無窮級數(shù)練習題含答案

1、第十二章 無窮級數(shù)練習1.判別下列級數(shù)的斂散性：2.判別下列級數(shù)是絕對收斂，條件收斂，還是發(fā)散？ ； ； 。3.求冪級數(shù)的收斂區(qū)間。4.證明級數(shù)當時絕對收斂，當時發(fā)散。注：數(shù)列單調增加，且。5.在區(qū)間內(nèi)求冪級數(shù) 的和函數(shù)。6.求級數(shù)的和。7.設 （）證明1）存在； 2）級數(shù)收斂。8.設，1） 求的值； 2） 試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂。9.設正項數(shù)列單調減少，且發(fā)散，試問是否收斂？并說明理由。 10.已知參見教材246頁，計算。無窮級數(shù)例題選解1.判別下列級數(shù)的斂散性：解：1），而收斂，由比較審斂法知 收斂。2），而發(fā)散，由比較審斂法的極限形式知 發(fā)散。3） ，由比值審斂法知 收斂。4） ，

2、由根值審斂法知 收斂。2.判別下列級數(shù)是絕對收斂，條件收斂，還是發(fā)散？ ； ； 。解：1）對于級數(shù)，由，知級數(shù)絕對收斂，易知條件收斂，故 條件收斂。2），由，知級數(shù)收斂，故絕對收斂。3）記，而發(fā)散，故發(fā)散，令，當時，故在區(qū)間內(nèi)單調增加，由此可知 ，又，故收斂，但非絕對收斂，即為條件收斂。3.求冪級數(shù)的收斂區(qū)間。解：收斂半徑為 ，當時，得級數(shù)，發(fā)散；當時，得交錯級數(shù)，收斂。所求收斂區(qū)間為。4.證明級數(shù)當時絕對收斂，當時發(fā)散。注：數(shù)列單調增加，且。證：收斂半徑 ，當時冪級數(shù)絕對收斂，當時冪級數(shù)發(fā)散，當時，得級數(shù)，因單調增加，且，故，于是得，由此，故級數(shù)發(fā)散。5.在區(qū)間內(nèi)求冪級數(shù) 的和函數(shù)。解：設

3、（）， ， ， （）。6.求級數(shù)的和。解：設 （），則 ，其中 ， （）。 設，則，于是 ，從而 （）。因此 。7.設 （）證明1）存在； 2）級數(shù)收斂。證：1）因 ，故是單調減少有下界的數(shù)列，所以存在。2）由（1）知 ，記，因存在，故存在，所以收斂，由比較審斂法知收斂。8.設，3） 求的值； 4） 試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂。證：1） 因為 ， ，所以 。2） 因為 ，所以 ，由知收斂，從而收斂。9.設正項數(shù)列單調減少，且發(fā)散，試問是否收斂？并說明理由。解：級數(shù)收斂。理由：由于正項數(shù)列單調減少有下界，故存在，記，則。若，則由萊布尼茲定理知 收斂，與題設矛盾，故。 因為 ，由根值審斂法知級數(shù)收斂。 10已知參見教材246頁，計算。解：由 （），得 。（選作部分）11*計算。解：由 ，得 ，于是 ，從而 。12*.