數(shù)學(xué)競賽梅涅勞斯定理

1、梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯的著作球面學(xué)（Sphaerica）。任何一條直線截三角形的各邊，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積，這一定理同樣可以輕而易舉地用初等幾何或通過應(yīng)用簡單的三角關(guān)系來證明. 梅涅勞斯把這一定理擴(kuò)展到了球面三角形。中文名 梅涅勞斯定理外文名 Menelaus別    稱 梅氏定理表達(dá)式 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1提出者 梅涅勞斯提出時間 1678年應(yīng)用學(xué)科 數(shù)學(xué)，物理適用領(lǐng)域范圍 平面幾何學(xué)適用領(lǐng)域范圍 射影幾何學(xué)定

2、理內(nèi)容定理證明證明一過點(diǎn)A作AGDF交BC的延長線于點(diǎn)G.則證明二過點(diǎn)C作CPDF交AB于P，則兩式相乘得證明三連結(jié)CF、AD，根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)有。AF：FB =SADF：SBDF（1），BD：DC=SBDF：SCDF（2），CE：EA=SCDE：SADE=SFEC：SFEA=（SCDE+SFEC）：（SADE+SFEA）=SCDF：SADF （3）（1）×（2）×（3）得證明四過三頂點(diǎn)作直線DEF的垂線AA，BB'，CC'，如圖：充分性證明：ABC中，BC，CA，AB上的分點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)。連接DF交CA于E'，

3、則由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又有CE/EA=CE'/E'A，兩點(diǎn)重合。所以 共線推論 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是=-1。（注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是=1）此外，用該定理可使其容易理解和記憶：第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則(sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1即圖中的藍(lán)角

4、正弦值之積等于紅角正弦值之積。該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用。證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOE/sinAOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合)梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三邊弧AB，弧BC，弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于P,Q,R三點(diǎn)，那么數(shù)學(xué)意義使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具

5、有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。梅涅勞斯逆定理定理若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。注意定理中提到的三個點(diǎn)的位置，在梅涅勞斯逆定理中，三個點(diǎn)要么只有兩個在三角形邊上，要么一個都不在三角形邊上。即：該逆定理成立的前提是三個點(diǎn)有偶數(shù)個

6、點(diǎn)在三角形邊上。否則為塞瓦定理逆定理。證明方式已知：E、F是ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，D是BC的延長線的點(diǎn)，且有：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。求證：E、F、D三點(diǎn)共線。思路：采用反證法。先假設(shè)E、F、D三點(diǎn)不共線，直線DE與AB交于P。再證P與F重合。證明：先假設(shè)E、F、D三點(diǎn)不共線，直線DE與AB交于P。由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段成比例的證明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 AP/PB=AF/FB ； (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； AB/PB=AB/FB ；

7、PB=FB；即P與F重合。 D、E、F三點(diǎn)共線。注意首先我們已知圖中的直線關(guān)系：三角形一邊的延長線上一點(diǎn)與相鄰邊上一點(diǎn)的連線與另一邊相交于一點(diǎn)，然后再來求各個邊的關(guān)系。梅涅勞斯的功勞在于，他根據(jù)上圖的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了關(guān)系式：AF/FB×BD/DC×CE/EA=1然后反過來再證明，如果滿足這個關(guān)系，那么那條線是直線總之：從現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)等式，再從等式反推現(xiàn)象，這兩個工作使得這一發(fā)現(xiàn)成為定理。問題：梅涅勞斯是怎么根據(jù)圖中的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)或者計(jì)算出等式AF/FB×BD/DC×CE/EA=1 ？這個問題請大家思考。梅涅勞斯定理及例題拓展梅涅勞斯介紹：在證明點(diǎn)共線時，有一個非常重

8、要的定理，它就是梅涅勞斯定理，梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍。下面的定理就是他首先發(fā)現(xiàn)的。這個定理在幾何學(xué)上有很重要的應(yīng)用價值。定理：設(shè)D、E、F依次是三角形ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足證明：（此定理需要分四種情況討論，但有兩種可以排除）先來說明兩種不可能的情況情況一：當(dāng)三點(diǎn)均在三角形邊上時，由基本事實(shí)可知三點(diǎn)不可能共線（只能組成內(nèi)接三角形的三角形。情況二：當(dāng)一點(diǎn)在三角形一邊上，另兩點(diǎn)分別在三角形另兩邊的延長線上時，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，平移直

9、線DE即可發(fā)現(xiàn)不能可兩點(diǎn)同時在延長線上情況三：當(dāng)兩點(diǎn)分別在三角形兩邊上，另一點(diǎn)在三角形另一邊的延長線上時，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，D、E、F三點(diǎn)共線可過C作CMDE交AB于M，于是所以情況四：三點(diǎn)分別在三角形三邊的延長線上時，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，同情況三D、E、F三點(diǎn)共線可過C作CMDE交AB于M，于是所以設(shè)D、E、F依次是三角形ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足拓展（1題）在任意三角形PQR中，A2,A4分別是PR,PQ延長線上的點(diǎn)，做射線A4A2,A6是射線A4A2上

