八年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)三角形的證明

1、八年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)三角形的證明01各個(gè)擊破命題點(diǎn)1全等三角形的性質(zhì)和判定【例1】(南充中考)已知ABN和ACM位置如圖所示，ABAC，ADAE，12.(1)求證：BDCE；(2)求證：MN.【思路點(diǎn)撥】(1)要證BDCE，可通過(guò)轉(zhuǎn)化證ABDACE，根據(jù)題意由“SAS”得證；(2)要證MN，可通過(guò)轉(zhuǎn)化證ACMABN，由(1)可知CB.因?yàn)?1，所以CAMBAN.再結(jié)合ABAC，即可根據(jù)“ASA”得證【解答】證明：(1)在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)BDCE.(2)12，1DAE2DAE，即BANCAM.由(1)，得ABDACE，BC.在ACM和ABN中，ACMABN(ASA)MN.【

2、方法歸納】證明兩條線段相等或者兩個(gè)角相等時(shí)，常用的方法是證明這兩條線段或者這兩個(gè)角所在的三角形全等當(dāng)所證的線段或者角不在兩個(gè)全等的三角形中時(shí)，可通過(guò)添加輔助線的方法構(gòu)造全等三角形1已知ABCDEF，BCEF6 cm，ABC的面積為18 cm2，則EF邊上的高的長(zhǎng)是6cm.2(衡陽(yáng)中考)如圖，在ABC中，ABAC，BDCD，DEAB，DFAC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：BEDCFD.證明：DEAB，DFAC，BEDCFD90°.ABAC，BC.在BED和CFD中，BEDCFD(AAS)命題點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)與判定【例2】(北京中考)如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，B

3、EAC于點(diǎn)E.求證：CBEBAD.【思路點(diǎn)撥】由ABAC想到ABCC，由AD是BC邊上的中線想到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，進(jìn)而得到ADBC，AD平分BAC，再結(jié)合BEAC，就可以建立角與角之間的數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題得解【解答】證明：方法1：ABAC，ABC是等腰三角形AD是BC邊上的中線，ADBC，BADCAD.CADC90°.BEAC，CBEC90°.CBECAD.CBEBAD.方法2：ABAC，ABCC.又AD是BC邊上的中線，ADBC.BADABC90°.BEAC，CBEC90°.CBEBAD.【方法歸納】本題是一道利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)的證

4、明題，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形“三線合一”靈活推導(dǎo)各角之間的數(shù)量關(guān)系3(濱州中考)如圖，ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且ACCDBDBE，A50°，則CDE的度數(shù)為(D) A50° B51° C51.5° D52.5°4已知：如圖，在ABC中，ABC，BCA的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EFBC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.寫(xiě)出圖中相等的線段，并說(shuō)明理由解：BEOE，CFOF.理由：BO平分ABC，CO平分ACB，EBOOBC，F(xiàn)COOCB.EFBC，EOBOBC，F(xiàn)OCOCB.EBOEOB，F(xiàn)OCFCO.BEOE，CFOF.命題點(diǎn)3勾

5、股定理及其逆定理的應(yīng)用【例3】如圖，在RtABC中，C90°，ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，已知AC6，BC8，求線段AD的長(zhǎng)度【思路點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)知CDDE，ACAE.在RtBDE中運(yùn)用勾股定理求出CD，進(jìn)而得出AD即可【解答】在RtABC中，由勾股定理，得AB10.由折疊的性質(zhì)知，AEAC6，DECD，AEDC90°，BEABAE1064.在RtBDE中，由勾股定理，得DE2BE2BD2，即CD242(8CD)2，解得CD3.在RtACD中，由勾股定理，得AC2CD2AD2，即6232AD2，解得AD3.【方法歸納】折疊的問(wèn)題，一定存在相等的線段

6、或角的等量關(guān)系，要充分挖掘由折疊所隱含的數(shù)量關(guān)系利用勾股定理建立等量關(guān)系列方程是一種常用的方法5下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是(B) A3，4，4 B1， C.， D3，4，76在尋找馬航MH370航班過(guò)程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A，B.接到消息后，一艘艦艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O(如圖所示)向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇同時(shí)以12海里/時(shí)的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，問(wèn)另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？解：由題意，得OB12×1.518(海里)，OA16×1.524(海里)又

