高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)幾大題型

1、高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)試題的幾大題型1. 考查三角函數(shù)的圖象：這類試題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性與函數(shù)圖象交點坐標(biāo)及圖象變換問題，解決此類問題的關(guān)鍵是抓住三角函數(shù)的周期性?！镜湫屠}1】已知函數(shù)其中， （I）若求的值； （）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)?！究疾橐c】該試題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角的和差公式，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時也考查學(xué)生的運算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。解法一：（I）由得，即又（）由（I）得，依題意，又故，函數(shù)的圖像向左平移

2、個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，即從而，最小正實數(shù)解法二：（I）同解法一（）由（I）得，依題意，又，故，函數(shù)的圖像向左平移個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對恒成立亦即對恒成立。即對恒成立，故，紀(jì)從而，最小正實數(shù)【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)特點，尋找最切合的知識與方法進(jìn)行求解。【典型例題2】設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期。 （）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當(dāng)時的最大值?！究疾橐c】該試題結(jié)合函數(shù)的對稱性考查三角函數(shù)的基本公式，以及運算能力與分析問題和解決問題的能力。解：()= =,故的最小正周期為。 ()法一：在的圖象上任取一點

3、，它關(guān)于的對稱點。由條件得點在的圖象上。故當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為。法二：區(qū)間關(guān)于的對稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于對稱，故在上的最大值為在上的最大值。由（）知當(dāng)時，在上的最大值為?！窘忸}回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用三角函數(shù)公式以及對稱，再利用三角函數(shù)的圖象，求出答案，也充分展示了數(shù)形結(jié)合的有效方法。【典型例題3】設(shè)函數(shù)的最小正周期為。（）求的最小正周期。（）若函數(shù)的圖像是由的圖像向右平移個單位長度得到，求的單調(diào)增區(qū)間?！究疾橐c】該試題主要考查三角函數(shù)的基本公式，函數(shù)圖像的平移，以及正余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)。解：（），依題意得，故的最小正周期為。（）依題意得。由，解得。故的單調(diào)增區(qū)間為: ?！窘忸}

4、回顧】解答這類問題時，要求能準(zhǔn)確化簡之外還要對平移公式熟練的掌握，再利用三角函數(shù)的圖象，求出答案。【典型例題4】已知函數(shù)（）的最小正周期為， （）求的值； （）將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！究疾橐c】該試題主要考查三角函數(shù)的降冪公式及輔助角公式，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時也考查學(xué)生的運算能力，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。【解題回顧】解答這類問題時，要求能準(zhǔn)確化簡之外還要對坐標(biāo)變換公式熟練的掌握，再利用三角函數(shù)的圖象。2. 考查三角函數(shù)的性質(zhì)：這類試題主要考查三角函數(shù)的最大小值、周期性，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)公式，正確的進(jìn)

5、行三角變換。【典型例題5】已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期。(II) 求函數(shù)的最大值及取最大值時x的集合。【考查要點】該試題主要對三角函數(shù)的基本公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)中的周期和最值進(jìn)行了考查。 【解題回顧】解答這類問題時，要求能準(zhǔn)確化簡,并能正確的應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)。要注意如果系數(shù)為負(fù)時容易出錯?！镜湫屠}6】已知函數(shù)。（）求函數(shù)的最大值；（II）求函數(shù)的零點的集合?！究疾橐c】該試題主要對三角函數(shù)的降冪公式、輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)中的最值、圖象的應(yīng)用等方面進(jìn)行了考查。【解題回顧】解答這類問題時要注意整體的思想?！镜湫屠}7】已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，求的單調(diào)遞增區(qū)

6、間。 【考查要點】該試題主要考查三角函數(shù)和差化積公式的逆運用，以及正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)。解，又的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，函數(shù)的周期為，。由得，。【解題回顧】將“的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于”這個已知條件成功轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵?！镜湫屠}8】設(shè)函數(shù)。()求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；()設(shè)A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，若，且C為銳角，求【考查要點】該試題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系。解() 函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期。() =， C為銳角， 。又在ABC中，。【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用各個知識

7、點，在三角形中然后用誘導(dǎo)角公式轉(zhuǎn)化。3. 考查三角函數(shù)的求值問題：這類試題一是在題設(shè)中給出的是一個或幾個非特殊角的特定角，其結(jié)果是一個具體的實數(shù)；二是在題目中給出某種或幾種參變量關(guān)系，其結(jié)果既可能是一個具體的實數(shù)，也可能含參量的某種代數(shù)式。解此類問題時應(yīng)明確目標(biāo)，從結(jié)構(gòu)式的特點去分析以尋找到合理、簡捷的解題方法?！镜湫屠}9】已知函數(shù)（其中）的周期為，且圖象上一個最低點為。()求的解析式；（）當(dāng)，求的最值?！究疾橐c】該試題主要考查正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)。解：()由最低點為，得由，得。由點在圖像上，得，即。，故。又， 。（）。當(dāng)時，即時，取得最小值1；當(dāng)，即時，取得最大值?！窘忸}回顧】解答這類

