例談冪級數(shù)的應(yīng)用

1、例談冪級數(shù)的應(yīng)用 DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘 要冪級數(shù)是一類形式簡單卻應(yīng)用廣泛的函數(shù)項級數(shù), 由于其本身具有很多便于 運(yùn)算的性質(zhì), 因此是一個解決函數(shù)方面諸多問題的利器。 利用冪級數(shù)的分析性質(zhì), 通常可以使形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 使復(fù)雜問題得以化簡。 本文通過歸納和舉例, 從冪級 數(shù)的定義出發(fā), 對冪級數(shù)的重要性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)性證明, 舉例分析冪級數(shù)在各種計 算中的應(yīng)用,包括利用冪級數(shù)求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分、求解微分方程、證明不 等式, 結(jié)合實例闡述冪級數(shù)在應(yīng)用中的方法與技巧。 本文還舉例介紹了如何應(yīng)用 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的雙邊冪級

2、數(shù)求解復(fù)積分和某些實積分。 進(jìn)一步地, 本文對于代數(shù)學(xué) 中的形式冪級數(shù)進(jìn)行了初步說明。關(guān)鍵詞 :冪級數(shù); 函數(shù); 應(yīng)用ABSTRACTPower series is a kind of series of functions with simple form and extensive application, which can be used to solve many problems powerfully in terms of the function because of its calculated properties. By the analysis properties o

3、f power series, many problems usually can be transformed their form such that the complex problem can be simplified. With the beginning of the definition of power series , this paper summarizes the proofs of important properties of power series. Furthermore, all sorts of computing applications with

4、power series are illustrated, including calculating limit, seeking derivative, computing integration, solving differential equations, and inequalities proving, which are elaborated with examples of power series methods and techniques in the application. This paper also describes an example of how to

5、 compute complex integration and some real integration by means of bilateral power series within the scope of complex. At last, a preliminary description of formal power series is given in algebra.Key word:Power Series; function; application目 錄1 前言 . 1 1.1 背景和意義 . 11.2 本文研究的主要內(nèi)容 . 22 冪級數(shù)相關(guān)的基本知識 . 3

6、2.1 冪級數(shù)的定義 . 3 2.2 冪級數(shù)相關(guān)定理及推論 . 32.3 留數(shù)的基礎(chǔ)知識 . 103 冪級數(shù)在近似計算與級數(shù)求和中的應(yīng)用 . 13 3.1 計算常數(shù) e 的問題 . . 133.2 冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應(yīng)用 . 144 冪級數(shù)在求極限、求導(dǎo)、積分運(yùn)算中的應(yīng)用 . 16 4.1 冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用 . 16 4.2 冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用 . 174.3 冪級數(shù)在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 . 175 冪級數(shù)在求解微分方程中的應(yīng)用 . 20 5.1 求解常微分方程 . 20 5.2 求解偏微分方程 . 20 5.3 實際問題中的微分方程的解 . 216 冪級數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用 .

7、247 代數(shù)學(xué)中的形式冪級數(shù) . 25 7.1 斜冪指數(shù)詣 Armendariz 環(huán) . 25 7.2 多項式環(huán) . 26結(jié)論 . 28參考文獻(xiàn) . 29致謝 . 301 前言1.1 背景和意義說到冪級數(shù)的來歷, 肯定要提到最基礎(chǔ)的級數(shù)的來源。 亞里士多德早在公元 前 4世紀(jì)就知道公比小于 1的幾何級數(shù)有和, 而級數(shù)的發(fā)展可以追溯到幾千年前 的中國,在當(dāng)時生產(chǎn)力不發(fā)達(dá)的南北朝時代,偉大的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,科學(xué)家 祖沖之就發(fā)現(xiàn)了圓周率的計算方法, 并且運(yùn)用計算圓面積中, 在這其中與魏晉時 期數(shù)學(xué)家劉徽在求解圓面積中應(yīng)用到的割圓法異曲同工, 這種算法已經(jīng)形成了級 數(shù)的初步思想和方法。 與此同時的外

