次多1個(gè)“0”）中，無(wú)理數(shù) 的個(gè)數(shù)有（ ）A3個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)7面積為11的正方形邊長(zhǎng)為x，則x的范圍是（ ）A B. C. D. 8下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）A-2與 B.-與 C. 與 D. 與9-8的立方根與4的平方根之和是（ ）A0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或410已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a ，則該自然數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（ ）A B. C. D

11、. 二、耐心填一填11的相反數(shù)是_，絕對(duì)值等于的數(shù)是_，=_。12的算術(shù)平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算術(shù)平方根等于它本身。14已知x的算術(shù)平方根是8，那么x的立方根是_。15填入兩個(gè)和為6的無(wú)理數(shù)，使等式成立： _+_=6。16大于，小于的整數(shù)有_個(gè)。17若2a-5與互為相反數(shù)，則a=_，b=_。18若a=6，=3，且ab0，則a-b=_。19數(shù)軸上點(diǎn)A，點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)則A、B兩點(diǎn)間的距離為_。20一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是a+2和a-4，則a=_，x=_。三、認(rèn)真解一解21計(jì)算 + ×+× 4× 9 + 2×

12、;（） （結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）22在數(shù)軸上表示下列各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把這些數(shù)和它們 的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用“”號(hào)連接：參考答案：一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二：11、，-3 12、3， 13、0；0，；0，114、 15、答案不唯一 如： 16、517、 18、-15 19、2 20、1，9三：21、 -17 -9 2 -36 37.922、 B組（提高）一、選擇題： 1的算術(shù)平方根是 （ ）A0.14 B0.014 C D2的平方根是 （ ）A6 B36 C±6 D±3下列計(jì)算或判斷：±3

13、都是27的立方根；的立方根是2；， 其中正確的個(gè)數(shù)有 （ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)4在下列各式中，正確的是 （ ）A; B; C; D5下列說(shuō)法正確的是 （ ）A有理數(shù)只是有限小數(shù) B無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù) C無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù) D是分?jǐn)?shù)6下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 （ ）A B C2的平方根是 D7若，且，則的值為 （ ）A B C D8下列結(jié)論中正確的是 （ ）A數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的有理數(shù); B數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的無(wú)理數(shù);C. 兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和一定是無(wú)理數(shù); D. 數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間還有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)9-27 的立方根與的平方根之和是 （ ）A0 B6 C0或-6 D-12或6 10下列計(jì)算結(jié)果正確的是 （ ）A B C D二填空題: 11下列各數(shù)：3.141、0.33333、0.3030003000003（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加2）、0中,其中是有理數(shù)的有_；無(wú)理數(shù)的有_.（填序號(hào)）12的平方根是_；0.216的立方根是_.13算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是_；立方根等于它本身的數(shù)是_.14. 的相反數(shù)是_；絕對(duì)值等于的數(shù)是_15一個(gè)正方體的體積變?yōu)樵瓉?lái)的27倍，則它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的_倍.三、解答題： 16計(jì)算或化簡(jiǎn)：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17已知 ，且x是正數(shù)，求代數(shù)式的值。18觀察右圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，圖中陰影部分