避免分類討論的策略

1、避免分類討論的幾種策略徐學(xué)軍一些看似需要分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然表現(xiàn)形式可能較為復(fù)雜，但其本質(zhì)常存在簡(jiǎn)單的一面。因此，如果能用簡(jiǎn)單的觀點(diǎn)、簡(jiǎn)化的方法對(duì)問(wèn)題的各種情形實(shí)施綜合、排除、轉(zhuǎn)化等策略，則往往能找到解決問(wèn)題的簡(jiǎn)易途徑。一、充分利用隱含條件，縮小參數(shù)的取值范圍例1 解關(guān)于x的不等式。解：因?yàn)閤3，所以且。所以原不等式化為。即所以。解得x>7。所以原不等式的解集為。例2 已知實(shí)數(shù)x滿足不等式。求x的取值范圍。解：因?yàn)樗詘>4或x<1。又因?yàn)樗詘>4，此時(shí)所以原不等式可化為解得所以，所以原不等式的解集為例3 已知ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求cosA的值。解：

2、因?yàn)?，所以。又因?yàn)榻茿、B、C成等差數(shù)列，所以。這樣是不可能的，因此。所以。所以二、將各種情形給予綜合考慮，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理例4 設(shè)函數(shù)。若0<a<b，且。證明：ab<1。解：因?yàn)?，即所以所以即因?yàn)?，所以所以，所以。所以ab<1。例5 圓的圓心C與拋物線的焦點(diǎn)F分居直線的兩側(cè)，求a的取值范圍。解：求得C和F的坐標(biāo)分別為C（a，1）、F（0，）因?yàn)閳A心C與焦點(diǎn)F分居直線的兩側(cè)。所以C和F的坐標(biāo)代入直線方程的左側(cè)應(yīng)為異號(hào)。即化簡(jiǎn)得所以。三、一些對(duì)稱性問(wèn)題，由于參數(shù)的地位均等，可以只考慮一種情形例6 （18屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a和任意正整數(shù)x、y有。證法1

3、：因?yàn)?，所以原不等式等價(jià)于。又因?yàn)閍為任意實(shí)數(shù)所以不妨設(shè)所以，又因?yàn)樗浴Ｋ栽坏仁匠闪?。證法2：左右。例7 已知銳角、滿足等式。求證：。證明：不妨設(shè)，則。又因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。所以。四、跳出常規(guī)思維，轉(zhuǎn)變考慮問(wèn)題的角度例8 已知m、x為實(shí)數(shù)，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍？解：令由題意可知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立。因?yàn)闉殛P(guān)于m的一次函數(shù)。所以只要即解得。說(shuō)明：若用分類的方法，需對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論。例9 從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)，參加4×100米接力賽，如果甲、乙兩人不跑第一棒，則不同的參賽方案有幾種？解：第一棒由甲、乙以外的4人中選一人參加，共有種方法；另三棒由剩下的5人

4、中選出三人參加，共有種方法。所以滿足條件的參賽方案共有種。說(shuō)明：若對(duì)甲、乙是否入選進(jìn)行討論，則需分4種情況。例10 已知關(guān)于x方程，問(wèn)a為何值時(shí)，方程至少有一個(gè)整數(shù)根？解：若，則原方程為，矛盾！所以時(shí)，故原方程可化為因?yàn)閍N，所以解得又因?yàn)閤Z，且當(dāng)x=0時(shí)，。所以x=3或x=1，此時(shí)a=1。所以當(dāng)a=1時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根3和1。說(shuō)明：如果用求根公式解出x，再由a的值來(lái)討論根的情況，運(yùn)算就較為復(fù)雜。用構(gòu)造法解三角求值題山西省大同縣第二小學(xué) 賈海英用構(gòu)造法求值極具巧思，關(guān)鍵是根據(jù)題中信息恰當(dāng)創(chuàng)作一個(gè)新形式，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解。本文舉例介紹幾種方法，供大家參考。一、構(gòu)造互余式例1. 求的值。解：

