排列組合問題的常見模型詳解

1、排列組合問題的常見模型一、相異元素不許重復(fù)的排列組合問題這類問題有兩個條件限制，一是給出的元素是不同的，即不允許有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允許重復(fù)使用元素。這類問題有如下一些常見的模型。模型：從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規(guī)定某個元素都包含在內(nèi)，則：組合數(shù)：排列數(shù)：例全組有個同學，其中有個女同學，現(xiàn)要選出個，如果個女同學都必須當選，試問在下列情形中，各有多種不同的選法？（）組成一個文娛小組；（）分別擔任不同的工作解：（）由于要選出的人中，個女同學都必須當選，因此還需要選人這可從個男同學中選出，故不同的選法有：（）在上述組合的基礎(chǔ)上，因為還需要考慮選出人的順序

2、關(guān)系，故不同的選法有：模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規(guī)定某個元素都不包含在內(nèi)，則：組合數(shù)：排列數(shù)：例某青年突擊隊有名成員，其中有名女隊員，現(xiàn)在選出人，如果名女隊員都不當選，試問下列情形中，各有多少種不同的選法？ (1)組成一個搶修小組；（）分別但任不同的搶修工作解：（）由于名女隊員都不當選，因此只能從名男同學選出，故不同的選法有：（種）（）由于還需考慮選出的個人的順序問題，故不同的選法有：（種）模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規(guī)定每一個排列或組合，都只包含某個元素中的某個元素。則組合數(shù)：排列數(shù)：例3全組個同學，其中有個女同學，現(xiàn)要選出人，如果個女同學中

3、，只有甲當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數(shù)學小組；（）分別擔任不同的工作解：（）由于女同學中只有甲當選，所以還需人，這人要從男同學中選，因此不同選法有：（）由于選出的人要分別擔任不同的工作，所以不同的選法有：模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規(guī)定每一個排列或組合，都只包含某個元素中的個元素。則：組合數(shù)：排列數(shù)：例全組個同學，其中有個女同學，現(xiàn)要選出人，如果個女同學中，只有人當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數(shù)學小組；（）分別擔任不同的工作解：（）由于女同學中只有人當選，所以從個女同學中選人，從個男同學中選人，不同的選法有：（）

4、由于選出的人要分別擔任不同的工作，所以不同的選法有：模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規(guī)定每一個排列或組合，都至少包含某個元素中的個元素則：組合數(shù)：排列數(shù)：例全組個同學，其中有個女同學，現(xiàn)要選出人，如果個女同學中至少有人當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數(shù)學小組；（）分別擔任不同的工作解：，模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規(guī)定每一個排列或組合，都至多包含某個元素中的個元素則：組合數(shù)：排列數(shù)：例全組個同學，其中有個女同學，現(xiàn)要選出人，如果個女同學中至多有人當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數(shù)學小組；（）分別擔任

5、不同的工作解：，模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列，規(guī)定某個元素都包含在內(nèi)，并且分別占據(jù)指定的位置則例用1;2;3;4;5這五個數(shù)字，能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù)？解：能被25整除的數(shù)的末兩位能被25整除，又1;2;3;4;5四個數(shù)字中沒有要求四位數(shù)能被25整除，最后兩位只能是25能組在被25整除的四位數(shù)只要選取前兩位數(shù)就可以，所以有（個）模型8從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列，規(guī)定某個元素不能占據(jù)某個位置則例用0;1;2;3;4;5這六個數(shù)字，能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？解：不能排在首位，能組成四位數(shù)有（個）模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排

