數(shù)論第5講 位值、進(jìn)制與完全平方數(shù) 教師版

1、第五講 位值、進(jìn)制與完全平方數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥一、位值原理位值原理的定義：同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“2”,寫在個(gè)位上，就表示2個(gè)一，寫在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。二、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制

2、，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后

3、加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：如右圖所示。十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制八進(jìn)制三、完全平方數(shù)一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4.若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個(gè)完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的

4、平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點(diǎn)公式回顧：平方差公式：例題精講板塊一 位值原理【例 1】 (美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)把一個(gè)兩

5、位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來(lái)的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【解析】 設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為，交換后的新的兩位數(shù)為，根據(jù)題意，原兩位數(shù)最大時(shí)，十位數(shù)字至多為9，即，原來(lái)的兩位數(shù)中最大的是94【例 2】 如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?×9(99)99。可以證明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。請(qǐng)你寫出所有的巧數(shù)?！窘馕觥?設(shè)這個(gè)巧數(shù)為，則有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。滿足條件的巧數(shù)有：19、

6、29、39、49、59、69、79、89、99?！纠?3】 在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入09中的一個(gè)數(shù)碼，這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來(lái)兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)?！窘馕觥?因?yàn)樵瓋晌粩?shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的10倍，所以原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0或5。如果個(gè)位數(shù)是0，那么無(wú)論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個(gè)位數(shù)是5。設(shè)原兩位數(shù)是，則b=5，變成的三位數(shù)為ab5，由題意有100a10b5（10a5）×9，化簡(jiǎn)得ab4。變成的三位數(shù)只能是405，315，225，135?！纠?4】 (第五屆希望杯培訓(xùn)試

7、題)有3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，如果這6個(gè)三位數(shù)的和是1554，那么這3個(gè)數(shù)字分別是多少？【解析】 設(shè)這六個(gè)不同的三位數(shù)為，因?yàn)?，它們的和是：，所以，由于這三個(gè)數(shù)字互不相同且均不為0，所以這三個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)至少為1，2，而，所以最大的數(shù)最大為4；又，所以最大的數(shù)大于，所以最大的數(shù)為4，其他兩數(shù)分別是1，2【例 5】 a，b，c分別是中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù)之和是2234，那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？【解析】 由，組成的六個(gè)數(shù)的和是因?yàn)?，所以若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，符合題意若，則所求數(shù)為，但，

8、不合題意若，則所求數(shù)，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意所以，只有時(shí)符合題意，所求的三位數(shù)為652【例 6】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以a1， 則111b11c推知b2；進(jìn)而推知c3，d=4所以=1234?！纠?7】 將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒有0的四位數(shù)，它比新數(shù)中最大的小3834，比新數(shù)中最小的大4338求這個(gè)四位數(shù)【解析】 設(shè)組成這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼為， ()，則有，可得，則，且M的四位數(shù)字分別為1、9，由于的個(gè)位數(shù)字為7，所以，中有一個(gè)為7，但，所以不能為7，故，【例 8】 一

9、個(gè)六位數(shù)，如果滿足，則稱為“迎春數(shù)”(例如，則102564就是“迎春數(shù)”)請(qǐng)你求出所有“迎春數(shù)”的總和【解析】 由于是把六位數(shù)的末位調(diào)到首位構(gòu)成了新六位數(shù)，所以不妨把看成一個(gè)整體，設(shè)，則根據(jù)位值原理可知“迎春數(shù)”是，并滿足關(guān)系式：對(duì)等式化簡(jiǎn)得：所以：因?yàn)槭俏逦粩?shù)，是一位數(shù)，所以可以為4，5，6，7，8，9而“迎春數(shù)”，那么，所有“迎春數(shù)”的總和是：模塊二 數(shù)的進(jìn)制【例 9】 _；_； 若，則_【解析】 對(duì)于這種進(jìn)位制計(jì)算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制： ； 可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來(lái)計(jì)算：；如果對(duì)進(jìn)制的知識(shí)較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對(duì)進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是2，可得；

10、本題涉及到3個(gè)不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個(gè)進(jìn)制下統(tǒng)一到十進(jìn)制比較適宜：； 十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整原式；若，則，經(jīng)試驗(yàn)可得【例 10】 在幾進(jìn)制中有？【解析】 利用尾數(shù)分析來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是說(shuō)已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位所以說(shuō)進(jìn)位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2中的一個(gè)但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進(jìn)制另外，由于，因?yàn)?，也就是說(shuō)不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6【鞏固】 在幾進(jìn)制中有？

11、【解析】 注意，因?yàn)?，所以一定是不?0就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到16324，所以再注意尾數(shù)分析，而16324的末位為4，于是進(jìn)到上一位所以說(shuō)進(jìn)位制為21的約數(shù)，又小于10，也就是可能為7或3因?yàn)槌霈F(xiàn)了6，所以只能是7【例 11】 在6進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少? 【解析】 (abc)6 =a×62b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3，5)=1所

