半帶濾波器的幅頻響應(yīng)

1、（a），（b），（c）和和以為對稱，則稱和鏡像對稱，但并沒有要求。所以，兩通道QMFB不一定是半帶濾波器，而半帶濾波器一定是正交鏡像濾波器。由以上討論，我們可把半帶濾波器的特點(diǎn)總結(jié)如下：的通帶與阻帶紋波必須相等，即；也即該頻率響應(yīng)相對半帶頻率（）是對稱的。另外，若的通帶頻率為，阻帶頻率為，則和對是等距的。正因?yàn)檫@以特點(diǎn)，所以稱該類濾波器為“半帶濾波器”；3. 除4. 若是非因果、零相位的FIR濾波器，即，那么，的單邊的最大長度為，為整數(shù)，總的長度 )即半帶濾波器的長度總是奇數(shù)，且是4的整數(shù)倍減1。若將乘以，即可將零相位的FIR濾波器變成因果的、具有線性相位的濾波器。5. 半帶濾波器可以是因果的

2、，也可以是非因果的。其系數(shù)可以是實(shí)的，也可以是復(fù)的。如： ， ， 等均是半帶濾波器。1.嚴(yán)格互補(bǔ)（strictly complementary，SC）濾波器一組濾波器，若它們的轉(zhuǎn)移函數(shù)具有如下關(guān)系： 則稱，是一組嚴(yán)格互補(bǔ)的濾波器。假定利用，作為分析濾波器組將分成個(gè)子帶信號，若把這個(gè)子帶信號相加，即對應(yīng)的時(shí)域信號是，它和僅差了一個(gè)延遲和常數(shù)倍，這對于信號的準(zhǔn)確重建是非常有用的。由定理6.1，th濾波器一定是嚴(yán)格互補(bǔ)型濾波器。半帶濾波器是th濾波器的特例，因此，半帶濾波器也是嚴(yán)格互補(bǔ)的。給定一個(gè)低通濾波器，設(shè)其長度為偶數(shù)，屬FIR線性相位濾波器，顯然，我們可把寫成的形式，式中為實(shí)數(shù)，可正可負(fù)。若令

3、，顯然，這樣，和并不等于，因此，該濾波器不是半帶濾波器。在進(jìn)一步討論其它類型濾波器之前，我們先給出本書常用的一些符號。若為一矩陣，即的各元素都是的多項(xiàng)式，記為的轉(zhuǎn)置；為的共軛轉(zhuǎn)置；表示將各元素的系數(shù)取共軛；表示將各元素的系數(shù)取共軛，用代替，然后取轉(zhuǎn)置。例如，令，式中，也是矩陣，則矩陣稱為的“仿共軛（paraconjugate）矩陣”。若在單位圓上取值，即，則。一般，不在單位圓上，有 若是的有理多項(xiàng)式，則 表示將的系數(shù)取共軛，再用代替，例如：若 ， 則 若 ， 則 2. 功率互補(bǔ)濾波器（power complementary，PC）若個(gè)濾波器的頻率響應(yīng)滿足 式中為常數(shù)，則稱，是功率互補(bǔ)的。該式又

4、可表示為 下面的定理給出了功率互補(bǔ)濾波器和th濾波器之間的關(guān)系：定理6.2 給定一轉(zhuǎn)移函數(shù)，其多相表示為，再令，當(dāng)且僅當(dāng)是一th濾波器時(shí)，是功率互補(bǔ)的。證明：為證明上述結(jié)論，我們定義一組濾波器 將其寫成矩陣形式，有式中是DFT矩陣，滿足如果要滿足功率互補(bǔ)關(guān)系，則應(yīng)有 （1）若是功率互補(bǔ)的，則因?yàn)?所以，也是功率互補(bǔ)的。由的定義，即，那么，因此有)即為一th濾波器。（2） 反過來，若是求逆，即。用上述同樣的方法可證明，從而是功率互補(bǔ)的，證畢。若，即、是功率互補(bǔ)的，我們有 該式在兩通道濾波器組的準(zhǔn)確重建中有著重要的作用。由定理6.2，應(yīng)是一半帶濾波器，并有。如果我們希望能設(shè)計(jì)出符合功率互補(bǔ)的濾波器

