立體幾何考綱解讀(題目跟答案)

1、立體幾何考綱解讀一、 考情縱覽立體幾何初步考查的基本知識是“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”，其中包括：平面及其基本性質(zhì)（A級要求），直線與平面平行、垂直的判定及性質(zhì)（B級要求）、兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì)（B級要求）和“空間幾何體的表面積和體積（A級要求）”；考查的基本技能有：識圖、畫圖、用圖、對三棱錐的體積“計(jì)算兩次”來求點(diǎn)到平面的距離及使用“割補(bǔ)法”來揭示隱含的條件；試題滲透的基本思想方法有：將立體幾何的文字語言、符號語言及圖形語言相互轉(zhuǎn)換、將三種“平行”相互轉(zhuǎn)化和“三種垂直”相互轉(zhuǎn)化。解決立體幾何的作圖，計(jì)算和證明等問題需要空間想象、推理論證、運(yùn)算求解能力的支撐，其中的核心能力是空間想象能

2、力，即能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形?，F(xiàn)在對近幾年立體幾何初步的高考題型分析如下熱點(diǎn)題型1 考查將符號語言或文字語言轉(zhuǎn)化為直觀圖形的能力典型考題（1） 2009年江蘇高考第12題考情分析 考查將文字語言或符號語言轉(zhuǎn)化為平面直觀圖形，再進(jìn)行推理或計(jì)算，有時(shí)也可以直接判斷。屬于中檔題。變式練習(xí)(1) 設(shè)為兩個不重合的平面，為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：若則；若則；若，則；若與相交且不垂直，則與不垂直。其中，所有真命題的序號是 【答案】【解析】作出符合條件的圖形，由直線與平面平行的判斷定理知是真命題；作出符合條件的圖形，由平面與平面垂直的性質(zhì)

3、定理知是真命題；作出符合條件的圖形，相交或平行，但垂直不成立，假命題；作出符合條件的圖形，不妨令，則在內(nèi)存在假命題。注意事項(xiàng) 常設(shè)計(jì)為多選題的形式，要防止錯選，多選或少選。 熱點(diǎn)題型2 考查推理論證與運(yùn)算求解的能力典型考題（2） 2010高考的江蘇高考第16題考情分析 考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、考查幾何體的體積；考查化歸方法、計(jì)算兩次方法；考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。立體幾何初步的解答題一般都放置在第16題的位置，屬于容易題。試題的設(shè)計(jì)形式是“一證一算”或“二證”。變式練習(xí)(2) 如圖，t中，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長線交于，將沿折起，使得平面平面。（1）求證：平

4、面平面；（2）求四棱錐的體積（用a 表示）?！敬鸢浮浚?）在tABC中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以ABD是正三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以。由折疊的不變性得：在三棱錐中，又，所以BD平面AEF，又平面，所以平面BCD平面AEF；（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面BCD，所以四棱錐的體積。典型考題（3） 2011高考的江蘇高考第16題變式練習(xí)(3)（2011天津文科）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)，平面，為中點(diǎn)。（）證明/平面；（）證明平面?！敬鸢浮浚ǎ┻B接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又M為PD的中點(diǎn)，所以PB/MO。因?yàn)槠矫鍭CM，平面A

5、CM，所以PB/平面ACM；（）因?yàn)椋褹D=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。注意事項(xiàng) 使用定理時(shí)，列舉相關(guān)定理的條件要全，例如：證明直線與平面平行時(shí)必須（1）證明平面，（2）存在平面，（3）這三個步驟缺一不可，條件是已知的或證明得到的，千萬不可跳步或把平面幾何的結(jié)論錯誤地類比到空間中，以免不必要的失分，計(jì)算題要按照“一作、二證、三算”的步驟進(jìn)行。熱點(diǎn)題型3 在新情景下考查探究的能力典型考題（4） 2011·北京卷文科第17題考情分析 因?yàn)榻K高考立體幾何初步解答題只考查容易題，所以考查探究性問題的可能性不大，但有意識地解一些探究性問題，有

6、利于提升我們的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新意識。變式練習(xí)(4) 如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD.四邊形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45°.(1)求證：平面PAB平面PAD；(2)設(shè)ABAP.在線段AD上是否存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到P、B、C、D的距離都相等？說明理由?！窘馕觥?1)因?yàn)镻A平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD. (2) 假設(shè)在線段AD上存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等由GCGD，得GCDGDC45°，從而CGD90°，即C

7、GAD.所以GDCD·cos45°1.設(shè)AB，則AD4，AGADGD3.在RtABG中，GB>1.這與GBGD矛盾所以在線段AD上不存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B、C、D的距離都相等從而，在線段AD上不存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。注意事項(xiàng) 探究性問題的結(jié)論有三種：探索的結(jié)論是“成立”；探索的結(jié)論是“不成立”；探索的結(jié)論是“滿足某一個附加條件A成立”，不滿足附加條件A不成立”。熱點(diǎn)題型4 考查作圖的能力或?qū)σ阎獔D形進(jìn)行割補(bǔ)的能力典型考題（5）2011年江西卷理科第21題考情分析 作圖或?qū)σ阎獔D形進(jìn)行割補(bǔ)是考查空間想象的高端能力，雖然在近幾年江蘇高

