充分條件與必要條件學(xué)案

1、§ 2充分條件與必要條件(學(xué)案)J學(xué)習(xí)目的1正確理解充分條件、必要條件的意義；掌握判斷p是q的充分條件、必要條件的方法與步驟。2正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件, 必要而不充分條件, 既不充分也不必要條件的定義；并能正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件J自主整理1.“若p則q”為真命題,它是指當(dāng)p成立時(shí),q一定成立.換句話(huà)說(shuō),p成立可以推出q成立,即pq,此時(shí)我們稱(chēng)p是q的 條件.2.我們學(xué)過(guò)如下定理:若四邊形的對(duì)角線(xiàn)相互平分,則它是平行四邊形.我們把這樣的定理稱(chēng)作平行四邊形的判定定理,判定定理是數(shù)學(xué)中一類(lèi)重要的定理.在判定定理中,條

2、件是結(jié)論的 條件_.3.“若p則q”為真命題是指:當(dāng)p成立時(shí),q一定成立,即pq,q必須成立,我們稱(chēng)q是p 的 條件.4.在數(shù)學(xué)中,我們還常常討論一類(lèi)事物有什么性質(zhì).例如,函數(shù)y=x2有什么性質(zhì)等,我們把這樣的定理稱(chēng)作性質(zhì)定理,性質(zhì)定理也是數(shù)學(xué)中一類(lèi)重要的定理.在性質(zhì)定理中,“定理的結(jié)論”是“定理的條件”的 條件.5.“若p則q”為真命題,即pq,那么p是q的 條件,q是p的 條件.6.如果“pq”,并且“qp”,通常記作 pq,我們稱(chēng)p是q的 條件,簡(jiǎn)稱(chēng) 條件.7.我們常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)充要條件.p是q的充要條件也可以說(shuō)成:p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立.如果p、q分別表示兩個(gè)命題,且它們互為充要

3、條件,我們通常稱(chēng)命題p和命題q是兩個(gè) 命題.K例題講解【例1】在下列各題中,判斷A是B的什么條件,并說(shuō)明理由.(1)A:|p|2,pR, B:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根;(2)A:圓x2+y2=r2與直線(xiàn)ax+by+c=0相切, B:c2=(a2+b2)r2.解析:變式訓(xùn)練1.設(shè)曲線(xiàn)C1和C2的方程分別為F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,則點(diǎn)P(a,b)(C1C2)的一個(gè)充分條件是_.【例2】若p:ABS,q:(B)(A),則p是q的什么條件?變式訓(xùn)練2.已知p是q的充分條件,r是q的必要條件,s是r的必要條件,那么s是p的什么條件?【例3】求證:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩

4、個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件和必要條件均是m2.變式訓(xùn)練3.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.【例4】設(shè)x、yR,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy0.變式訓(xùn)練4.已知p:0<m<q:方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根,證明p是q的充要條件.基礎(chǔ)練習(xí)1.已知、是不同的兩個(gè)平面,直線(xiàn)a,直線(xiàn)b.命題p:a與b無(wú)公共點(diǎn);命題q:,則p是q的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)甲為0<x<5,乙為|x-2|<3,那么甲是乙的( )A.充分而不必要條件 B.必要而

5、不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)y=x2+bx+c(x0,+)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是( )A.b0 B.b0 C.b>0 D.b<04.設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題,如果甲是乙的必要條件,丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件,那么( )A.丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件 B.丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件C.丙是甲的充要條件 D.丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件5.“m=是直線(xiàn)(m+2)x+3my+1=0與直線(xiàn)(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂 直”的( )A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條

6、件6.設(shè)、為平面,m、n、l為直線(xiàn),則m的一個(gè)充分條件是( )A.,=l,ml B.=m, C.,m D.n,n,m7.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=,則0,x=1,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是( )A.b<0且c>0 B.b>0且c<0 C.b<0且c=0 D.b0且c=08.已知、為銳角,若p:sin<sin(+),q:+<,則p是q的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.設(shè)集合A、B是全集U的兩個(gè)子集,則AB是(A)B=U的( )A.充分不必要條件 B

7、.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知p、q都是r的必要條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,那么:(1)s是q的什么條件? (2)r是q的什么條件? (3)p是q的什么條件?11.指出下列各組命題中,p是q的什么條件(充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件,既不充分也不必要條件).(1)p:數(shù)a能被6整除,q:數(shù)a能被3整除; (2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:ABC有兩個(gè)角相等,q:ABC是正三角形; (4)p:|a·b|=a·b,q:a·b>0.12.是否存在實(shí)數(shù)p,使“4x+p<0”是“x2-