8、國學(xué)者也紛紛對級數(shù)有了初步的認(rèn)知, 古希臘哲學(xué)家芝諾,在對二分法的研究上把 1表達(dá)成為了 23411112222+的這種無窮級數(shù)的形式, 而中國偉大的思想家、 哲學(xué)家、 文學(xué)家莊子提出了 “ 一尺之錘, 日取其半,萬世不竭 ” 的辯證理論,這其中也隱約包含著極限的思想,與芝諾的 理論如出一轍。隨著時間的發(fā)展,級數(shù)也在發(fā)展和進(jìn)步。到了 14世紀(jì),印度的 馬德哈瓦首先發(fā)展了冪級數(shù)的概念, 把芝諾提出的理論進(jìn)一步展開, 完善了無窮 級數(shù)的概念,并且研究了無窮級數(shù)、泰勒級數(shù),麥克勞林級數(shù)的有理逼近,發(fā)現(xiàn) 了正弦、余弦等函數(shù)的泰勒展開。 17世紀(jì)到 18世紀(jì),牛頓和萊布尼茲都在級數(shù) 的研究中得到了相同的

9、結(jié)果, 后來這個結(jié)論被稱為牛頓 萊布尼茲公式。 同一時 代,詹姆斯 ·格里高開始研究無窮級數(shù),他公開了一些函數(shù)的麥克勞林展開;布 魯克 ·泰勒對一般解析函數(shù)的泰勒展開進(jìn)行了研究并給出了結(jié)論。歐拉發(fā)展了幾 何級數(shù)和 q 級數(shù)理論。直到 19世紀(jì),柯西利用極限理論對無窮級數(shù)的一般性 推廣建立了完善理論,級數(shù)理論在此之后逐漸的完善至今。到了現(xiàn)代, 冪級數(shù)的研究也沒有止步不前, 由于冪級數(shù)的性質(zhì)已經(jīng)日益完善, 所以學(xué)者們紛紛把研究方向由對冪級數(shù)性質(zhì)的研究漸漸地轉(zhuǎn)向利用冪級數(shù)的性 質(zhì)對其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行研究, 比如在對冪級數(shù)環(huán)的研究, 對非線性橢圓方程型方 程的邊值問題的研究, 對循環(huán)

10、碼等重要的碼的研究, 它們都應(yīng)用到了冪級數(shù)的性 質(zhì)或者函數(shù)的冪級數(shù)展開, 通過了對冪級數(shù)性質(zhì)的擴(kuò)展利用, 不僅是數(shù)學(xué)中, 在 物理,土木工程等跨學(xué)科領(lǐng)域中也廣泛發(fā)展。就冪級數(shù)來看, 它是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)項級數(shù), 基本初等函數(shù) 在一定范圍內(nèi)都可展成冪級數(shù)。 冪級數(shù)有許多方便的運(yùn)算性質(zhì), 在函數(shù)運(yùn)算等方 面是一個很有力的工具。 將函數(shù)展開稱為冪級數(shù)形式, 利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析 性質(zhì)等, 常常能解決許多疑難問題, 并且冪級數(shù)也可以應(yīng)用到工程力學(xué)中, 用冪 級數(shù)表示力學(xué)方程的解。 由于冪級數(shù)的基礎(chǔ)性和實用性, 在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué) 中都進(jìn)行初步的學(xué)習(xí)。 本文對冪級數(shù)的重要性質(zhì)進(jìn)行了歸納,

11、 給出冪級數(shù)在數(shù)學(xué) 和物理中的若干應(yīng)用, 并結(jié)合例題闡述冪級數(shù)在各方面應(yīng)用中具體的技巧和方法。雖然關(guān)于冪級數(shù)的文章,期刊不勝枚舉,但是其中多為簡單,分散的內(nèi)容, 不能全面立體的介紹冪級數(shù)的應(yīng)用, 本文寫作的意義就是要對其他的學(xué)者的期刊、 著作進(jìn)行分析, 利用現(xiàn)有的知識和理論對例子進(jìn)行歸納, 并分析總結(jié)例子中應(yīng)用 到的性質(zhì)和技巧,盡量把將冪級數(shù)的應(yīng)用系統(tǒng)的展現(xiàn)出來。1.2 本文研究的主要內(nèi)容本文共分為八個部分, 第一部分前言講解冪級數(shù)的來源和研究意義, 說明冪 級數(shù)的前世今生及寫本文的緣由。 第二部分將對冪級數(shù)相關(guān)的基本性質(zhì)進(jìn)行介紹 和證明, 第三部分至第六部分將舉出實例講解冪級數(shù)在近似計算;

