數(shù)學(xué)分析西北師范大學(xué)9

1、 S F 01（數(shù)） Ch 9 不定積分計(jì)劃課時(shí)： 16 時(shí) P 85100 20011125. Ch 9 不定積分 （ 16時(shí) ） § 1 概念 基本公式 初等化簡(jiǎn)求積分（ 2時(shí) ）引入： 微分問(wèn)題的反問(wèn)題，運(yùn)算的反運(yùn)算.一. 不定積分的定義:1 原函數(shù)： 例1 填空: ; ( ; ; ;. 定義. 注意是的一個(gè)原函數(shù). 原函數(shù)問(wèn)題的基本內(nèi)容：存在性，個(gè)數(shù)，求法. 原函數(shù)的個(gè)數(shù):Th 若是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù), 則對(duì) Const，都是在區(qū)間上的原函數(shù)；若也是在區(qū)間上的原函數(shù)， 則必有. ( 證 ) 可見(jiàn)，若有原函數(shù)，則的全體原函數(shù)所成集合為. 原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).

2、 ( 下章給出證明 ).可見(jiàn), 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有原函數(shù); 若在區(qū)間上有原函數(shù), 則在區(qū)間上有介值性.例2 已知為的一個(gè)原函數(shù), =5 . 求.2. 不定積分 原函數(shù)族：: 定義, 不定積分的記法, 幾何意義. 例3 ; . 3. 不定積分的基本性質(zhì): 以下設(shè)和有原函數(shù). . (先積后導(dǎo), 形式不變). . (先導(dǎo)后積, 多個(gè)常數(shù)) 時(shí)， 由、可見(jiàn), 不定積分是線性運(yùn)算, 即對(duì), 有 ( 當(dāng)時(shí),上式右端應(yīng)理解為任意常數(shù). ) 例4 . 求 . (=2 ).二. 不定積分基本公式: 基本積分表. 1P240242 公式114. 例5 . 三利用初等化簡(jiǎn)計(jì)算不定積分: 參閱4P181.例6 .

3、 求.例7 .例8 .例9 .例10 ; 例11 .例12 . Ex 1P244 2，3，4 ； 4P247254 13，5，6，72 . § 2 換元積分法與分部積分法 （1 0 時(shí) ） 一. 第一類(lèi)換元法 湊微法： 由 引出湊微公式.Th 若 連續(xù)可導(dǎo), 則 該定理即為： 若函數(shù)能分解為 就有 .例1 .例2 .例3 常見(jiàn)微分湊法：4P183190.湊法1 例4 例5 例6 例7 由例47可見(jiàn)，常可用初等化簡(jiǎn)把被積函數(shù)化為型，然后用湊法1. 例8 . . 湊法2 . 特別地, 有 . 和 . 例9 .例10 例11 .例12 =.湊法3 例13 例14 1P247 E6 例15

4、. 例16 湊法4 .例17 湊法5 例18 湊法6 .例19 .其他湊法舉例:例20 .例21 例22 .例23 . 4P191 E28例24 . 4P191 E28例25 例26 . Ex 1P253254 1(24)； 4 254256 7481.二. 第二類(lèi)換元法 拆微法：2P192 從積分 出發(fā)，從兩個(gè)方向用湊微法計(jì)算，即 = = =引出拆微原理.Th2 設(shè)是單調(diào)的可微函數(shù),并且又 具有原函數(shù). 則有換元公式 (證)參2P192.常用代換有所謂無(wú)理代換, 三角代換, 雙曲代換, 倒代換, 萬(wàn)能代換, Euler代換等.我們著重介紹三角代換和無(wú)理代換. 1. 三角代換: 4P194.