5、設(shè)則二、構(gòu)造和差式例2. 求的值。解：設(shè)，則三、構(gòu)造方程（組）例3. 已知，求。解法一：將的兩邊平方，得：構(gòu)造方程，則與是此方程的兩個(gè)根。解此方程，得由知解法二：由得，設(shè)，于是有，消去y，得：解之，得：四、構(gòu)造圖形例4. 已知，且，試求與的值。解：，且依數(shù)字特征，構(gòu)造RtABC（如圖）。由，知據(jù)圖形得五、構(gòu)造數(shù)列例5. 已知，試求的值。解：構(gòu)造等差數(shù)列，則（d為公差）兩式平方、相加，得解之，得由知即例6. 在銳角ABC中，已知ABC，且，試求的值。解：及，且構(gòu)造等比數(shù)列則，（q為公比，且）又，即解之，得（，舍）利用交點(diǎn)特征 研究圖象性質(zhì)肖泰來(lái)在三角函數(shù)圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí)中往往會(huì)遇到直線ya與正、余

6、弦型函數(shù)圖象相交的情形，以此為背景的題目有一定難度。正確地利用圖象中的交點(diǎn)特征，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，下面予以說(shuō)明。1. 利用閉區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來(lái)確定周期范圍例1. 要使函數(shù)的值在區(qū)間a，a3上出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次，不多于8次（），則k的值是_。分析：運(yùn)用圖形，知道與的圖象相交時(shí)，每個(gè)周期內(nèi)（半開半閉區(qū)間）都有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)已知，需保證f(x)在長(zhǎng)度為3的閉區(qū)間上，至少出現(xiàn)2個(gè)周期，至多出現(xiàn)4個(gè)周期，于是故有解得又因?yàn)?，所以k2或32. 當(dāng)交點(diǎn)為最值點(diǎn)時(shí)，可把相鄰兩點(diǎn)間的長(zhǎng)度視為周期例2. 已知為偶函數(shù)（）其圖象與直線y2相鄰的兩交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x1，x2，則常數(shù)_，_。分析：由于函數(shù)為偶函數(shù)

7、，易知因?yàn)?，所以于是再根?jù)最值點(diǎn)的特征，這樣求得3. 當(dāng)各個(gè)交點(diǎn)間隔相等時(shí)，要考慮直線的特殊位置例3. 已知，又的所有正根依次成等差數(shù)列，求f(x)的解析式，最小正周期和單調(diào)減區(qū)間。分析：因?yàn)閒(x)3可由方程有正根且依次成等差數(shù)列，再轉(zhuǎn)化成直線與的圖象相交，且使y軸右方交點(diǎn)間的距離相等?？紤]直線的特殊位置，顯然有以下三種情況：（1），此時(shí)f(x)的最小正周期為6，單調(diào)減區(qū)間為（2），結(jié)論同上；（3），無(wú)解4. 利用交點(diǎn)間隔，尋找相應(yīng)周期，計(jì)算線段長(zhǎng)度例4. 曲線和直線，在y軸右側(cè)交點(diǎn)，按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1、P2、P3、，則等于_。分析：由于可化為從而得到由與兩圖象交點(diǎn)知所以利用數(shù)學(xué)思

8、想處理三角函數(shù)問(wèn)題陳顯宏1. 數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、比較大小等。例1. 從小到大的順序是_。解析：這些角都不是特殊角，求出值來(lái)再比較行不通，若注意到相差較大，容易利用單位圓上的三角函數(shù)線區(qū)分它們各自函數(shù)值的大小。設(shè)（如圖所示）可知b<0<a<c應(yīng)填例2. 函數(shù)的定義域是_。解析：該函數(shù)定義域即不等式組的解集，即的解集，若用傳統(tǒng)方法則要求與的交集，不太方便。若畫出y=cosx，的圖象（如圖所示）由，易得2. 轉(zhuǎn)化與化歸思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切割化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、