12、求極限, 求導(dǎo), 積分運(yùn)算問題; 求解微分方程; 證明一些不等式等數(shù)學(xué)問題, 并對每個例子進(jìn)行 分析和總結(jié), 并提出一個跨學(xué)科問題對冪級數(shù)的應(yīng)用, 說明冪級數(shù)的應(yīng)用的廣泛 性和實用性。 第七部分講解了冪級數(shù)在當(dāng)今時代中的發(fā)展應(yīng)用, 舉出了兩篇近期 的期刊中提出的理論, 了解現(xiàn)在冪級數(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀, 第八部分對整篇文章進(jìn)行總 結(jié),總結(jié)這篇文章的內(nèi)容,闡述寫作的意義。2 冪級數(shù)相關(guān)的基本知識2.1 冪級數(shù)的定義在函數(shù)級數(shù)中有一類結(jié)構(gòu)簡單,應(yīng)用廣泛的特殊的函數(shù)項級數(shù)(20120n nn n n a y a a a y a a y a a y a =-=+-+-+-+ (2-1稱為冪級數(shù),其中 01,

13、, na a a 都是常數(shù),稱為冪級數(shù)的系數(shù),若 y a x -=,則可將上述冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡形式的冪級數(shù)20120nn n n n a xa a x a x a x =+ (2-220120nn n n n a xa a x a x a x =+在 0都收斂,冪級數(shù) (2-2的收斂有以下定理:定理 2.1 若冪級數(shù) (2-2在 00x 收斂, 則 x 滿足 0:x x x <, 反之, 若冪級數(shù) (2-2在 00x 發(fā)散,則 x 滿足 0:x x x >。證明:設(shè)級數(shù) 0n n n a x =收斂, 則 0lim 0nn n a x =, 可知存在 0M >對于任意的 0,

14、1,2n=都 有 數(shù) 列0n n a x M , 設(shè) 對 于 任 意 的x 滿 足 1xx <, 則 有 000nn n nn n n x x a x a x M x x =, 因為級數(shù) 00nn x M x =收斂, 所以冪級數(shù) (2-2在 0x x <時 絕對收斂:反過來,看后半部分,我們設(shè)冪級數(shù) (2-2在 0x x =時發(fā)散,若存在 1x 滿足 0x x ,使得級數(shù) 01nn xM x =收斂,定理第一部分中 0x x =時,冪級數(shù) (2-2收斂,與假設(shè)相矛盾,所以冪級數(shù) (2-2對于任意的 x 滿足 0x x >都發(fā)散。 定理 2.2 對于冪級數(shù) (2-2,即 0n

15、 n n a x =,若1limn n na l a +=(或 n l = , 則冪級數(shù) (2-2的收斂半徑為1, 0, , 0, 0. l l r l l <<+=+=+證明:根據(jù)柯西判別法可知對于正項級數(shù) 0n n n a x =可得知,11limlim n n n n n nu ax l x u a +=1 0l <<+,當(dāng) 1l x <時, 冪級數(shù) (2-2絕對收斂:當(dāng) 1l x >,冪級數(shù) (2-2發(fā)散,故收斂半徑 1r l=。2 0l =, 對于任意的 x R 都有 01l x =<, 即對于任意 x R 冪級數(shù) (2-2都收斂, 所以收斂

16、半徑 r =+。3 l =+,對于任意的 x R 且 0x 都有 l x =+,即對于任意 x R , 0x 冪 級數(shù) (2-2發(fā)散,故收斂半徑 0r =。設(shè)冪級數(shù) (2-2,即 0n n n a x =的收斂半徑 0r >, 冪級數(shù) (2-2在收斂區(qū)間確定了一個和函數(shù) (S x ,即(0n n n S x a x =. (2-3定 理 2.3 若 冪 級 數(shù) (2-2的 收 斂 半 徑 0r >, 則 冪 級 數(shù) (2-2在 任 意 閉 區(qū) 間(, , a a r r -都一致收斂。證明:令對于任意的 , x a a -,即 (0 x a a r <<,有 n n n

17、 n a x a a ,因為級數(shù)n nn aa =,根據(jù) M 判別法,冪級數(shù) (2-2在閉區(qū)間 , a a -內(nèi)一致收斂。定理 2.4 若冪級數(shù) 0nn n a x =與 (101' nn n n n n a x na x -=的收斂半徑分別是正數(shù) 1r 與 2r ,則 12r r =。證明:首先要證明 12r r ,令任意的 0x 滿足 010x r <<,存在 1x 滿足 011x x r <<,已知級數(shù) 10n n n a x =收斂,對于任意的 n N ,都有 100101nn n n n x n na x a x x x -=。已知極限 001lim0

