向量與三角形

1、向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè) 是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設(shè),是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平

2、分,)，令（)化簡(jiǎn)得（4）為的外心。典型例題：例1：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點(diǎn)./點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，即選.例2：（03全國(guó)理4）是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ B ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，即選.例3：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂

3、足.=+=0點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，即選.練習(xí)：1已知三個(gè)頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若實(shí)數(shù)滿足：，則的值為（ ）A2 B C3 D62若的外接圓的圓心為O，半徑為1，則( )A B0 C1 D3點(diǎn)在內(nèi)部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（ ）A0 B C D4的外接圓的圓心為O，若，則是的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 5是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若，則是的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = 7（06陜西）已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D等邊三角形8已知三個(gè)頂點(diǎn)，若，則為（ ）A等腰三角