8、考未考查，但隨著高考命題“以能力立意”這一理念的真正落實(shí)，江蘇高考考查的概率進(jìn)一步加大。變式練習(xí)(5) 從空間一點(diǎn)出發(fā)的四條射線兩兩所成的角都是，則對的判斷正確的是 一定是銳角一定直角一定鈍角 銳角、直角、鈍角都可以【答案】【解析】如圖，在射線OA，OB，OC，OD上分別截取，使，由四條射線兩兩所成的角都是得：三棱錐是正四面體，是正四面體的中心作出正四面體的外接球（是球心），延長交平面于，連接，則平面，所以，因?yàn)?，所以，選。注意事項(xiàng) 作圖的依據(jù)是立體幾何初步的基本知識，方法是轉(zhuǎn)化為平面幾何的作圖問題；“割補(bǔ)”一般是將不規(guī)則的圖形補(bǔ)成柱、球或割成錐?？碱}再現(xiàn)1（1）設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下

9、列命題：若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）?！窘忸}思路】考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。由兩個平面平行的判斷定理知是真命題；由直線與平面平行的判斷定理知是真命題；內(nèi)有一條直線m垂直于，但不能得到直線m垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，故是假命題；當(dāng)與內(nèi)的兩條平行直線垂直時(shí)，直線與垂直不成立，故充分性不成立，假命題?！敬鸢浮?（2）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，P

10、D=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900。（1）求證PCBC；（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離?！窘忸}思路】（1）證明；（2）對三棱錐的體積計(jì)算兩次或過A作BC的平行線，再在選取一點(diǎn)作平面PBC的垂線段，計(jì)算垂線段的長?！敬鸢浮浚?）因?yàn)镻D平面ABCD，所以PDBC，又BCD=900，所以，又因?yàn)?，所以，所以；?）（方法一），所以，所以。（方法二）過點(diǎn)A做BC的平行線交CD于E，過E作PC的垂線交PC于H，連PE?？梢宰C明，所以點(diǎn)A到平面PBC的距離等于點(diǎn)E平面PBC的距離。因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以?（3）如圖，在四棱錐中，平面平面，分別是的中點(diǎn)，求證（1）直線平面PCD

11、；（2）平面平面?！窘忸}思路】（1）運(yùn)用三角形的中位線定理證明直線PD即可證明平面PCD；（2）只要證明BF平面PAD。證明如下：【答案】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以直線平面PCD；（2）連接BD。因?yàn)?，所以三角形ABD是正三角形，又因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫訠F平面PAD，因?yàn)槠矫鍮EF，所以平面平面。3（4）如圖，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)。(1)求證：DE平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理

12、由。【解題思路】 (1)因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DEPC.又因?yàn)镈E平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP；(2)因?yàn)镈、E、F、G分別為AP、AC、BC、PB的中點(diǎn)，所以DEPCFG，DGABEF，所以四邊形DEFG為平行四邊形又因?yàn)镻CAB，所以DEDG，所以平行四邊形DEFG為矩形；(3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分別取PC、AB的中點(diǎn)M，N，連接ME、EN、NG、MG、MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QMQNEG.所以Q為滿足條件的點(diǎn)。4(

13、5) (1)如圖，對于任一給定的四面體A1A2A3A4，找出依次排列的四個相互平行的平面1，2，3，4，使得Aii(i1,2,3,4)，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；(2)給定依次排列的四個相互平行的平面1，2，3，4，其中每相鄰兩個平面間的距離都為1，若一個正四面體A1A2A3A4的四個頂點(diǎn)滿足：Aii(i1,2,3,4)，求該正四面體A1A2A3A4的體積。【解題思路】(1)如圖所示，取A1A4的三等分點(diǎn)P2，P3，A1A3的中點(diǎn)M，A2A4的中點(diǎn)N，過三點(diǎn)A2，P2，M作平面2，過三點(diǎn)A3，P3，N作平面3，因?yàn)锳2P2NP3，A3P3MP2，所以平面2平面3，再過點(diǎn)A1，A4分別

14、作平面1，4與平面2平行，那么四個平面1，2，3，4依次相互平行，由線段A1A4被平行平面1，2，3，4截得的線段相等知，其中每相鄰兩個平面間的距離相等，故1，2，3，4為所求平面；(2如圖，現(xiàn)將此正四面體A1A2A3A4置于一個正方體ABCDA1B1C1D1中(或者說，在正四面體的四個面外側(cè)各鑲嵌一個直角正三棱錐，得到一個正方體)，E1，F(xiàn)1分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，EE1D1D和BB1F1F是兩個平行平面，若其距離為1，則四面體A1A2A3A4即為滿足條件的正四面體圖是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長為a，若A1MMN1，則有A1E1，D1E1a，據(jù)A1D1×A1E1A1M×D1E1，得a，正四面體A1A2A3A4的體積Va34×a3a3.【答案】.二、備考建議題型1備考建議 只有將符號語言或文字語言轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的直觀圖形，才可以迅速地推理與判斷，否則會由于看不清圖形或受到不標(biāo)準(zhǔn)圖形的干擾而得到錯誤的結(jié)論。題型2備考建議