18、nn x n x x =,可知數(shù)列 001nx n x x 有界,即存在這樣的 0M >和任意的 n N +,使得01nx n M x x ,然后可得 11n n n n na x M a x -,根據(jù)比較判別法,級 數(shù) 101n n n na x -=絕對收斂,故 12r r 。 然后我們需要證明 12r r ,對于任意的 0x 滿足 020x r <<,存在 1x 滿足012x x r <<, 已 知 級 數(shù)111n n n a x-=收 斂 , 對 于 任 意 的 n N +都 有1010011n n n n n x x a x na xn x -=,已知極

19、限 1001lim 0n n x xn x -=,可知 1001n x xn x -有界,即 存 在 這 樣 的 0M >和 任 意 的 n N +使 得1001n x x M n x -, 所 以 可 得101n n n n a x M na x-,然后根據(jù)比較判別法,級數(shù) 00nn n a x =絕對收斂,所以 12r r ,根據(jù)兩個證明綜合可得 12r r =。推論 2.4: 若冪級數(shù) 0nn n a x =與 101xnn n n n n a a t dt x n +=+的收斂半徑分別是 1r 與 2r ,則 12r r =。定理 2.5 若冪級數(shù) 0n n n a x =的收斂

20、半徑 0r >, 則它的和函數(shù) (S x 在區(qū)間 (, r r -連續(xù)。證明: 設(shè)任意 (, x r r -且存在 0>,滿足 (, , x r r -,已知冪級數(shù)內(nèi) 閉一致收斂,根據(jù)冪級數(shù)的一致收斂和連續(xù)性的性質(zhì)定理判斷可得 (S x 在 x 上 連續(xù),繼而可知,和函數(shù) (S x 在區(qū)間 (, r r -上連續(xù)。定理 2.6若冪級數(shù) 0n n n a x =的收斂半徑 0r >,則對于任意 (, x r r -,它的和函數(shù)(S x 由 0到 x 可積,且可逐項積分,即1( 1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n +=+ (2-4 證明:設(shè)存在任意

21、的 (, x r r -且 0>, 滿足 (, , x r r -, 已知冪級數(shù)內(nèi) 閉一致收斂,由逐項積分定理可知,和函數(shù) (S x 在 (0, x 上可積,且可以逐項積 分,故 100( 1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n +=+。 定理 2.7 若冪級數(shù) 0n n n a x =的收斂半徑 0r >, 則它的和函數(shù) (S x 在區(qū)間 (, r r -可導(dǎo),且可逐項積分,即對于任意 (, x r r -,有(101' ' nn n n n n S x a x na x -= (2-5證明:由定理 4可知冪級數(shù) 10n n n na

22、x -=的收斂半徑是 r , 令存在任意的 (, x r r -且0>, 滿足 (, , x r r -, 已知冪級數(shù)內(nèi)關(guān)一致收斂, 根據(jù)逐項微分定理, 和函數(shù) (S x 在區(qū)間 (, r r -上可導(dǎo),且可以逐項微分,即對于任意的 (, x r r -, 都有 (101' ' nn n n n n S x a x na x -=推論 2.7 若冪級數(shù) 0n n n a x =的收斂半徑 0r >, 則它的和函數(shù) (S x 在區(qū)間 (, r r -存在任意階導(dǎo)數(shù),且對于任意 (, x r r -,任意 k N +,有( ( (1(1 k k nn k n n n n

23、 kS x a x n n n k a x -=-, (2-6此冪級數(shù)的收斂半徑也是 r 。定理 2.8 若冪級數(shù) 0n n n a x =的收斂半徑是 r ,并且在 r 收斂(或在 r -收斂 ,則這個冪級數(shù) 0n n n a x =在閉區(qū)間 0, r (或者在閉區(qū)間 ,0r -上一致收斂,因而和函數(shù) (0n n n S x a x =在 r 左連續(xù)(或者在 r -右連續(xù) 。證明:因為 00nn n n n n n x a x a r r = ,對于任意的 0, x r ,函數(shù)列 n x r 單調(diào)遞減,且一致有界, 210. nx x x r r r 且級數(shù) 0n n n a r =收斂,根

24、據(jù)阿貝爾判別法, 冪級數(shù) 0nn n a x =在 0, r 一致收斂, 其和函數(shù) (0n n n S x a x =在 r 左連續(xù),在 -r 右連續(xù)。由定理 2.1-2.8可以看到,冪級數(shù) 0n n n a x =(收斂半徑 0r >具有的性質(zhì)如下:1. 收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間。 2. 在區(qū)間 (, r r -內(nèi)閉一致收斂。 3. 和函數(shù)在區(qū)間 (, r r -內(nèi)連續(xù)。4. 和函數(shù)在任意閉區(qū)間 (, , a b r r -可積,且可逐項積分,特別地,對于任意 (, x r r -,由 0到 x 可逐項積分,逐項積分得到的冪級數(shù)收斂半徑 也是 r 。5. 和函數(shù)在區(qū)間 (, r r