10、的一點(diǎn)，做射線A6Q，A1是射線A6Q上的一點(diǎn)，連結(jié)A1A2交射線PR于X，作射線A4A3交射線PQ于點(diǎn)A3，交射線A1A6于點(diǎn)Y，連結(jié)A1A3交射線PR于點(diǎn)A5，連結(jié)A6A5交射線PQ于點(diǎn)Z，求證X,Y,Z三點(diǎn)共線（該命題又為一六邊形相間各頂點(diǎn)分別在兩直線上求證：它的三對對邊（所在直線）的交點(diǎn)共線）這個定理為帕波斯定理（2題）給定ABC內(nèi)兩點(diǎn)O,O',連結(jié)AO,AO'交BC于點(diǎn)X,X',BO,BO'交AC于Y,Y',CO,CO'交AB于Z,Z'.設(shè)YZ'與Y'Z交于點(diǎn)P,ZX'與Z'X交于點(diǎn)Q,XY

11、9;與X'Y交于點(diǎn)R.求證O,O',P,Q,R五點(diǎn)共線（3題）在任意三角形ABC中，E是直線AC上的一點(diǎn)，D是直線BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是直線DE上一點(diǎn)，G是直線AC上一點(diǎn)，作直線BG交直線DF于點(diǎn)Q，作直線CF交直線AB于點(diǎn)P，作直線GF交直線AB于點(diǎn)H作直線DH交直線AC于點(diǎn)R,求證P,Q,R三點(diǎn)共線（4題）一直線截ABC三邊BC,CA,AB或延長線X,Y,Z。證明：這三點(diǎn)的等截點(diǎn)X',Y',Z'共線。（在三角形任意一邊所在直線上，設(shè)有兩點(diǎn)與此邊的中點(diǎn)等距，則稱這兩個點(diǎn)互為等截點(diǎn)）（5題）將一點(diǎn)與正三角形的頂點(diǎn)連線，(1)若依次連結(jié)三聯(lián)結(jié)線中點(diǎn)求證是個正三

12、角形(2)三聯(lián)結(jié)線的中垂線分別與對邊（所在直線）的交點(diǎn)共線梅涅勞斯定理和塞瓦定理一、 梅涅勞斯定理定理1 若直線l不經(jīng)過ABC的頂點(diǎn)，并且與ABC的三邊BC、CA、AB或它們的延長線分別交于P 、Q、R，則BPPCCQQAARRB=1證明：設(shè)hA、hB、hC分別是A、B、C到直線l的垂線的長度，則：BPPCCQQAARRB=hBhChChAhAhB=1。注：此定理常運(yùn)用求證三角形相似的過程中的線段成比例的條件。例1 若直角ABC中，CK是斜邊上的高，CE是ACK的平分線，E點(diǎn)在AK上，D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE與CK的交點(diǎn)，證明：BFCE?！窘馕觥恳?yàn)樵贓BC中，作B的平分線BH，則：EBC=A

13、CK，HBC=ACE，HBC+HCB=ACK+HCB=90°，即BHCE，所以EBC為等腰三角形，作BC上的高EP，則：CK=EP，對于ACK和三點(diǎn)D、E、F根據(jù)梅涅勞斯定理有：CDDAAEEKKFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根據(jù)分比定理有：KFKC=BKKE，所以FKBCKE，所以BFCE。例2 從點(diǎn)K引四條直線，另兩條直線分別交直線與A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，試證：ACBC:AD BD=A1C1B1C1:A1D1B1D1?！窘馕觥咳鬉DA1D1，結(jié)論顯然成立；若AD與A1D1相交于點(diǎn)L，則把梅涅勞斯

14、定理分別用于A1AL和B1BL可得：ADLDLD1A1D1A1KAK=1，LCACAKA1KA1C1LC1=1，BCLCLC1B1C1B1KBK=1，LDBDBKB1KB1D1LD1=1，將上面四個式子相乘，可得：ADACBCBDA1C1A1D1B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2 設(shè)P、Q、R 分別是ABC的三邊BC、CA、AB上或它們延長線上的三點(diǎn)，并且P、Q、R三點(diǎn)中，位于ABC邊上的點(diǎn)的個數(shù)為0或2，這時若BPPCCQQAARRB=1，求證P、Q、R三點(diǎn)共線。證明：設(shè)直線PQ與直線AB交于R，于是由定理1得：BPPCCQQAARRB=1

15、，又因?yàn)锽PPCCQQAARRB=1，則ARRB=ARRB，由于在同一直線上P、Q、R三點(diǎn)中，位于ABC邊上的點(diǎn)的個數(shù)也為0或2，因此R與R或者同在AB線段上，或者同在AB的延長線上；若R與R同在AB線段上，則R與R必定重合，不然的話，設(shè)AR>AR，這時AB-AR<AB-AR，即BR<BR，于是可得ARBR>ARBR，這與ARBR=ARBR矛盾，類似地可證得當(dāng)R與R同在AB的延長線上時，R與R也重合，綜上可得：P、Q、R三點(diǎn)共線。注：此定理常用于證明三點(diǎn)共線的問題，且常需要多次使用 再相乘；CBA例3 點(diǎn)P位于ABC的外接圓上；A1、B1、C1是從點(diǎn)P向BC、CA、AB

