動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律

1、第7章 動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律§7-1動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律物體之間或物體內(nèi)部各部分之間因運(yùn)動(dòng)發(fā)生相對(duì)位置變化的過(guò)程稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng)。它是物質(zhì)的各種各樣運(yùn)動(dòng)形式中最簡(jiǎn)單、也是最普遍的一種，例如：行星繞太陽(yáng)的轉(zhuǎn)動(dòng)、宇宙飛船的航行、機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)、彈簧的伸長(zhǎng)或壓縮、水和空氣等流體的流動(dòng)等等，都是機(jī)械運(yùn)動(dòng)。而各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式如生命現(xiàn)象、化學(xué)反應(yīng)等，雖然也有位置的變化，但并不歸結(jié)為機(jī)械運(yùn)動(dòng)。機(jī)械運(yùn)動(dòng)有兩種量度：如果存在的機(jī)械運(yùn)動(dòng)仍以保持機(jī)械運(yùn)動(dòng)的形式進(jìn)行傳遞，那么應(yīng)以動(dòng)量來(lái)量度；如果機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降倪\(yùn)動(dòng)，應(yīng)以動(dòng)能來(lái)量度。即動(dòng)量是以機(jī)械運(yùn)動(dòng)來(lái)量度機(jī)械運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能是以機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為一定量的其它形

2、式的運(yùn)動(dòng)的能力來(lái)量度機(jī)械運(yùn)動(dòng)的，動(dòng)量和動(dòng)能是研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)不可缺少的物理量。7.1.1動(dòng)量、動(dòng)量定理1、動(dòng)量 物體的質(zhì)量與其速度的乘積，稱為該物體的動(dòng)量，即。在直角坐標(biāo)系中動(dòng)量可表示為 （7-1-1）由（7-1-1）式知，動(dòng)量是一個(gè)矢量，具有瞬時(shí)性。2、動(dòng)量定理若在時(shí)刻，物體的動(dòng)量為，經(jīng)過(guò)時(shí)間段，其動(dòng)量為，在時(shí)間微元段上，其動(dòng)量的增量為若在該時(shí)間元段內(nèi)，物體受力作用，由牛頓第二定律知有 （7-1-2）關(guān)系成立。若在的時(shí)間段上，物體受力作用，將每一個(gè)時(shí)間元段上動(dòng)量的增量加起來(lái)，即在的時(shí)間段上對(duì)其求和，則該時(shí)間段上的動(dòng)量增量為 （7-1-3）（7-1-2）式與（7-1-3）式就是動(dòng)量定理的表述。人們

3、又常把（7-1-3）式的右項(xiàng)稱為力的沖量。對(duì)于由多個(gè)物體所組成的系統(tǒng)，其總動(dòng)量等于各物體動(dòng)量的矢量和，即系統(tǒng)總動(dòng)量為 系統(tǒng)所受的力可分為：外力、內(nèi)力，外力即來(lái)自系統(tǒng)外的作用，內(nèi)力即指系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用力。由牛頓第三定律知：內(nèi)力在整個(gè)系統(tǒng)中總是成對(duì)、等大、反向地存在，因此所有內(nèi)力的矢量和等于零。由此知，在力作用下，系統(tǒng)中各物體發(fā)生了機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞，即有動(dòng)量的變化，但內(nèi)力雖然使系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量發(fā)生改變，卻與系統(tǒng)總動(dòng)量的改變無(wú)關(guān)，系統(tǒng)總動(dòng)量的改變只與外力的時(shí)間作用過(guò)程有關(guān)，由（7-1-3）式可得 （7-1-4）（7-1-4）式告訴我們：系統(tǒng)的總動(dòng)量的改變等于合外力的沖量。（7-1-4）式就是

4、系統(tǒng)的動(dòng)量定理。7.1.2動(dòng)量守恒定律1、動(dòng)量守恒定律由（7-1-3）式和（7-1-4）式知，當(dāng)物體或物體系統(tǒng)不受外力作用時(shí)，有 （7-1-5）或 （7-1-6）（7-1-5）式和（7-1-6）式就是動(dòng)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它的內(nèi)容就是：若在一物理過(guò)程中，系統(tǒng)不受外力或所受合外力等于零，系統(tǒng)的總動(dòng)量將保持不變。這一自然規(guī)律叫動(dòng)量守恒定律，是自然界的基本規(guī)律之一。圖7-1-1沖力-時(shí)間曲線動(dòng)量定理常用來(lái)研究碰撞過(guò)程。碰撞過(guò)程的特征是：兩物體碰撞瞬間，沖力很大；作用時(shí)間很短。兩物體通過(guò)碰撞，進(jìn)行了機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞，彼此的動(dòng)量都有變化。一般說(shuō)來(lái)。對(duì)于兩個(gè)碰撞的物體，由于它們間的內(nèi)作用力（沖力）遠(yuǎn)大于