8、x-2>0”的充分條件?如果存在,求出p的取值范圍.13.求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.14.已知ab0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.15.已知二次函數(shù)y=-x2+mx-1和點(diǎn)A(3,0),B(0,3),求二次函數(shù)圖象與線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.16.在下面電路圖1-2-3中,閉合開(kāi)關(guān)A是燈泡B亮的什么條件?課后總結(jié)一、充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念,主要用來(lái)區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的下列關(guān)系.1.從邏輯推理關(guān)系上看.(1)若pq,但qp,則p是q的充分而不必要條件;(2)若qp,

9、但pq,則p是q的必要而不充分條件;(3)若pq,且qp(或pq且pq),則p是q的充要條件;(4)若pq,且qp,則p既不是q的充分條件也不是q的必要條件.對(duì)充要條件的理解和判斷,要搞清楚其定義實(shí)質(zhì):若pq,則p是q的充分條件,所謂“充分”,即要使q成立,有p成立足夠了;若qp,則p是q的必要條件,所謂“必要”,即p是q成立的必不可少的條件,缺其不可!例如:“學(xué)生”是“中學(xué)生”的必要條件,而“中學(xué)生”是“學(xué)生”的充分條件.2.從集合與集合之間關(guān)系上看. (1)若AB,則A是B的充分條件;(2)若AB,則A是B的必要條件;(3)若A=B,則A是B的充要條件;(4)若AB是BA,則A既不是B的充

10、分條件,也不是B的必要條件. 設(shè)A=x|xp,B=x|xq,即x具有性質(zhì)p,則xA,若x具有性質(zhì)q,則xB.如果AB,就是說(shuō)若xA,則xB,即x具有性質(zhì)p,則x必具有性質(zhì)q,即pq;類(lèi)似地,A=B與pq等價(jià).二、一般地,關(guān)于充要條件的判斷主要有以下幾種方法:(1)定義法:直接利用定義進(jìn)行判斷.(2)等價(jià)法:“pq”表示p等價(jià)于q,等價(jià)命題可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換,當(dāng)我們要證明p成立時(shí),就可以去證明q成立.這里要注意“原命題逆否命題”“否命題逆命題”只是等價(jià)形式之一,對(duì)于條件或結(jié)論是不等式關(guān)系(否定式)的命題一般應(yīng)用等價(jià)法.(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷:如果條件p和結(jié)論q都是集合,那么若pq,則p是q

11、的充分條件;若pq,則p是q的必要條件;若p=q,則p是q的充要條件.§ 2充分條件與必要條件(學(xué)案)J學(xué)習(xí)目的1正確理解充分條件、必要條件的意義；掌握判斷p是q的充分條件、必要條件的方法與步驟。2正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件, 必要而不充分條件, 既不充分也不必要條件的定義；并能正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件J自主整理1.“若p則q”為真命題,它是指當(dāng)p成立時(shí),q一定成立.換句話(huà)說(shuō),p成立可以推出q成立,即pq,此時(shí)我們稱(chēng)p是q的充分條件.2.我們學(xué)過(guò)如下定理:若四邊形的對(duì)角線(xiàn)相互平分,則它是平行四邊形.我們把這樣的定理稱(chēng)

12、作平行四邊形的判定定理,判定定理是數(shù)學(xué)中一類(lèi)重要的定理.在判定定理中,條件是結(jié)論的充分條件_.3.“若p則q”為真命題是指:當(dāng)p成立時(shí),q一定成立,即pq,q必須成立,我們稱(chēng)q是p 的必要條件.4.在數(shù)學(xué)中,我們還常常討論一類(lèi)事物有什么性質(zhì).例如,函數(shù)y=x2有什么性質(zhì)等,我們把這樣的定理稱(chēng)作性質(zhì)定理,性質(zhì)定理也是數(shù)學(xué)中一類(lèi)重要的定理.在性質(zhì)定理中,“定理的結(jié)論”是“定理的條件”的必要條件.5.“若p則q”為真命題,即pq,那么p是q的充分條件,q是p的必要條件.6.如果“pq”,并且“qp”,通常記作 pq,我們稱(chēng)p是q的充分且必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.7.我們常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)充要條件.