16、引的垂線的垂足，證明點(diǎn)A1、B1、C1共線。【解析】易得：BA1CA1=-BPcosPBCCPcosPCB，CB1AB1=-CPcosPCAAPcosPAC，AC1BC1=-APcosPABBPcosPBA，將上面三個式子相乘，且因?yàn)镻CA=PBC，PAB=PCB，PCA+PBA=180°，可得BA1CA1CB1AB1AC1BC1=1，根據(jù)梅涅勞斯定理可知A1、B1、C1三點(diǎn)共線。例4 設(shè)不等腰ABC的內(nèi)切圓在三邊BC、CA、AB上的切點(diǎn)分別為D、E、F，則EF與BC，F(xiàn)D與CA，DE與AB的交點(diǎn)X、Y、Z在同一條直線上。【解析】ABC被直線XFE所截，由定理1可得：BXXCCEEA

17、AFFB=1，又因?yàn)锳E=AF，代入上式可得BXXC=FBCE，同理可得CYYA=DCAF，AZZB=EABD，將上面的式子相乘可得：BXXCCYYAAZZB=1，又因?yàn)閄、Y、Z丟不在ABC的邊上，由定理2可得X、Y、Z三點(diǎn)共線。例5 已知直線AA1，BB1，CC1相交于O，直線AB和A1B1的交點(diǎn)為C2，直線BC和B1C1的交點(diǎn)為A2，直線AC和A1C1的交點(diǎn)為B2，試證A2、B2、C2三點(diǎn)共線。【解析】設(shè)A2、B2、C2分別是直線BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交點(diǎn)，對所得的三角形和它們邊上的點(diǎn)：OAB和（A1，B1，C2），OBC和（B1，C1，A2），OAC和（A1，

18、C1，B2）應(yīng)用梅涅勞斯定理有：AA1OA1OB1BB1BC2AC2=1，OC1CC1BB1OB1CA2BA2=1，OA1AA1CC1OC1AB2CB2=1，將上面的三個式子相乘，可得：BC2AC2AB2CB2CA2BA2=1，由梅涅勞斯定理可知A2、B2、C2共線。例6 在一條直線上取點(diǎn)E、C、A，在另一條上取點(diǎn)B、F、D，記直線AB和ED，CD和AF，EF和BC的交點(diǎn)依次為L、M、N，證明：L、M、N共線?！窘馕觥坑浿本€EF和CD，EF和AB，AB和CD的交點(diǎn)分別為U、V、W，對UVW，應(yīng)用梅涅勞斯定理于五組三元點(diǎn)(L,D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F

19、)，則有UEVEVLWLWDUD=1，VAWAUFVFWMYM=1，UNVNWCUCVBWB=1，WAVAUCWCVEUE=1，WBVBUDWDVFUF=1，將上面五個式子相乘可得：VLWLWMUMUNVN=1，點(diǎn)L、M、N共線。二、塞瓦定理定理：設(shè)P、Q、R分別是ABC的BC、CA、AB邊上的點(diǎn)，則AP、BQ、CR三線共點(diǎn)的充要條件是：BPPCCQQAARRB=1。MQRACPB證明：先證必要性：設(shè)AP、BQ、CR相交于點(diǎn)M，則BPPC=SABPSACP=SBMPSCMP=SABMSACM，同理CQQA=SBCMSABM，ARRB=SACMSBCM，以上三式相乘，得：BPPCCQQAARRB

20、=1，再證充分性：若BPPCCQQAARRB=1，設(shè)AP與BQ相交于M，且直線CM交AB于R，由塞瓦定理有：BPPCCQQAARRB=1，約翰斯：ARRB=ARRB，因?yàn)镽和R都在線段AB上，所以R必與R重合，故AP、BQ、CR相交于一點(diǎn)M。CBA例7 證明：三角形的中線交于一點(diǎn)?！窘馕觥坑汚BC的中線AA1，BB1，CC1，我們只須證明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1，而顯然有：AC1=C1B，BA1=A1C，CB1= B1A，即AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1成立，所以，ABC交于一點(diǎn)，例8 在銳角ABC中，C的角平分線交AB于L，從L做邊AC和BC的垂線，垂足分別是M和N，設(shè)AN和BM的交點(diǎn)是P，證明：CPAB。KLNMCBA【解析】作CKAB，下證CK、BM、AN三線共點(diǎn)，且為P點(diǎn)，要證CK、BM、AN三線共點(diǎn)，根據(jù)塞瓦定理即要證：AMMCCNNBBKAK=1，又因?yàn)镸C=CN，即要證明：AMAKB