5、外作用力，外作用力可忽略，在碰撞過(guò)程中近似地看作滿足動(dòng)量守恒。圖7-1-1給出了碰撞瞬間沖力的示意圖。用動(dòng)量守恒定律不難解釋我們經(jīng)常目睹的現(xiàn)象：人走向小車一端時(shí)，小車將向另一端移動(dòng)；子彈從槍膛射出時(shí)，槍身會(huì)向后坐；爆炸的碎片總是飛向四面八方；當(dāng)火箭向后噴射出熾熱的氣體時(shí)，火箭將呼嘯地沖向藍(lán)天；。在這些現(xiàn)象中都遵從著動(dòng)量守恒定律。2、中微子的提出至今人們還未發(fā)現(xiàn)違背動(dòng)量守恒定律的例子存在。每當(dāng)在實(shí)驗(yàn)中觀察到似乎是違反動(dòng)量守恒守律的現(xiàn)象時(shí)，物理學(xué)家就提出一些新的假設(shè)來(lái)補(bǔ)救，最后總是以有新發(fā)現(xiàn)而勝利告終，例如對(duì)衰變過(guò)程的認(rèn)識(shí)和中微子的提出。衰變是一個(gè)原子核A射出一個(gè)電子e后轉(zhuǎn)化為另一原子核B的過(guò)程，

6、如果沒(méi)有其它粒子參與，則其過(guò)程可寫為若A是孤立的，且靜止的，即初態(tài)總動(dòng)量是為零，則不管其過(guò)程細(xì)節(jié)如何，由動(dòng)量守恒定律可預(yù)言：B不可避免地將在射出的電子e的反方向上反沖，才能使終態(tài)總動(dòng)量等于零。但衰變的云室照片顯示，B和電子e的經(jīng)跡并不在一條直線上，終態(tài)總動(dòng)量不為零，實(shí)驗(yàn)中好象出現(xiàn)了違背動(dòng)量守恒定律的反?，F(xiàn)象。為了解釋衰變中出現(xiàn)的反?，F(xiàn)象，確保動(dòng)量守恒定律的成立，W.泡利(W.Pauli)于1930年提出了假設(shè)：在衰變中有另一個(gè)未被發(fā)現(xiàn)的粒子中微子存在，正是B、電子e和中微子的總動(dòng)量為零。由于中微子既不帶電，其質(zhì)量又凈乎為零，在實(shí)驗(yàn)中極難測(cè)量，直到26年后，即1956年才終于在實(shí)驗(yàn)中直接找到了中

7、微子，證實(shí)泡利的假設(shè)是正確的，當(dāng)然也再次證實(shí)動(dòng)量守恒定律的成立。3、火箭飛行原理 作為動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，下面來(lái)討論火箭的飛行原理?；鸺怯钪婧叫械倪\(yùn)載工具?；鸺w行時(shí)，燃料在燃燒室中燃燒，向火箭飛行的相反方向不斷噴出速度很大的氣體，使火箭獲得很大的動(dòng)量，從而獲得巨大的前進(jìn)速度。火箭的飛行不需要空氣的作用，它自身帶有助燃室，因此可以在空氣稀薄的高空或外層空間飛行。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)火箭在自由空間飛行，即它不受引力及空氣阻力等任何外力的影響。因?yàn)榛鸺亲冑|(zhì)量系統(tǒng)，不同時(shí)刻質(zhì)量不同，噴出氣體的速度不同，故不能從過(guò)程的始末狀態(tài)來(lái)考慮，只能從到時(shí)刻的元過(guò)程來(lái)分析。把某時(shí)刻的火箭(包括火箭體和尚存的燃料等)