12、以，b=0或5當(dāng)b=0，則35a=80c；則7a=16c；(7，16)=1，并且a、c0，所以a=16，c=7。但是在6,9進(jìn)制，不可以有一個(gè)數(shù)字為16當(dāng)b=5，則35a=3×5+80c；則7a=3+16c；mod7后，3+2c0。所以c=2或者2+7k(k為整數(shù))因?yàn)橛?進(jìn)制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是c=2；35a=15+80×2，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212。這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212?！纠?12】 (2001年人大附中分班考試題)在8進(jìn)制中，一個(gè)多位數(shù)的數(shù)字和為十進(jìn)制中的68，求除以7的余數(shù)為

13、多少？【解析】 類似于十進(jìn)制中的“棄九法”，8進(jìn)制中也有“棄7法”，也就是說(shuō)8進(jìn)制中一個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和除以7的余數(shù)本題中，這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和在十進(jìn)制中為68，而68除以7的余數(shù)為5，所以這個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)也為5板塊三 完全平方數(shù)【例 13】 從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？【解析】 完全平方數(shù)，其所有質(zhì)因數(shù)必定成對(duì)出現(xiàn)而，所以滿足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平方數(shù)的2倍，由于，所以、都滿足題意，即所求的滿足條件的數(shù)共有31個(gè)【例 14】 考慮下列32個(gè)數(shù)：，請(qǐng)你去掉其中的一個(gè)數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù)，劃去的那個(gè)數(shù)是【解析】 設(shè)

14、這32個(gè)數(shù)的乘積為A，所以，只要?jiǎng)澣ミ@個(gè)數(shù)，即可使得其余各數(shù)的乘積為一個(gè)完全平方數(shù)另外，由于，而16也是完全平方數(shù)，所以劃去也滿足題意【例 15】 一個(gè)自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)已知一個(gè)完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7如果把組成它的數(shù)字都加上3，便得到另外一個(gè)完全平方數(shù)，求原來(lái)的四位數(shù) 【解析】 設(shè)這個(gè)四位數(shù)為，由于其各位數(shù)字都小于7，所以每位數(shù)字都加3，沒有發(fā)生進(jìn)位，故由得：將分解質(zhì)因數(shù)，有，其有個(gè)約數(shù)，但是有，所以只有4種可能，即由于，故，所以；又，所以，故；一一檢驗(yàn)，只有滿足且，所以，得，原來(lái)的四位數(shù)為【例 16】 寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)【解析】

15、一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè).(包括1和它自身)如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù),那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)個(gè).這樣它們加1后均是奇數(shù),所得的乘積才能是奇數(shù).而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的數(shù)為完全平方數(shù).即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個(gè)約數(shù),反過(guò)來(lái),有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù) 由以上分析知,我們所求的為360630之間有多少個(gè)完全平方數(shù)?18×1

16、8=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360630之間的完全平方數(shù)為192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,625【例 17】 一個(gè)數(shù)的完全平方有39個(gè)約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少？【解析】 設(shè)該數(shù)為，那么它的平方就是，因此由于，所以，可得，；故該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)；或者，可得，那么該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)所以這個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為14個(gè)或者20個(gè)【例 18】 一個(gè)數(shù)減去100是一個(gè)平方數(shù)，減去63也是一個(gè)平方數(shù)，問(wèn)這個(gè)數(shù)是多少？

17、【解析】 設(shè)這個(gè)數(shù)減去為，減去為，則，可知，且，所以，這樣這個(gè)數(shù)為【鞏固】 能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？【解析】 假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為、，那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質(zhì)相同，所以不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，不可能是像54這樣是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)所以不可能等于兩個(gè)平方數(shù)的差，那么題中所說(shuō)的數(shù)是找不到的【例 19】 兩個(gè)完全平方數(shù)的差為77，則這兩個(gè)完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？ 【解析】 設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別是和，且，則兩個(gè)完全平方數(shù)的和可以表示為，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，此時(shí)兩

18、個(gè)完全平方數(shù)的和最大，為；當(dāng)，時(shí)，取得最小值2，此時(shí)兩個(gè)完全平方數(shù)的和最小，為85【例 20】 (2008年清華附中考題)有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是14，將它們分別平方，得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù)(個(gè)位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是(請(qǐng)寫出所有可能的答案) 【解析】 設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)中較小的那個(gè)為，則另外一個(gè)為，由題知， (為正整數(shù))，即，由于，所以，由于與均為兩位數(shù)，所以，故可能為25、50或者75，可能為18、43或者68經(jīng)檢驗(yàn)，、43、68均符合題意，所以這兩個(gè)兩位數(shù)為18、32，或者43、57，或者68、82【例 21】 有5個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個(gè)平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為 【解析】 考查平方數(shù)