平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

1、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用一、目標(biāo)與策略 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：l 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；l 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；l 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；l 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；l 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；l 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題重點(diǎn)難點(diǎn)：l 重點(diǎn)：數(shù)量積的運(yùn)算，以及運(yùn)用數(shù)量積求模與夾角l 難點(diǎn)：用向量的方法解決幾何、物理等問(wèn)題學(xué)習(xí)策略：l 學(xué)習(xí)本專題內(nèi)容，需要復(fù)習(xí)平面向量基本定理、平面向量

2、的坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；學(xué)習(xí)中注意向量的數(shù)量積、向量的數(shù)乘和實(shí)數(shù)的乘法這三種運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系；平面向量的應(yīng)用是向量的核心內(nèi)容，向量的平行和垂直是向量間最基本最重要的位置關(guān)系，在平面幾何、解析幾何、物理等方面有著重要的應(yīng)用特別對(duì)不同的解題方法進(jìn)行比較，從中體會(huì)向量方法的優(yōu)越性所在二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”?？茖W(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽(tīng)講更有目的性和針對(duì)性。我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)真聽(tīng)講，做到眼睛看、耳朵聽(tīng)、心里想、手上記。知識(shí)回顧復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，看看你的知識(shí)貯備過(guò)關(guān)了嗎？（一）平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè) 的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量， 一對(duì) ，使 ，稱 為的

3、線性組合 （1）其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的 ；（2）平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的 ，并且這種分解是 的這說(shuō)明如果且，那么 （3）當(dāng)基底是兩個(gè)互相 的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)（二）向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為 坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=( ， )（三）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn) 算坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=( ， )，=( ， )實(shí)數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=( ， )（四）平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2

4、，y2)，即，或 =0知識(shí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)認(rèn)真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識(shí)要點(diǎn)內(nèi)容補(bǔ)充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽(tīng)課學(xué)習(xí)。若有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處。詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源ID：#tbjx5#255204知識(shí)點(diǎn)一： 平面向量的數(shù)量積（一）平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量 叫與的數(shù)量積，記作，即有= 并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為 （二）一向量在另一向量方向上的投影： 叫做向量在方向上的投影要點(diǎn)詮釋：（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè) ，不是向量，符號(hào)由 的符號(hào)所決定兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為 積，寫成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外

5、積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出因?yàn)槠渲杏锌赡転?（2）投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為 值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為 值；當(dāng)為直角時(shí)投影為 ；當(dāng)=0°時(shí)投影為 ；當(dāng)=180°時(shí)投影為 知識(shí)點(diǎn)二：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量（1）= = （2） （3）當(dāng)與同向時(shí)， ；當(dāng)與反向時(shí)， 特別的 或 （4）（5）知識(shí)點(diǎn)三：向量數(shù)量積的運(yùn)算律（一）交換律：（二）數(shù)乘結(jié)合律：（三）分配律： 要點(diǎn)詮釋：（1）已

6、知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c但是；（2）在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c=a(b×c)，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線知識(shí)點(diǎn)四：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（一）已知兩個(gè)非零向量，（二）設(shè)，則或（三）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處。更多精彩請(qǐng)參看網(wǎng)校資源ID：#jdlt0#255204類型一：數(shù)量積的運(yùn)算例1已知下列命題：； ；其中正確命題序號(hào)是 思路點(diǎn)撥：掌

7、握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律解析：例2已知，若（1）； （2） ；（3） 的夾角為30°，分別求解析：舉一反三：【變式1】已知，求解析：總結(jié)升華：類型二：模的問(wèn)題例3已知向量滿足，且的夾角為60°，求解析： 總結(jié)升華：舉一反三：【變式1】已知的夾角為°， ，則 等于（ ）A5 B4 C3 D1解析：總結(jié)升華：類型三：夾角問(wèn)題例4（1）已知，求向量與向量的夾角（2）已知，夾角為，則 解析：總結(jié)升華：例5已知是非零向量，若與垂直，與垂直，試求的夾角解析：舉一反三：【變式1】已知是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足，求的夾角解析：總結(jié)升華：【變式2】

8、求等腰直角三角形兩直角邊上的中線所成的鈍角解析：類型四：綜合應(yīng)用問(wèn)題例6已知向量（1）若 ；（2）求的最大值 解析：例7設(shè)AC是平行四邊形ABCD的長(zhǎng)對(duì)角線，從C引AB、AD的垂線CE、CF，垂足分別為E、F，如圖所示，求證：思路點(diǎn)撥：由向量的數(shù)量積的定義可知：兩向量、的數(shù)量積（其中是、的夾角），它可以看成與在的方向上的投影之積，因此要證明等式可轉(zhuǎn)化成：，而對(duì)該等式我們采用向量方法不難得證解析： 舉一反三：【變式1】如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)，PFCE是矩形，證明：思路點(diǎn)撥：如果我們能用坐標(biāo)表示與，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證即可因此只要建立適當(dāng)

9、的坐標(biāo)系，得到點(diǎn)A、B、E、F的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證解析： 三、總結(jié)與測(cè)評(píng)要想學(xué)習(xí)成績(jī)好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，提高學(xué)習(xí)能力?？偨Y(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué)認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧。相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源ID：#tbjx10#255204。（一）向量在幾何中的應(yīng)用：（1）證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問(wèn)題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問(wèn)題，利用（4）求線段的長(zhǎng)度，可以利用或（二）向量在物理中的應(yīng)用：（1）向量的加法與減法在力的分解與合成中的應(yīng)用；（2）向量在速度

10、分解與合成中的作用知識(shí)點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積、平面向量的應(yīng)用測(cè)評(píng)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)： 模擬考試系統(tǒng)分?jǐn)?shù)： 如果你的分?jǐn)?shù)在80分以下，請(qǐng)進(jìn)入網(wǎng)校資源ID：#cgcp0#255204做基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)部分的練習(xí)，如果你的分?jǐn)?shù)在80分以上，你可以進(jìn)行能力提升題目的測(cè)試。自我反饋學(xué)完本節(jié)知識(shí)，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習(xí)題，將其中的好題及錯(cuò)題分類整理。如有問(wèn)題，請(qǐng)到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學(xué)”交流。我的收獲習(xí)題整理題目或題目出處所屬類型或知識(shí)點(diǎn)分析及注意問(wèn)題好題錯(cuò)題注：本表格為建議樣式，請(qǐng)同學(xué)們單獨(dú)建立錯(cuò)題本，或者使用四中網(wǎng)校錯(cuò)題本進(jìn)行記錄。知識(shí)導(dǎo)學(xué)：平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用（ID：#255204）視聽(tīng)課堂：平面向量的數(shù)量積（一）（ID：#14479）、平面向量的數(shù)量積（二）（ID：#14480）若想知道北京四中的同學(xué)們?cè)趯W(xué)什么，請(qǐng)去“四中同步”看看吧！和四中的學(xué)生同步學(xué)習(xí)，同步提高！更多資源，請(qǐng)使用網(wǎng)校的學(xué)習(xí)引領(lǐng)或搜