9、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問(wèn)題。例3. 若，則（ ）A. B. C. D. 解析：若直接比較a與b的大小比較困難，若將a與b大小比較轉(zhuǎn)化為的大小比較就容易多了。因?yàn)橛忠驗(yàn)樗?，所以又因?yàn)閍，b>0，所以a<b故選（A）。例4. 求函數(shù)的值域。解析：先切割化弦，統(tǒng)一函數(shù)名稱，得：令因?yàn)椋杂谑乔笤瘮?shù)的值域轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，由的值域，易得，所以原函數(shù)的值域?yàn)椤?. 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)中是用函數(shù)的思想求解范圍問(wèn)題，用方程的思想解決求值、證明等問(wèn)題。例5. 已知函數(shù)，當(dāng)有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍。解析：由得分離a得：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為求a的值域。因?yàn)樗怨十?dāng)時(shí)，有實(shí)

10、數(shù)解。例6. 已知，求的值。解法1：只需求的某個(gè)三角函數(shù)或的值，又只需用倍角公式把已知條件“縮角升冪”轉(zhuǎn)化為解三角方程。由倍角公式，原方程化為：分解因式得：由所以得解法2：可以將原方程配方轉(zhuǎn)化得：即得因?yàn)閯t所以只有解得所以4. 分類討論思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是根據(jù)求值或求角的需要對(duì)角的范圍或參數(shù)的范圍展開有序的討論。例7. 已知：，求的值。解析：由已知條件得：即因?yàn)樗运赃@里要求即求，需要去掉絕對(duì)值，從而對(duì)的符號(hào)要展開討論：（1）當(dāng)時(shí)，所以；（2）當(dāng)時(shí)，所以；綜上5. 分析與綜合的思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是把多邊形分割為三角形，把求某值轉(zhuǎn)化為求另外的值等，然后依據(jù)分析結(jié)果，綜合寫出求解過(guò)程。例8.

11、 設(shè)，則arc cosx的取值范圍是_。解析：運(yùn)用分析與綜合的思想方法，先分析x的取值范圍，再綜合求arc cosx的取值范圍。因?yàn)閯t所以即所以填例9. 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積。解析：先分析如何找到解題的突破口，再綜合寫出解題過(guò)程，如圖所示，連結(jié)BD，則四邊形ABCD的面積。而兩個(gè)三角形的兩邊已知，只須求得已知兩邊的夾角的正弦值，又，只需求得其中一個(gè)角的正弦值或余弦值，解題從求余弦值開始，連結(jié)BD，在ABD中，由余弦定理，得：在CBD中，同理得：所以化簡(jiǎn)得2+cosA=3cosC又因?yàn)樗郧襰inA=sinC所以2cosC

12、=3cosC則所以四邊形ABCD的面積：6. 整體思想的應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)中主要是整體代入、整體變形、整體換元、整體配對(duì)、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡(jiǎn)求值、研究函數(shù)性質(zhì)等。例10. 已知（1）求的值；（2）求的值。解析：由條件和問(wèn)題聯(lián)想到公式，可實(shí)施整體代換求值。（1）由平方，得：即因?yàn)橛忠驗(yàn)樗怨剩?）影響高中數(shù)學(xué)成績(jī)的原因和解決方法2006-10-2311:16頁(yè)面功能 【字體：大 中 小】【打印】【關(guān)閉】面對(duì)眾多初中學(xué)習(xí)的成功者淪為高中學(xué)習(xí)的失敗者，筆者對(duì)他們的學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行了研究、調(diào)查表明，造成成績(jī)滑坡的主要原因有以下幾個(gè)方面。1被動(dòng)學(xué)習(xí)。許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還像初中那樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老

13、師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)。表現(xiàn)在不定計(jì)劃，坐等上課，課前沒有預(yù)習(xí)，對(duì)老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。沒有真正理解所學(xué)內(nèi)容。2學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識(shí)的來(lái)龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點(diǎn)難點(diǎn)，突出思想方法。而一部分同學(xué)上課沒能專心聽課，對(duì)要點(diǎn)沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問(wèn)題也有一大堆，課后又不能及時(shí)鞏固、總結(jié)、尋找知識(shí)間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對(duì)概念、法則、公式、定理一知半解，機(jī)械模仿，死記硬背。也有的晚上加班加點(diǎn)，白天無(wú)精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。3不重視基礎(chǔ)。一些“自我感覺良好”的同學(xué)，常輕視基本知識(shí)、