5、，則應(yīng)首先設(shè)計(jì)出半帶濾波器，由，顯然是的一個(gè)譜因子，因此，對作譜分解，然后對極-零點(diǎn)重新安排，即可得到。3全通互補(bǔ)濾波器（Allpass Complementary，AC）若一組濾波器，滿足式中為一全通濾波器，則稱這一組濾波器是全通互補(bǔ)濾波器。利用全通互補(bǔ)濾波器可消除信號重建時(shí)的幅度失真。一組嚴(yán)格互補(bǔ)的濾波器也是全通濾波器，但不一定是功率互補(bǔ)的。如果一組濾波器既是全通互補(bǔ)的，又是功率互補(bǔ)的，則稱其為雙互補(bǔ)（Doubly Comlementary，DC）濾波器。 有關(guān)以上各種類型的互補(bǔ)濾波器，我們將在以后的章節(jié)里陸續(xù)遇到。6.4 半帶濾波器設(shè)計(jì)半帶濾波器在兩通道濾波器組的分析與實(shí)現(xiàn)中具有重要的作

6、用，本節(jié)討論其設(shè)計(jì)方法。由上節(jié)所述，半帶濾波器的單位抽樣響應(yīng)除1.窗函數(shù)法假定要設(shè)計(jì)的半帶濾波器的截止頻率，令理想濾波器的，對，其余為零，則顯然，所以，是一個(gè)零相位的半帶濾波器。但它是非因果的，從，且頻率特性不好。我們可以仿照用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的方法來改造之19。即選一窗函數(shù)，令式中為的長度。2.利用Lagrange插值法文獻(xiàn)129提出了一個(gè)用Lagrange插值法設(shè)計(jì)半帶濾波器的方法。首先由，求出半帶濾波器的單位抽樣響應(yīng)，的總長度為。例如，當(dāng)時(shí)，所求出的的值如下：n0±1±2±3±4±5±6±7h(n)0.50.2

7、990-0.059800.011960-0.00122然后用 (6.4.4)可求得半帶濾波器得轉(zhuǎn)移函數(shù)。3. 用單帶濾波器來設(shè)計(jì)半帶濾波器欲設(shè)計(jì)一個(gè)半帶濾波器，假定其長度為，截止頻率為，阻帶頻率為，為了達(dá)到設(shè)計(jì)的目的，文獻(xiàn)15提出了一個(gè)用單帶濾波器來設(shè)計(jì)半帶濾波器的方法。首先用Chebyshew最佳一致逼近法設(shè)計(jì)出一個(gè)“單帶”濾波器。所謂“單帶”，是令的通帶頻率為，阻帶頻率，從是其過渡帶，因此，只有一個(gè)通帶，沒有阻帶。令的長度為，因?yàn)樗璋霂V波器的長度，所以的長度為，即始終為常數(shù)。及求出后，再對作二倍的插值，并令插值后序列的中心點(diǎn)為0.5，即這樣，是一半帶濾波器，通帶截止頻率在，其通帶和阻帶

8、的紋波分別是的一半。文獻(xiàn)15稱該方法為一個(gè)“trick”。，的長度（即）。按上面討論的思路，我們首先設(shè)計(jì)單帶濾波器，令其通帶截止頻率為，長為。的圖形，圖（b）是，圖（d）是，顯然除中心點(diǎn)外，為偶序號項(xiàng)皆為零。（a），（b），（c），（d）6.5 抽取、插值及濾波器組的應(yīng)用現(xiàn)舉例說明信號抽取、插值及濾波器組的應(yīng)用。 一般，語音、音樂信號等的頻譜的主要能量集中在，那么，對這一類信號抽樣時(shí)，取應(yīng)能滿足需要。但在抽樣前，應(yīng)加抗混迭濾波器以去除在以上的頻率成份，從而保證抽樣時(shí)不發(fā)生混迭失真。顯然，對，我們希望它：通帶盡量地平；過渡帶盡量地窄；阻帶衰減足夠大；最好能具有線性相交。對模擬濾波器來說，要想做到