8、問題時要注意數(shù)形結(jié)合的思想和整體的思想?！镜湫屠}10】已知函數(shù)（）求的值；（）求的最大值和最小值?！究疾橐c】該試題主要考查三角函數(shù)的特殊角的值，及值域問題。解：（）= （） 因為,所以，當(dāng)時取最大值2；當(dāng)時，去最小值-1。【解題回顧】本題對公式的簡單應(yīng)用，屬于容易題?！镜湫屠}11】在ABC中，。（）證明B=C：（）若=-，求sin的值?！究疾橐c】本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。 （）證明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因為，從而B-C

9、=0。 所以B=C. （）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=。又02B,于是sin2B=。 從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=。 所以【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用轉(zhuǎn)化的思想。把邊的比轉(zhuǎn)化成正弦的比是本題的關(guān)鍵?！镜湫屠}12】已知向量。（）若，求的值；（）若求的值?！究疾橐c】這是一道三角函數(shù)的化簡求值問題，它結(jié)合向量的平行考查學(xué)生對三角函數(shù)的基本公式的掌握情況。解：（），于是，故（）由知，從而，即，于是又由，知，或因此，或【解題回顧】對于平面向量與三角函數(shù)的綜合試題，解答時應(yīng)把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的等量關(guān)

10、系。4. 考查三角函數(shù)與其它知識結(jié)合的問題：（1） 三角函數(shù)與向量結(jié)合的問題：【典型例題13】已知向量與互相垂直，其中。()求和的值；()若，求的值?！究疾橐c】該試題結(jié)合向量的知識考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系該題要求學(xué)生對平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，三角函數(shù)中的平方公式和角的確定熟練掌握。解：()與互相垂直，即。又，。又，。()，。故。【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用向量垂直的坐標(biāo)運算?！镜湫屠}14】在中，角所對的邊分別為，且滿足， 。（）求的面積；（）若，求的值?！究疾橐c】該試題結(jié)合向量考查三角變換在三角形中的應(yīng)用，同時考查倍角公式，三角形面積公式和正余弦定理的應(yīng)用。解：（），。又

11、， ，。（）且，或。由余弦定理得，?！窘忸}回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用幾個知識點的綜合應(yīng)用。（2） 三角函數(shù)與其它函數(shù)或一元二次方程結(jié)合的問題：【典型例題15】已知函數(shù)求的值?！究疾橐c】該試題結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)考查特殊角的三角函數(shù)值。解，故。【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用導(dǎo)數(shù)公式并能夠把看成的系數(shù)。【典型例題16】已知函數(shù)。（）求的值；（）求的最大值和最小值。【考查要點】該試題主要考查把三角函數(shù)看成一元二次方程：解：（I） （II） = =, 因為， 所以，當(dāng)時，取最大值6；當(dāng)時，取最小值【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的思想。（3） 三角函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的問題：【

12、典型例題17】已知函數(shù)，項數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差若，則當(dāng)，求的值?！究疾橐c】該試題結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考查數(shù)列的相關(guān)知識。解函數(shù)在 是增函數(shù)且為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱。，故。【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行解題。（4） 考查三角函數(shù)應(yīng)用的問題：【典型例題18】。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)

13、計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由?！究疾橐c】該試題是一道創(chuàng)新型的試題，它考查學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實生活中從已知到未知的解題過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)為生活服務(wù)的課程理念，它能發(fā)揮數(shù)學(xué)的價值，有效地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。解：由（1）得而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當(dāng)取得最小值，且最小值為。此時，在中，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇?！窘?/p>

14、題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用解應(yīng)用題的轉(zhuǎn)化思想。特別要把題中已知條件轉(zhuǎn)化成圖形。5. 解三角形的問題：解決這類問題的關(guān)鍵是正確運用正余弦定理或三角形的面積公式，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化?！镜湫屠}19】在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時，求b及c的長?！究疾橐c】本題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力。（）解：因為cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余

15、弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=4【解題回顧】解答這類問題時，應(yīng)熟練運用正余弦定理?！镜湫屠}20】中，為邊上的一點，求?！究疾橐c】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況。解：由cosADC=0，知B.由已知得cosB=，sinADC=.從而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得，所以=25?！窘忸}回顧】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，一屬于送分題。估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ！镜湫屠}21】在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b的值?！究疾橐c】該試題主要考查學(xué)生處理三角形的邊角關(guān)系問題的能力，重在正余弦定理的運用的考查。解法一：在中，則由正弦定理及余弦定理有：，化簡并整理得：又由已知，解得或（舍去）法二:由余弦定理得: .又,。又，即.由正弦定理得，故.由，解得【解題回顧】此題事實上比較簡單，但考生反應(yīng)不知從何入手對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是