14、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，經(jīng)常是知道怎么做就算了，而不去認(rèn)真演算書寫，但對(duì)難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高鶩遠(yuǎn)，重“量”輕“質(zhì)”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯(cuò)就是中途“卡殼”。4進(jìn)一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，函數(shù)值域的求法，實(shí)根分布與參變量方程，三角公式的變形與靈活運(yùn)用，空間概念的形成，排列組合應(yīng)用題及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等。客觀上這些觀點(diǎn)就是分化點(diǎn)，有的內(nèi)容還是高初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，

15、如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，分化是不可避免的。高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會(huì)學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才能變被動(dòng)為主動(dòng)。針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的上述情況，教師應(yīng)當(dāng)采取以加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)為主，化解分化點(diǎn)為輔的對(duì)策：1加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計(jì)劃、課前自學(xué)、專心上課、及時(shí)復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。制定計(jì)劃使學(xué)習(xí)目的明確，時(shí)間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動(dòng)力。但計(jì)劃一定要切實(shí)可行，既有長(zhǎng)遠(yuǎn)打算，又有短期安排，執(zhí)行過(guò)程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。課前自學(xué)是學(xué)生上好新課，取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)

16、。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且能提高學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)。自學(xué)不能搞走過(guò)場(chǎng)，要講究質(zhì)量，力爭(zhēng)在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講課的思路，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，盡可能把問(wèn)題解決在課堂上。上課是理解和掌握基本知識(shí)、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！皩W(xué)然后知不足”，課前自學(xué)過(guò)的同學(xué)上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可略；什么地方該精雕細(xì)刻，什么地方可以一帶而過(guò)，該記的地方才記下來(lái)，而不是全抄全錄，顧此失彼。及時(shí)復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，通過(guò)反復(fù)閱讀教材，多方查閱有關(guān)資料，強(qiáng)化對(duì)基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識(shí)與有關(guān)舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行分析比較，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)

17、成果整理在筆記上，使對(duì)所學(xué)的新知識(shí)由“懂”到“會(huì)”。獨(dú)立作業(yè)是學(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立思考，靈活地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)新知識(shí)的理解和對(duì)新技能的掌握過(guò)程。這一過(guò)程是對(duì)學(xué)生意志毅力的考驗(yàn)，通過(guò)運(yùn)用使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)由“會(huì)”到“熟”。解決疑難是指對(duì)獨(dú)立完成作業(yè)過(guò)程中暴露出來(lái)對(duì)知識(shí)理解的錯(cuò)誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過(guò)點(diǎn)撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過(guò)程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神，做錯(cuò)的作業(yè)再做一遍。對(duì)錯(cuò)誤的地方?jīng)]弄清楚要反復(fù)思考，實(shí)在解決不了的要請(qǐng)教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯(cuò)的地方拿出來(lái)復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問(wèn)同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識(shí)，長(zhǎng)期堅(jiān)持使對(duì)所學(xué)知識(shí)由“熟”到

18、“活”。系統(tǒng)小結(jié)是學(xué)生通過(guò)積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識(shí)和發(fā)展認(rèn)識(shí)能力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與有關(guān)資料，通過(guò)分析、綜合、類比、概括，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。以達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的目的。經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對(duì)所學(xué)知識(shí)由“活”到“悟”。課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書籍與報(bào)刊，參加學(xué)科競(jìng)賽與講座，走訪高年級(jí)同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不僅能豐富學(xué)生的文化科學(xué)知識(shí)，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)，而且能滿足和發(fā)展他們的興趣愛好，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)和工作能力，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。2循序漸進(jìn)，防止急躁由于學(xué)生年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的高中學(xué)生容易急躁，有的同學(xué)貪多求快，囫圇吞棗，有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就，有的取得一點(diǎn)成績(jī)便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。針對(duì)這些情況，教師要讓學(xué)生懂得學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期的鞏固舊知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的積累過(guò)程，決非一朝一夕可以完成，為什么高中要上三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績(jī)，其中一個(gè)重要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書寫、運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。3研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對(duì)能力要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)