25、-存在任意階導(dǎo)函數(shù),且可逐項積分得到的冪級數(shù)收斂半徑也是 r 。6. 若冪級數(shù)在在收斂半徑 r 處(或 r -收斂,則其和函數(shù) (S x 在 r 左連續(xù)(或在 r -右連續(xù) 。定 理 2.9 若 函 數(shù) (f x 在 區(qū) 間 (, a r a r -+能 展 成 冪 級 數(shù) , 即 對 于 任 意(, x a r a r -+都有(0( n n n f x a x a =-, (2-7則函數(shù) (f x 在區(qū)間 (, a r a r -+存在任意階導(dǎo)數(shù),且 ( , 0,1, 2!k k f aa k k =證明:根據(jù)定理 7的推論,函數(shù) (f x 在區(qū)間 (, a r a r -+存在任意階導(dǎo)數(shù)

26、,且 (1(1(1 ! (1 (1 2( n kk n k k n kfx n n n k a x a k a k kk ka x a -+=-+-=+-+令 x a =, ( ! k k fa k a =,即 ( (!k k f a a k =。 推論 2.9 若函數(shù) (f x 在區(qū)間 (, a r a r -+能展開冪級數(shù) (7,則期冪級數(shù)展開式 是唯一的,即若對于任意 (, x a r a r -+,有( ( nn n f x a x a =-與 0( ( n n n f x b x b =-,則 , 0,1,2n n a b n =.證明:根據(jù)定理 9,可知 ( ( ! n n f a

27、 a n =, ( (!n n f b b n =,有 n n a b =, 0,1,2,n =。由此,我們可以引出另外的重要級數(shù):泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)。泰勒級數(shù):(0( ( ! n n n g a g x x a n =-.麥克勞林級數(shù):(0(0( ! n nn g g x x n =.定理 2.10 若函數(shù) (f x 在區(qū)間 (, a r a r -+存在任意階導(dǎo)數(shù), 且存在 0M >, 對于 任意 (, x a r a r -+,任意的 0,1,2n =,有 (nf x M ,則( 0( ( !n n n f a f x x a n =-, (, x a r a r -+ (2-

28、8 證 明 :根 據(jù) 泰 勒 公 式 , 對 于 任 意 的 (, x a r a r -+, 都 有(0( ( ( 0( ! n nkn k f a f x x a R x n k =-=,即 0( ( ( ! n n n f a f x x a n =- 定理 2.11 若函數(shù) (f x 在區(qū)間 (, a r a r -+存在任意階導(dǎo)數(shù),且對于任意的(, x a r a r -+, 泰 勒 公 式 的 余 項 ( 0( n R x n , 則 對 于 任 意 的 (, x a r a r -+都有( 0( ( !n n f a f x x a n =-(2-9 證明:根據(jù)拉格朗日余項的泰勒

29、公式,有(1( ( ( (01!( ! !n n n nn x a R x f x a n x a r f x a Mn n -=+-<<-=+-因為 lim 0!nn r n =,有 1lim ( 0n n R x -=,根據(jù)定理 10,可以得知 (2-9式子成立。常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開: 1. (2101arctan , 1121nn n x x x n +=-=-+2. 210(1 sin , (21! n n n x x x n +=-=-<<+3. 20(1 cos , 2!n nn x x x n =-=-<<4. 0, !nxn x e x

30、n =-<<5. (111(1 1, 11!nn n n x x x n =-+=+-<<6. (11ln(1 , 11n n n x x x n-=-+=-<2.3 留數(shù)的基礎(chǔ)知識101( ( ( ( n n nn n nn c c c z a c c z a c z a z a z a-=-=+-+-+-(2-10稱為雙邊冪級數(shù),其中 (0, 1, 2, n c n =±±為復(fù)常數(shù)為 (2-10的系數(shù)。定理 2.12 雙邊冪級數(shù) (2-10的收斂圓環(huán)為 :(0, H r z a R r R <-<+,那么 1 雙邊冪級數(shù) (2-

31、10內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂于 (12f x f z f z =+; 2 (f z 在 H 內(nèi)解析; 3 (nnn f z c z a =-=-定理 2.13 (洛朗定理 在圓環(huán) :(0, H r z a R r R <-<+內(nèi)解析函數(shù) (f z 一定可以展開稱為雙邊冪級數(shù)( nn n f z c z a =-=-,其中 (112n n r f c d i a +=-, (0, 1, 2, n =±±, 為圓 周 ( a r R -=<<并且展開式是唯一的。已知函數(shù) (f x 在 0x 處不解析,但在 0x 的某個去心鄰域 00x x <-&l