13、p是q的充要條件也可以說(shuō)成:p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立.如果p、q分別表示兩個(gè)命題,且它們互為充要條件,我們通常稱(chēng)命題p和命題q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題.K例題講解【例1】在下列各題中,判斷A是B的什么條件,并說(shuō)明理由.(1)A:|p|2,pR, B:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根;(2)A:圓x2+y2=r2與直線(xiàn)ax+by+c=0相切, B:c2=(a2+b2)r2.解析:A是條件,B是結(jié)論.若AB,則A是B的充分條件,若BA,則A是B的必要條件,借助方程和不等式及解析幾何的知識(shí)來(lái)判斷.答案:(1)當(dāng)|p|2時(shí),例如p=3,則方程x2+3x+6=0無(wú)實(shí)根,而方程x2+px+p+3=0有實(shí)根,必有p

14、-2或p6,可推出|p|2,故A是B的必要不充分條件.(2)若圓x2+y2=r2與直線(xiàn)ax+by+c=0相切,圓心到直線(xiàn)ax+by+c=0的距離等于r,即r=,所以c2=(a2+b2)r2;反過(guò)來(lái),若c2=(a2+b2)r2,則=r成立,說(shuō)明x2+y2=r2的圓心(0,0)到直線(xiàn)ax+by+c=0的距離等于r,即圓x2+y2=r2與直線(xiàn)ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要條件.小結(jié)對(duì)于涉及充要條件的判斷問(wèn)題,必須以準(zhǔn)確、完整地理解充要條件的概念為基礎(chǔ),有些問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題后才容易判斷.變式訓(xùn)練1.設(shè)曲線(xiàn)C1和C2的方程分別為F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,則點(diǎn)P(a,b)(

15、C1C2)的一個(gè)充分條件是_.解析:P點(diǎn)不在C1與C2中至少一條曲線(xiàn)上,或C1C2=.答案:F1(a,b)0或F2(a,b)0或F1(a,b)0且F2(a,b)0或C1C2=等(答案不唯一)【例2】若p:ABS,q:(B)(A),則p是q的什么條件?解析:與集合有關(guān)的問(wèn)題可用韋恩圖分析說(shuō)明.答案:利用集合的圖示法, 如圖1-2-2,ABS(B)(A),(B)(A)ABS. 圖1-2-2p是q的充分條件,也是必要條件,即p與q互為充要條件. 小結(jié) 本題采用的是從條件直接推結(jié)論的方法,其中突出了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法(圖示法).變式訓(xùn)練2.已知p是q的充分條件,r是q的必要條件,s是r的必要條件,

16、那么s是p的什么條件?答案:由題意可知:pq,rq,sr,所以ps,即s是p的必要條件.【例3】求證:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件和必要條件均是m2.解析:本題的條件是p:m2,結(jié)論是q:方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,然后要明確充分性的證明是pq,必要性的證明是qp.證明:(1)充分性:因?yàn)閙2,所以=m2-40.所以x2+mx+1=0有實(shí)根,兩根設(shè)為x1、x2,由韋達(dá)定理,知x1x2=1>0,所以x1與x2同號(hào).又x1+x2=-m-2<0,所以x1、x2同為負(fù)實(shí)數(shù),即x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件是m2.(2)必要性:因?yàn)閤2+mx+1=0

17、有兩個(gè)負(fù)實(shí)根x1和x2,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=-(x1+)-2=0.故m2,即x2+mx+1=0有兩負(fù)實(shí)根的必要條件是m2. 綜上,m2是x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件.小結(jié)本題關(guān)鍵是分清命題的條件p,結(jié)論q分別表示什么,且分清“充分條件”和“必要條件”的不同.變式訓(xùn)練3.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.答案:(1)a=0時(shí)適合.(2)當(dāng)a0時(shí),顯然方程沒(méi)有零根,若方程有兩異號(hào)的實(shí)根,則a<0;若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根,則必須滿(mǎn)足解得0<a1.綜上所述,若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根,則a1;反之,若a1,則方程至少有一個(gè)

18、負(fù)的實(shí)根.因此,關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是a1.【例4】設(shè)x、yR,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy0.解析:要證充要條件,需要證明充分性,也要證明必要性.對(duì)x、y的取值進(jìn)行討論,再綜合總結(jié).證明:充分性:若xy=0,那么,x=0,y0;x0,y=0;x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,當(dāng)x>0,y>0時(shí),|x+y|=x+y=|x|+|y|;當(dāng)x<0,y<0時(shí),|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.總之,當(dāng)

19、xy0時(shí),有|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,所以|xy|=xy.所以xy0.小結(jié) 充要條件的證明關(guān)鍵是根據(jù)定義確定哪是已知條件,哪是結(jié)論,然后搞清充分性是證明哪一個(gè)命題,必要性是證明哪一個(gè)命題.變式訓(xùn)練4.已知p:0<m<q:方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根,證明p是q的充要條件.答案:證明:當(dāng)m=0時(shí),方程變?yōu)?2x+3=0,僅有一個(gè)實(shí)根x=.當(dāng)m0時(shí),且=4-12m>0,即m<且m0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè)兩根為x1、