8、作為研究對(duì)象，設(shè)時(shí)刻，總質(zhì)量為，速度為。經(jīng)過(guò)d時(shí)間，由于火箭噴出氣體，箭體的速度增加為，火箭體的質(zhì)量變?yōu)?由于火箭體的質(zhì)量減小，故為負(fù)值)。時(shí)間內(nèi)噴出氣體質(zhì)量為，其噴出時(shí)相對(duì)于火箭體的速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有展開(kāi)此等式，并略去二階無(wú)窮小量，可得設(shè)火箭點(diǎn)火時(shí)，其質(zhì)量為，初速度為，燃料燒完后，火箭質(zhì)量為，速度為，則對(duì)上式積分，有由此得此式表明，火箭在燃燒后所增加的速度和噴氣速度成正比，也和火箭始末質(zhì)量比的自然對(duì)數(shù)成正比，這結(jié)論給出了提高火箭速度的方法。 在目前的技術(shù)條件下，一般火箭的噴氣速度可達(dá)到2500m·s-1左右，比如要使火箭的速度達(dá)到7900 m·s-1，根據(jù)上式計(jì)

9、算所需的質(zhì)量比為24，即1噸重的火箭必須載23噸重的燃料，這在目前的技術(shù)條件下是困難的，一般的火箭的質(zhì)量比能達(dá)到6左右。為了使火箭獲得高速度，現(xiàn)在采用多級(jí)火箭。一級(jí)的燃料用完時(shí)，殼體將自行脫落，隨之第二級(jí)火箭將被點(diǎn)燃。以此下去，火箭最后將獲得很大的速度。以三級(jí)火箭為例，設(shè)三級(jí)火箭質(zhì)量比分別為。第一級(jí)的初速度為零，第一級(jí)脫落時(shí)末速度為，第二級(jí)脫落時(shí)末速度為，最后速度為，仍設(shè)火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭體的速度為，則有三式相加，則由于質(zhì)量比大于1，因而火箭級(jí)數(shù)越多，最后獲得的速度越高。當(dāng)然，實(shí)際中由于空氣阻力和地球引力的影響，最后達(dá)到的速度比理論計(jì)算值要低。§7-2動(dòng)量守恒和空間平移對(duì)稱性7

10、.2.1對(duì)稱性1、什么是對(duì)稱性在千變?nèi)f化的物質(zhì)世界中，存在著一類普遍具有的特性，那就是對(duì)稱性，如：人的身體、植物的枝葉、潔白的雪花、蝴蝶的翅膀、晶體的結(jié)構(gòu)等等，舉不勝數(shù)。對(duì)稱就是美，這已成了很多人的共識(shí)，見(jiàn)圖7-2-1。 （a）樹葉 （b）蝴蝶 （c）NaCl晶體圖7-2-1 自然界表現(xiàn)出的對(duì)稱性那么，對(duì)稱的概念到底是什么？對(duì)稱性的定義：如果某個(gè)體系（即研究對(duì)象）經(jīng)某種操作（或稱變換）后，其前后狀態(tài)等價(jià)（相同），則稱該體系對(duì)此操作具有對(duì)稱性，相應(yīng)的操作稱為對(duì)稱操作。簡(jiǎn)言之，對(duì)稱性就是某種變換下的不變性。例如：如果把球繞通過(guò)球心的任意軸旋轉(zhuǎn)一下，球就處于不同的狀態(tài)，但這些不同的狀態(tài)沒(méi)有任何區(qū)別，

11、都是相同的，旋轉(zhuǎn)是一種操作，因此我們說(shuō)球具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。又如：我們站在鏡子面前，鏡子反射的像與我們一模一樣，反射就是一種操作，我們及像具有“鏡面反射對(duì)稱”，簡(jiǎn)稱鏡面對(duì)稱。在物理學(xué)中，存在著兩類不同性質(zhì)的對(duì)稱性，一類是某個(gè)系統(tǒng)或者某件具體事物的對(duì)稱性，在前邊敘述的那些對(duì)稱性即為此類。另一類是物理規(guī)律的對(duì)稱性。物理規(guī)律的對(duì)稱性是指經(jīng)過(guò)一定的操作后，物理規(guī)律的形式不變。比如：牛頓定律在伽利略時(shí)空變換式下保持形式不變就是這一類。由于變換或說(shuō)操作的方式不同，可以有各種不同的對(duì)稱性。最常見(jiàn)的的對(duì)稱操作是時(shí)空對(duì)稱操作，相應(yīng)的對(duì)稱性稱為時(shí)空對(duì)稱性。時(shí)空對(duì)稱操作可分為：空間操作，如空間平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、鏡面反射等；時(shí)