32、t;里處處 解析,那么則可以把 0x 稱為函數(shù) (f x 的孤立奇點(diǎn)。其中,如果 (f x 在 0x 的洛朗展開式 (0001( ( nn n n n n f x a x x a x x -=-+-中沒有負(fù)冪項,就把 0x 稱為 (f x 的可去奇點(diǎn)。如果 (f x 在 0x 的洛朗展開式 (0001( ( nn n n n n f x a x x a x x -=-+-中只有有限多個負(fù)冪項,那么可以設(shè)(1 11000( (m mm m a a a x x x x x x -+-,則把 0x 稱為 (f x 的 m 級極點(diǎn),其一級極點(diǎn)也叫做簡單極點(diǎn)。如果 (f x 在 0x 的洛朗展開式 (0

33、001( ( nn n n n n f x a x x a x x -=-+-中有無窮多個負(fù)冪想,就把 0x 稱為 (f x 的本性奇點(diǎn)。定理 2.14 若 0x 是函數(shù) (f x 的孤立奇點(diǎn),那么下面三個條件式等價的: 1. 0x 是 (f x 的可去奇點(diǎn),即 (f x 在 0x 的洛朗級數(shù)展開式?jīng)]有負(fù)冪項; 2. 0lim ( n f x a =;3. (f x 在 0x 的某去心鄰域內(nèi)有界。定理 2.15若 0x 是函數(shù) (f x 的孤立奇點(diǎn),那么下面三個條件式等價的: 1. 0x 是 (f x 的 m 級極點(diǎn),即 (f x 在點(diǎn) 0x 處的洛朗展開式中的主要部分為(1 11000( (

34、m mm m a a a x x x x x x -+-, (0m a -; 2. (f x 在 0x 的某去心鄰域內(nèi)能表示成 (0(mx f x x x =-, 其中 ( x 在 0x 的某鄰域內(nèi)解析,且 0( 0x ; 3. 0x 是 (1g x f x =的 m 級零點(diǎn)。 推論 2.15 (f x 的孤立奇點(diǎn) 0x 為極點(diǎn)的充分必要條件是 (0lim x x f x =定理 2.16 0x 是 (f x 的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是不存在有限或著無限的極限(0lim x x f x 。定義 :已知有限點(diǎn) 0x 是 (f x 的孤立奇點(diǎn), (f x 在圓環(huán)域 00x x <-<內(nèi)

35、解析, 則稱積分1( 2cf x dx i為 (f x 在 0x 點(diǎn)的留數(shù), 記作 (0Re , s f x x , 其中 C 是圓環(huán)域內(nèi)將 0x 包含在其內(nèi)部的任一正向閉合曲線。定理 2.17 已知函數(shù) (f x 在正向閉曲線 C 上解析,在 C 內(nèi)除了有限個孤立奇點(diǎn)01, , , n x x x 外處處解析,則(12Re , nkk cf x dx i s f x x =,這就是留數(shù)定理。 定理 2.18 函數(shù) (f x 在有限孤立奇點(diǎn) 0x 處的留數(shù)等于 (f x 在 0x 處的洛朗展開式 的負(fù)一次冪的系數(shù),即 (01Re , s f x x a -=。 定 理2.19已 知 有 限 點(diǎn)

36、 0x 是(f x 的m 級 極 點(diǎn) , 則(010011Re , lim ( 1! mm m x x d s f x x x x f x m dx -=-, 其 中 當(dāng) 1m =時 , (000Re , lim x x s f x x x x f x =-。推 理 2.19 已 知 函 數(shù) (P x f x Q x =, 且 ( P x 和 ( Q x 在 0x 處 都 解 析 , 其 中 (' 000( 0, ( 0, 0P x Q x Q x =,則 (00' 0(Re , (P x s f x x Q x =。3 冪級數(shù)在近似計算與級數(shù)求和中的應(yīng)用3.1 計算常數(shù) e