5、正弦代換: 正弦代換簡(jiǎn)稱(chēng)為“弦換”. 是針對(duì)型如的根式施行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 令, 則 例27 解法一 直接積分; 解法二 用弦換.例28 . （ 參閱例11 ）例29 . 正切代換: 正切代換簡(jiǎn)稱(chēng)為“切換”. 是針對(duì)型如的根式施行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 利用三角公式即 令 . 此時(shí)有 變量還原時(shí), 常用所謂輔助三角形法.例30 . 解 令 有. 利用例22的結(jié)果, 并用輔助三角形, 有 = = 例31 1P249250 E11 正割代換: 正割代換簡(jiǎn)稱(chēng)為“割換”. 是針對(duì)型如 的根式施行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 利用三角公式 令 有 變量還愿時(shí), 常用輔助三角

6、形法. 例32 解 .例33 .解法一 （ 用割換 ） 解法二 （ 湊微 ） 參閱1P250 E12. 2. 無(wú)理代換: 4P192. 若被積函數(shù)是的有理式時(shí), 設(shè)為的最小公倍數(shù),作代換, 有. 可化被積函數(shù)為 的有理函數(shù). 例34 .例35 .若被積函數(shù)中只有一種根式或可試作代換或. 從中解出來(lái). 例36 . 例37 例38 (給出兩種解法)例39 .本題還可用割換計(jì)算, 但較繁.3. 雙曲代換: 利用雙曲函數(shù)恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化簡(jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 如: :參閱復(fù)旦大學(xué) (陳傳璋等)編, 數(shù)學(xué)分析, 上冊(cè)P24.例40 .本題可用切換計(jì)算,但歸結(jié)為積

7、分, 該積分計(jì)算較繁. 參閱后面習(xí)題課例3.例41 ( 例30曾用切換計(jì)算過(guò)該題. 現(xiàn)用曲換計(jì)算 ).解 .例42 . ( 例32曾用割換計(jì)算過(guò)該題. 現(xiàn)用曲換計(jì)算 ).解 4. 倒代換: 當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù), 且分子分母均為“因式”時(shí), 可試用倒代換例43 .5. 萬(wàn)能代換: 萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分(參1P261). 令， 就有 ， ， 例44 .解法一 ( 用萬(wàn)能代換 ) .解法二 ( 用初等化簡(jiǎn) ) .解法三 ( 用初等化簡(jiǎn), 并湊微 ) 例45 2P198E35解 = .代換法是一種很靈活的方法, 參閱4P204 例49. Ex 1P245 1(25)(27)(28)(

8、32); 4P256 8284. 三. 分部積分法: 導(dǎo)出分部積分公式. 介紹使用分部積分公式的一般原則. 1. 冪 X 型函數(shù)的積分: 分部積分追求的目標(biāo)之一是: 對(duì)被積函數(shù)兩因子之一爭(zhēng)取求導(dǎo), 以使該因子有較大簡(jiǎn)化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù). 代價(jià)是另一因子用其原函數(shù)代替( 一般會(huì)變繁 ), 但總體上應(yīng)使積分簡(jiǎn)化或能直接積出. 對(duì)“冪”型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α啊鼻髮?dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù). 例46 (冪對(duì)搭配) 例47 (冪三搭配) 例48 (冪指搭配) 例49 (冪指搭配) 例50 例51 (冪反搭配) 例52 2 建立所求積分的方程求積分: 分部積分追求的另一

9、個(gè)目標(biāo)是: 對(duì)被積函數(shù)兩因子之一求導(dǎo), 進(jìn)行分部積分若干次后, 使原積分重新出現(xiàn), 且積分前的符號(hào)不為 1. 于是得到關(guān)于原積分的一個(gè)方程. 從該方程中解出原積分來(lái). 例53 例54 求 和 解 解得 例55 解 = = （參閱例41）解得 例56 = ，解得 . 例57 = =,解得 . Ex 1P254 2; 4P256257 8588. § 3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分簡(jiǎn)介( 2時(shí) )一. 有理函數(shù)的積分: 1. 代數(shù)知識(shí): 1P256例1 1P256 E1 2. 部分分式的積分: 1P258例2 1P259 E2.例3 1P260 E3.二. 三角函數(shù)有理式的積分: 1P261 萬(wàn)能代換.例45 1P261262 E45.三. 某些無(wú)理函數(shù)的積分: 留為閱讀.四. 一些不能用初等函數(shù)有限表達(dá)的積分: 1P267.以及 等.Ex 1p268 1 ， 2 . 習(xí) 題 課 ( 2