9、通帶盡量平，阻帶盡量小并不困難，但如果要求過渡帶又特別窄就比較困難，進(jìn)而，要求具有線性相位幾乎是不可能的。那么，解決的方案是將提高一倍，即取，這樣，的過渡帶即可加寬，這樣的設(shè)計(jì)就比較容易，并努力使相頻響應(yīng)在通帶內(nèi)接近線性相位（如利用Bessel濾波器）。顯然，的過渡帶加寬，使抽樣后的信號含有頻率大于的噪聲，但由于提高了一倍，因此不會引入混迭失真。由于這時(shí)工作在高抽樣率狀態(tài)，含有信息的冗余，我們可對其作二倍的抽取。在抽取之前，我們用截止頻率為的數(shù)字濾波器對濾波，從而既消除了由于過渡帶過寬引入的噪聲，又防止了抽取后的混迭15Ha(j)A/DH(z)2在第五章開頭時(shí)已述及，在語音系統(tǒng)中存在著多種抽樣

10、率。如立體聲，通常是，而CD唱盤（或數(shù)字磁帶），所采用的抽樣率是，而數(shù)字廣播所用的抽樣率是。這樣，同一首歌曲要從一個(gè)媒體轉(zhuǎn)到另一個(gè)媒體，或是通過數(shù)字廣播播出，它們之間必須進(jìn)行抽樣率轉(zhuǎn)換。例如，若從轉(zhuǎn)換到，我們只需取，再取，然后作分?jǐn)?shù)倍的抽樣率轉(zhuǎn)換即可。61,102,130 一個(gè)實(shí)際的物理信號，其頻譜絕不會在內(nèi)均勻分布。同理，一個(gè)實(shí)際的圖象，其能量也不會在空域頻率，分解并抽取后的信號是，抽樣的頻率，每個(gè)點(diǎn)是，那么直接對編碼每移需要，假定每點(diǎn)用，仍用，由于抽取后，的抽樣率都變成，所以，對，編碼所用的數(shù)是，顯然比對直接編碼所用的數(shù)大大減少。通過低通濾波器后的輸出，即通過高通濾波器后的輸出，即。顯然，

11、已接近于正弦信號，而基本上全是噪聲，其幅值在±0.3之間。因此，對中的每一個(gè)點(diǎn)給以少量的數(shù)是合理的。（a）原信號，（b）通過低通濾波器后的，（c）通過高通濾波器后的的圖像。首先按行分別通過低通濾波器和高通濾波器，然后作二倍抽取，并把低頻部分放在上半部，高頻部分放在下半部。對按行分解后的圖像再作按列分解，即讓每列分別通過和，并讓低頻部分放在左邊，高頻部分放在右邊，這樣，就將圖（a）的一幅圖形分成了四幅。記為低頻部分，為高頻部分，顯然圖（b）的左上角為，右上角為，左下角為，右下角為。如圖所示，左上角的圖形含有原圖像的絕大部分信息，而其它三部分，特別是右下角的，則是含有原圖像的細(xì)節(jié)。我們可

12、針對這四幅子圖像的重要性，分別給以不同的字長來表示之（或編碼）。有關(guān)圖像壓縮的更多內(nèi)容，我們將在小波變換部分詳細(xì)討論。,（a）原始圖像，（b）分解后的圖像23 在普通的電話線路上傳遞語音信號易被竊聽。為此，人們提出了很多的加密方法，其中之一是利用濾波器組。其思路是將語音信號分成若干段，讓每一段信號依次通過一個(gè)通道的濾波器組，得，將這個(gè)信號的次序打亂，再通過后傳輸出去。在接收端，再按原打亂前的順序依次將信號重組。除非竊聽者知道打亂的規(guī)律，否則很難解密。15 在數(shù)字網(wǎng)絡(luò)中，在一條線路上傳輸多路信號的常用方法是時(shí)分復(fù)用（Time Division Multiplexed，TDM）和頻分復(fù)用（FDM）。是：，這樣，是，按時(shí)間將其分開后的組合。在接收端，通過圖（b）的網(wǎng)絡(luò)可很容易地將，和再次分開。333333在TDM中，三個(gè)信號在時(shí)域上是