37、的問題常數(shù) e 是非常重要的無理數(shù), 它不僅僅在數(shù)學(xué)中能涉及到, 在自然科學(xué)中也 能見到, 比如向日葵花子的排列、 鸚鵡螺的花紋呈現(xiàn)的螺線方程, 這些方程都需 要用到 e ,而它最早出現(xiàn)的地方卻是計算利息有關(guān)。根據(jù)復(fù)利計算的規(guī)則,如果 把利息計算的周期無限的縮小, 本利和也不會無限增加, 它的值會趨近一個極限值, 這個值便與 e 相關(guān)。 e 的定義是這樣的, 當(dāng) n 趨于無窮時, 11nn + 的極限,即 1lim 1nn n + , 所以在求解 e 的近似值運(yùn)用冪級數(shù)的級數(shù)展開形式可以求解一些 無理數(shù)或者積分運(yùn)算的近似值, 將原函數(shù)展開成為級數(shù)形式, 取有限的項數(shù), 在 誤差范圍內(nèi)得出相對精

38、準(zhǔn)的結(jié)果。pq(, p q N + , 因為 e 是自然對數(shù)的底數(shù),那么用麥克勞林級數(shù)表示函數(shù) x e 。201, !1! 2! !n nxn x x x x e x R n n =+。當(dāng) 1x =時,上式就可以表示為011111!1! 2! !n e n n =+。這就是常數(shù) e 的級數(shù)展開式,用 n H 來表示 e 的 1n +項和為 01!nn k H k = 如果用 n e H -來表示誤差,那么00211! ! 1111! 2! (3!11111! 2(2(3 11111! 1(1 11111! ! 11n n k k e H k k n n n n n n n n n n n n

39、nn =-=-=+=+<+=+-+ 所以 011! nn k e H e k n n =-=-<那么可以設(shè) 11111! 2! ! n H q =+,由 011! ! nn k e H e k n n =-=-<可以推導(dǎo)出 110!( !1! q q e H q q q q<-<=,可以看出 !( q q e H -為區(qū)間 (0,1的小數(shù),此外 111!( ! 11! 2! ! q q q e H q p q -=-+ 是正整數(shù),與此前的結(jié)論矛盾,故 e 是 無理數(shù)。 因為 11111! 2! !e n =+所以 2.718e 。 同理也可以對超越數(shù) 應(yīng)用常見函數(shù)

40、冪級數(shù)展開中的 1來進(jìn)行計算近似值, 所以在解此類問題中時需要考慮是否可以將函數(shù)可以寫成冪級數(shù)形式, 將不便于 運(yùn)算的函數(shù)變成能進(jìn)行計算且有規(guī)律的函數(shù)形式,然后再一步一步求解。3.2 冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應(yīng)用n nn =+,求級數(shù)的和。解:設(shè) 11( (1!n n nf x x n +=+,其中 x -<<。由逐項積分的性質(zhì)可對 ( f x 求導(dǎo):可得 ('' 111(1! !n n n n n n f x x x n n +=+ (' 11!n n f x n x x n -= 因此根據(jù)冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)可得:' 1011( 1! !nxn x

41、 n n f t n x dt t dt e t n n -=-所以 (' ' (1x x f x e e x=-=, ' ( x f x xe = 因此可以得到(' 0( (1 1x xt x f x f t dt te dt x e =-+當(dāng) 1x =時, (111(1! n nf n =+4 冪級數(shù)在求極限、求導(dǎo)、積分運(yùn)算中的應(yīng)用4.1 冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用求極限的方法很多:等價無窮小的代換;洛必達(dá)(LHospital 法則;泰勒 公式, 對特定類型的冪指函數(shù)取對數(shù); 多項式相除; 數(shù)列極限中利用等差、 等比、 拆分求解;利用重要極限;換元法;利用定積分

42、求數(shù)列極限等常見方法,但每種 方法都有一定的局限性。下面將舉出兩個例子來分析冪級數(shù)在求極限中的應(yīng)用。已知( 1f x=+lim ( n f x 。 解:因為( 1f x =+ 所以 ( f x 可以表示為 1( ni f x = 又因為 (233221212n n+=+ 所以 111111( 2212111(12nni i f x i i n i i =-=- + 所以 lim ( 2n f x =。11lim 12n n n n n +解:因為 111n i n=+所以極限 111111lim lim 11211n n n n n n n n n n +=+ + +所以 21111limln