20、x2.若0<m<時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且x1+x2=>0,x1x2=>0,故方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根,即0<m<方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根.若方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根,則有所以0<m<,即方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根0<m<.所以p是q的充要條件.基礎(chǔ)練習(xí)1.已知、是不同的兩個(gè)平面,直線(xiàn)a,直線(xiàn)b.命題p:a與b無(wú)公共點(diǎn);命題q:,則p是q的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:、無(wú)公共點(diǎn)a、b

21、無(wú)公共點(diǎn);a、b無(wú)公共點(diǎn)不能推出、無(wú)公共點(diǎn),即不能推出,則p是q的必要而不充分條件.答案:B2.設(shè)甲為0<x<5,乙為|x-2|<3,那么甲是乙的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:由不等式|x-2|<3, 得-1<x<5. 因?yàn)?<x<5-1<x<5, 但-1<x<50<x<5,所以甲是乙的充分不必要條件.答案:A3.函數(shù)y=x2+bx+c(x0,+)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是( )A.b0 B.b0 C.b>0 D.b<0解析:二次函數(shù)的單調(diào)

22、區(qū)間應(yīng)以對(duì)稱(chēng)軸來(lái)劃分.二次函數(shù)y=x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=,要使函數(shù)在0,+)上是單調(diào)函數(shù),需使0,即b0,反之也成立.答案:A4.設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題,如果甲是乙的必要條件,丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件,那么( )A.丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件 B.丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件C.丙是甲的充要條件 D.丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件解析:因?yàn)榧资且业谋匾獥l件,所以乙甲;又因?yàn)楸且业某浞謼l件,但不是乙的必要條件,所以丙乙,但乙丙.如圖.綜上有丙乙甲,但乙丙,故有丙甲,但甲丙,即丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件.答案:A5.“m=是直線(xiàn)(m+2)x+3

23、my+1=0與直線(xiàn)(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂 直”的( )A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析:由于直線(xiàn)方程中含有字母m,需對(duì)m進(jìn)行討論.(m+2)x+3my+1=0與(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直的充要條件是(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即(m+2)(4m-2)=0, 所以m=-2或m=.顯然m=只是上邊集合的真子集.故為充分不必要條件. 答案:B6.設(shè)、為平面,m、n、l為直線(xiàn),則m的一個(gè)充分條件是( )A.,=l,ml B.=m, C.,m D.n,n,m解析:利用充分條件的定義,再結(jié)合線(xiàn)面關(guān)系求

24、解.對(duì)于A,=l,ml,m是否垂直,決定于m的位置關(guān)系;對(duì)于B,與、的交線(xiàn)m沒(méi)有必然的聯(lián)系,即不一定有m;對(duì)于C,則、的位置關(guān)系可相交,可平行;對(duì)于D,n,n,則有,又m,所以是m的一個(gè)充分條件.答案:D7.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=,則0,x=1,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是( )A.b<0且c>0 B.b>0且c<0 C.b<0且c=0 D.b0且c=0解析:本題可通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法解決.先利用函數(shù)圖像的變換作出f(x)的圖像,如下圖:注意f(x)=0有三個(gè)根,x1=0,x2=1,x3=2,且有f(x)0,令f(x

25、)=t0,則方程為 t2+bt+c=0有實(shí)數(shù)解(t0)需滿(mǎn)足t1+t2=-b0,即b0.t1·t2=c0,排除B、D(因B項(xiàng):c<0,D項(xiàng)b0).對(duì)于A,不妨令b=-3,c=2,則方程為t2-3t+2=0,解之,得t1=1,t2=2,即f(x)=1或f(x)=2,由圖知有8個(gè)根,排除A,故選C.實(shí)際上當(dāng)b<0,且c=0時(shí),f2(x)+bf(x)=0.f(x)=0或f(x)=-b>0,由f(x)=-b>0,結(jié)合圖像,此時(shí)有4個(gè)根,f(x)=0有根為0,1,2計(jì)7個(gè).答案:C8.已知、為銳角,若p:sin<sin(+),q:+<,則p是q的( )A.充