12、間操作，如時(shí)間平移、時(shí)間反演等；時(shí)空聯(lián)合操作，如伽利略時(shí)空變換、洛倫茲時(shí)空變換等。2、對(duì)稱性原理自然規(guī)律反映了事物之間的“因果關(guān)系”，就是在一定的條件（原因）下會(huì)出現(xiàn)一定的現(xiàn)象（結(jié)果）。因果之間規(guī)律性的聯(lián)系體現(xiàn)為可重復(fù)性和預(yù)見(jiàn)性，也就是說(shuō)相同（或等價(jià)）的原因必定產(chǎn)生相同（或等價(jià)）的結(jié)果。用對(duì)稱性的語(yǔ)言來(lái)表述這個(gè)結(jié)論就給出了對(duì)稱性原理。原理的內(nèi)容：原因中的對(duì)稱性必然反映在結(jié)果中，結(jié)果中的對(duì)稱性至少和原因中的對(duì)稱性一樣多；結(jié)果的不對(duì)稱性必然出自原因中的不對(duì)稱性，原因中的不對(duì)稱性至少和結(jié)果中的不對(duì)稱性一樣多。對(duì)稱性原理是自然界的一條基本原理，有時(shí)，在不知道某些具體物理規(guī)律的情況下，我們可以根據(jù)對(duì)稱性

13、原理進(jìn)行分析，對(duì)問(wèn)題給出定性或半定量的結(jié)果。在下邊即將介紹空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒，在§8.2介紹空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒，在§9.4介紹時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒。3、空間平移空間平移是指對(duì)位矢作的變換，相應(yīng)的對(duì)稱性稱之為“平移對(duì)稱性”。例如，一個(gè)不帶任何標(biāo)記的無(wú)限大平面，對(duì)沿平面的任意平移具有對(duì)稱性，而當(dāng)此平面上均勻布滿方格時(shí)，則對(duì)沿平面的特定方位（如邊長(zhǎng)或?qū)蔷€方位）平移某個(gè)長(zhǎng)度的整數(shù)倍具有對(duì)稱性。7.2.2動(dòng)量守恒和空間平移對(duì)稱性在物理學(xué)中，在平直空間的條件下，我們始終承認(rèn)和應(yīng)用著另一條假定，即空間的均勻性。這就是說(shuō)，空間各處的性質(zhì)是相同的，空間各處發(fā)生的物理現(xiàn)象服

14、從相同的規(guī)律。比如說(shuō)，當(dāng)年牛頓在英國(guó)得出了牛頓第二定律，由物體受力可以計(jì)算出它的加速度，在今天的中國(guó)和世界其他各地，遵從這一規(guī)律的精確程度沒(méi)有絲毫的差異。伽利略當(dāng)年在意大利得出的自由落體規(guī)律，在世界各地都同樣適用。如果物理?xiàng)l件相同，同一物理實(shí)驗(yàn)無(wú)論放在什么地方做，都會(huì)得到相同的結(jié)果?？臻g的均勻性意味著，當(dāng)用坐標(biāo)及運(yùn)動(dòng)方程表示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)，物理規(guī)律(表現(xiàn)為運(yùn)動(dòng)方程)的形式不會(huì)改變，也就是說(shuō)，物理規(guī)律對(duì)于坐標(biāo)平移變換具有不變性。這種不變性表明，空間中的所有點(diǎn)是完全等價(jià)的，物理規(guī)律對(duì)于空間各點(diǎn)都是一樣的。考慮由一對(duì)相互作用的質(zhì)點(diǎn)、組成的系統(tǒng)，采用兩種方式改變其狀態(tài)：（1）不動(dòng)，平移至，相互作用勢(shì)能增量（反抗對(duì)的力做功），狀態(tài)由。（2）不動(dòng)，平移至，相互作用勢(shì)能增量（反抗對(duì)的力做功），狀態(tài)由，如圖7-2-2示。 圖7-2-2因?yàn)楹褪莾蓚€(gè)空間平移狀態(tài)，它們的相對(duì)位置是一樣的?？臻g均勻性，即空間平移不變性意味著，兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用勢(shì)能僅與它們的相對(duì)位置有關(guān)，與它們?cè)诳臻g的平移無(wú)關(guān)，因此有。由此可得，根據(jù)力等于動(dòng)量變化率的定義，可得兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，即體系的動(dòng)量守恒?？臻g均勻性或說(shuō)空間平移對(duì)