43、 21n i xn=+。 在利用冪級數(shù)求解極限的問題中, 一般都是無窮多項的函數(shù)或者數(shù)列的求和形式,而根據(jù)冪級數(shù)的定義 20120n n n n n a x a a x a x a x =+,可以看出冪級數(shù)的定義本身就是無窮多項求和的極限, 因此, 此種形式求極限應(yīng)率先考慮將 極限轉(zhuǎn)化為無窮級數(shù)求和的問題。4.2 冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用用冪級數(shù)可以表示一些基本初等函數(shù), 利用這個性質(zhì), 我們往往可以解決某 些函數(shù)方面的問題,利用冪級數(shù)的級數(shù)展開形式能夠把復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)的簡單、 清晰。所以在下面的例子中,將在函數(shù)的求導(dǎo)中利用到函數(shù)的冪級數(shù)的展開。2xf x x x =+-的 n 階導(dǎo)數(shù) 解:將 2

44、12x x +-因式分解可得到 112x x +-,進(jìn)而分解為 111312x x + +- 所以(20011111n n nn n n xx x x x x x =+-+-=-+<從而(110111132nn n n f x x x +=-+<故, (f x 的 n 階導(dǎo)數(shù) (1011(1! 1132nn n n fx n x x +=+-+< 因為一般的函數(shù)求導(dǎo)都可以遵循求導(dǎo)的基本公式, 而對于這種函數(shù)形式的求導(dǎo), 公式就顯得有些乏力, 把函數(shù)因式分解等運(yùn)算, 將其中的初等函數(shù)寫成冪級 數(shù)的形式,就可以對不能直接求導(dǎo)的函數(shù)求導(dǎo)了。4.3 冪級數(shù)在積分運(yùn)算中的應(yīng)用冪級數(shù)在收

45、斂域上絕對收斂, 并且在收斂區(qū)間上可以逐項求導(dǎo), 逐項積分的, 同樣, 還可以交換求和順序等特殊的性質(zhì), 我們便可以利用這些性質(zhì), 在計算積 分中將函數(shù)展開為收斂的冪級數(shù), 利用逐項積分來計算積分的值或證明式子之間 的等價關(guān)系。20cos (1 122! 44!22!n nx t x x x dt t n n -=-+-證:因為 20cos (1 (2! nnn x x n =-, (, x -所以2100cos (1 (2! n xx n n t t dt dt t n -=- 21001(1 (2! x nn n t dt n -=- (242(1 122! 44!22!n n x x x

46、 n n -=-+-其中 x R 假如要是把實數(shù)范圍內(nèi)的積分運(yùn)算擴(kuò)展到復(fù)數(shù)中, 那么積分運(yùn)算就需要運(yùn)用 到留數(shù)定理,就變成了對封閉曲線上的積分運(yùn)算。3sin (1 x cz zdz e -, C 為正向圓周:z = 解:根據(jù) sin z 和 x e 的泰勒展開式可以看出333223( sin (1 2! (1 1(1 2! 1(.x z z z z z e z z z z z z-+=-+-+=-+=- 其中 ( z 在 0z =處解析,且 (01=,將 ( z 在 0z =處展開成泰勒級數(shù),可以得到'3sin 11(0(1 x z z z e z=-+-,從而 3sin Re ,01

47、(1 x z z s e =-,由留數(shù)定理可得 3sin 2(1 x cz z(1 12cos d I =-+解:當(dāng) 0=時, 2I =;當(dāng) 0時, i z e =, 11111122z z dzdz I z z i z z -=+-+ 當(dāng) 01z <<時,1z <內(nèi), (11f z z z =-有且僅有 z =為一級極點(diǎn),在 1z =上無奇點(diǎn),所以根據(jù)留數(shù)定理(221122Re 2|11z F z F I i s f z i -=- 當(dāng)1>時,1z <內(nèi), (f z 有且僅有 1z =為一級極點(diǎn),在 1z =上無奇點(diǎn),所以可得(1112112Re 2|(1 12

48、( |(1(21z z z F Fz Fz I i s f z i z z z z -=-=-=-利用留數(shù)定理計算實積分的方法就是把實積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿圍線的積分, 再把積分 利用留數(shù)定理進(jìn)行計算,這種方法適用于某些原函數(shù)不適合直接求出的積分運(yùn)算。5 冪級數(shù)在求解微分方程中的應(yīng)用微分方程一般情況下都不能用初等積分方法求解, 一般情況下都是用冪級數(shù) 的形式來表達(dá)微分方程的解。 它不僅能應(yīng)用到數(shù)學(xué)方面, 還能應(yīng)用到土木工程等 方面 , 下面將舉出三個例子分別說明冪級數(shù)在求解微分方程的解中的應(yīng)用。 5.1 求解常微分方程求解微分方程其實就是將微分方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使其變成代數(shù)方程,更加容易。 解:設(shè)方程的解為 0n n n y a x =則 '10n n n y na x -=''121(1 (2(1 n n n n n n y n n a xn