26、分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:可以利用特殊值法加以否定,從而得到正確結(jié)論.令=,=,滿(mǎn)足p,而q不成立,故pq;而當(dāng)q成立時(shí),由>+>,利用單調(diào)性明顯可得p成立.答案:B9.設(shè)集合A、B是全集U的兩個(gè)子集,則AB是(A)B=U的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:直接推較為復(fù)雜,可借助Venn圖來(lái)求解.運(yùn)用Venn圖.AB時(shí),如圖所示.則(A)B=U成立.當(dāng)A=B時(shí),如圖所示.(A)B=(B)B=U成立,即(A)B=U成立時(shí),可有AB. 答案:A10.已知p、q都是r的必要條件,

27、s是r的充分條件,q是s的充分條件,那么:(1)s是q的什么條件? (2)r是q的什么條件? (3)p是q的什么條件?解析:可將已知r、p、q、s的關(guān)系用圖表示,然后利用圖示解答問(wèn)題.答案:由圖可知:(1)因?yàn)閝s,srq,所以s是q的充要條件.(2)因?yàn)閞q,qsr,所以r是q的充要條件.(3)因?yàn)閝srp,而pq,所以p是q的必要不充分條件.11.指出下列各組命題中,p是q的什么條件(充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件,既不充分也不必要條件).(1)p:數(shù)a能被6整除,q:數(shù)a能被3整除; (2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:ABC有兩個(gè)角相等,q:ABC是正三角形

28、; (4)p:|a·b|=a·b,q:a·b>0.解析:判斷p是q的什么條件,主要判斷pq及qp兩命題的正確性,若pq真,則p是q成立的充分條件;若qp真,則p是q成立的必要條件.答案:(1)因?yàn)閜q,且qp,所以p是q的充分不必要條件.(2)因?yàn)閜q,且qp,所以p是q的充分不必要條件.(3)因?yàn)閜q,且qp,所以p是q的必要不充分條件.(4)因?yàn)閍·b=0時(shí),|a·b|=a·b,所以|a·b|=a·ba·b>0,而當(dāng)a·b>0時(shí),有|a·b|=a·b,所

29、以p是q的必要不充分條件.12.是否存在實(shí)數(shù)p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分條件?如果存在,求出p的取值范圍.解析:“4x+p<0”是條件,“x2-x-2>0”是結(jié)論,先解出這兩個(gè)不等式,再探求符合條件的p的范圍.答案:x2-x-2>0的解是x>2或x<-1,由4x+p<0得x<.要想使x<時(shí)x>2或x<-1成立,必須有-1,即p4,所以當(dāng)p4時(shí), -1x<-1x2-x-2>0.所以p4時(shí),“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分條件.13.求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=

30、0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.解析:首先分清條件與結(jié)論.條件是“a+b+c=0”,結(jié)論是“方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1”;證明充分性是證明“條件”“結(jié)論”,證明必要性是證明“結(jié)論”“條件”.證明:必要性:因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個(gè)根為1,所以x=1滿(mǎn)足方程ax2+bx+c=0.所以a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.充分性:因?yàn)閍+b+c=0,所以c=-a-b.代入方程ax2+bx+c=0中可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.故方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1.14.已知ab0,求證:a+b=1的充要條件是

31、a3+b3+ab-a2-b2=0.解析:本題中ab0是大前提.證明充要條件即證明既是充分條件又是必要條件,必須證明必要性與充分性都成立.證明:先證必要性:因?yàn)閍+b=1(ab0),即b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.所以必要性成立.再證充分性:因?yàn)閍3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又因?yàn)閍b0,所以a0且b0,從而a2-ab+b20.所以a+b-1=0,即a+b

32、=1.故充分性成立.15.已知二次函數(shù)y=-x2+mx-1和點(diǎn)A(3,0),B(0,3),求二次函數(shù)圖象與線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.解析:應(yīng)先根據(jù)圖像與線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn),導(dǎo)出結(jié)論成立的必要條件,即求出m的范圍,再證明其為充分條件.答案:(1)必要性:由已知,得線(xiàn)段AB的方程為x+y=3(0x3),因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像與線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解.將y=3-x代入y=-x2+mx-1,得x2-(1+m)x+4=0(0x3).令f(x)=x2-(1+m)x+4(如圖),則有即解之,得3<m.(2)充分性:當(dāng)3<m時(shí),x1=>=0,x2=3.所以方程x2-(1+m)x+4=0有兩個(gè)不同的實(shí)根,且兩根x1、x2滿(mǎn)足0<x1<x23,即方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解.所以二次函數(shù)y=-x2+mx-1和線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是3<m.16.在下面電路圖1-2-3中,閉合開(kāi)關(guān)A是燈泡B亮的什么條