6、列，規(guī)定某個位置的元素只能從某個元中選取則例9用1;2;3;4;5這五個數(shù)字，能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解：個位只能排2或5，能組成四位偶數(shù)有（個）模型10從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列，規(guī)定某個位置的元素只能從某個元中選取，而其余位置的元素只能從其余元素中選取則例10用這九個數(shù)字，能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字并且奇數(shù)位（從右邊起）是奇數(shù)，偶數(shù)位是偶數(shù)的五位數(shù)？解：奇數(shù)位的個位，百位和萬位只能從1;3;5;9這四個數(shù)中選取，偶數(shù)位的十位和千位只能從2;4;6;8這四個數(shù)中選取，能組成五位數(shù)共有模型11把個不同的元素作全排列，規(guī)定某個元素連排在一起，則例11用1;2;3;4;5這

7、五個數(shù)字，能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字并且兩個偶數(shù)字連在一起的五位數(shù)？解：先把兩個偶數(shù)字看成一個整體，作為一個數(shù)字來參加排列，然后再考慮這兩個數(shù)字的前后順序關(guān)系，因此能組面符合條件的五位數(shù)有模型12把個不同的元素作全排列，規(guī)定某個元素中的任意兩個元素都不連排在一起，（）則例12用1;2;3;4;5;6這六個數(shù)字，能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字并且任意兩個奇數(shù)字都不連在一起的六位數(shù)？解：先排好三個偶數(shù)字，然后在三個偶數(shù)字之間的四個空位中，任選三個來排奇數(shù)字，因此能組成合條件的六位數(shù)有 例13某天的課表要排入語文、數(shù)學、英語、物理、化學、體育六門課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，一共有多少不同的排法

8、？ 解法（一）把六門課看成元素，把課表節(jié)次看成位置，元素找位置 由于數(shù)學體育這兩個元素有附加條件，為此優(yōu)先加以考慮，若以數(shù)學課排法進行分類；則 數(shù)學排在第一節(jié)，；數(shù)學排在第二節(jié)，；數(shù)學排在第三節(jié)， 數(shù)學排在第四節(jié)，；數(shù)學排在第五節(jié)， 根據(jù)加法原理，共有不同排法 解法（二）用位置分析法，先安排有約束條件的位置，位置選元素 若以第一節(jié)排法進行分類： 第一節(jié)排數(shù)學，；第一節(jié)排語文；第一節(jié)排英語， 第一節(jié)排物理，；第一節(jié)排化學， 根據(jù)加法原理，共有不同排法 解法（三）考慮用間接法不考慮任何限制條件，共有種不同的排法，但其中所括（）數(shù)學排在最后一節(jié)的排法種；（）體育排在第一節(jié)的排法種；這兩種情況下，都包

9、含了數(shù)學排在最后一節(jié)，體育排在第一節(jié)的情況，這種情況共有種不同的排法因此，不同的排法共有 說明(1)有約束條件的排列問題,應(yīng)先排好有約束條件的元素或位置,然后再排沒有約條件的元素或位置.也可用間接法解,先排不考慮約束條件,求出所有的排列種數(shù),然后減去不合題目要求的排列種數(shù). (2)本的一般模型是:把個不同的小球入入個有編號的盒中,每盒一個,但其中的甲球不能放入A盒,乙球不能放入B盒,共有不同的放法種. 例14A、五人站成一排，（）如果、兩人要站在兩端，有多少種站法？（）如果、兩人不站在兩端，有多少種站法？（）如果、兩人相鄰，有多少種站法？（）如果、兩人不相鄰，有多少種站法？（）如果在的左邊（可以不相鄰），有多少種站法？ 解（）因為、排在兩端的的不同方法有種方法，第二步排中間三人共有種不同的排法，所以根據(jù)乘法原理不同的排法共有種不同的排法（）第一步由C、D、E三人中任選兩人排在兩端的不同排法有種不同的排法，第二步由余下的三人排中間位置共有不同的排法種。所以符合要求的不同排法總數(shù)為種（3）把A、B視為一個整體（AB），則（AB），C，C，D，E的全排列數(shù)是種，再排AB則有種方法因此符合要求的排法共有種（）、B兩人不相鄰，有兩種思考：用間接法，=72種先排好C、D、E，然后現(xiàn)讓A、B站到C、D、E