7、AB30海里，182242302，即OB2OA2AB2，AOB90°.DOA40°，BOD50°.另一艘艦艇的航行方向是北偏西50°.命題點(diǎn)4線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定【例4】如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF.求證：AEAF.【思路點(diǎn)撥】由ADBC及EF垂直平分AC，由AAS證明AOECOF，得AEFC.再由EF是AC的垂直平分線，可以證明AFFC，即可得AEAF.【解答】證明：ADBC，EAOFCO，AEOCFO.EFAC，且O是AC的中點(diǎn)，AOCO，AFCF.在AO

8、E和COF中，AOECOF(AAS)AECF.AEAF.【方法歸納】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，可以得到等腰三角形，進(jìn)一步得到角相等數(shù)學(xué)知識(shí)間有很多聯(lián)系與遞進(jìn)關(guān)系很多時(shí)候，解決數(shù)學(xué)題目，只是將條件往前推一步，結(jié)論再往深處推一步7(畢節(jié)中考)如圖，等腰三角形ABC的底角為72°，腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)E，垂足為D，連接BE，則EBC的度數(shù)為36°8如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：FADFDA；(2)若B50°，求CAF的度數(shù)解：(1)證明：EF是AD的垂直平分線，AFDF.FAD

9、FDA.(2)AD平分BAC，BADDAC.FDABADB，F(xiàn)ADDACCAF，由(1)知FADFDA，BCAF.B50°，CAF50°.命題點(diǎn)5角平分線的性質(zhì)與判定【例5】(黃岡中考)已知，如圖，ABAC，BDCD，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，求證：DEDF.【思路點(diǎn)撥】連接AD，利用SSS得到ABD與ACD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到EADFAD，即AD為角平分線，再由DEAB，DFAC，利用角平分線的性質(zhì)定理即可得證【解答】證明：連接AD.在ACD和ABD中，ACDABD(SSS)EADFAD，即AD平分EAF.DEAE，DFAF，DEDF.【方法歸納】本題

10、考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的基本性質(zhì)，構(gòu)造出基本圖形，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9(1)填空：如圖1，在RtABC中，C90°，B45°，AD是ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作輔助線DEAB于點(diǎn)E，則可以得到AC，CD，AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為ABACCD；圖1圖2(2)如圖2，若將(1)中條件“在RtABC中，C90°，B45°”改為“在ABC中，C2B”請(qǐng)問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的猜想解：(1)中的結(jié)論仍然成立理由：AD是CAB的平分線，將CAB沿AD折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的

11、C處ACDACD.ACAC，CDCD，CACD2B.又ACDCDBB，CDBB.CDCB.ABACCBACCD.02整合集訓(xùn)一、選擇題(每小題3分，共24分)1(南寧中考)如圖，在ABC中，ABADDC，B70°，則C的度數(shù)為(A) A35° B40° C45° D50°2如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)已知PAB的周長(zhǎng)為14，PA4，則線段AB的長(zhǎng)度為(A) A6 B5 C4 D33用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明AOCBOC的依據(jù)是(A) ASSS BASA CAAS D角平分線上的點(diǎn)到角兩邊

12、距離相等4已知直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是2厘米，則斜邊的長(zhǎng)是(B) A2厘米 B4厘米 C6厘米 D8厘米5如圖，在ABC中，B60°，ABAC，BC3，則ABC的周長(zhǎng)為(B) A12 B9 C8 D66(宜昌中考)如圖，在方格紙中，以AB為一邊作ABP，使之與ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有(C) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)7如圖，在ABC中，C90°，12，CD1.5，BD2.5，則AC的長(zhǎng)為(C) A5 B4 C3 D28如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EFBC交AB于點(diǎn)E，

13、交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作ODAC于點(diǎn)D，下列四個(gè)結(jié)論：EFBECF；BOC90°A；點(diǎn)O到ABC各邊的距離相等；設(shè)ODm，AEAFn，則SAEFmn.其中正確的結(jié)論是(A) A B C D二、填空題(每小題4分，共24分)9(無(wú)錫中考)寫(xiě)出命題“如果ab，那么3a3b”的逆命題如果3a3b，那么ab10在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若B50°，則DAC的度數(shù)是40°11如果三角形三邊長(zhǎng)分別為6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短邊上的高為8cm.12如圖，在銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為ABC的平分線，PL與BM相交于P點(diǎn)若

14、PBC30°，ACP20°，則A的度數(shù)為70°13如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，沿著共一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)正方形的對(duì)角線裁截掉一個(gè)幾何體之后，截面ABC的面積為a214已知RtABC中，C90°，ACBC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE3，AC5，則線段EF的長(zhǎng)為1或7三、解答題(共52分)15(8分)已知：如圖，在ABC中，ABAC，D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DEBC，交線段AB于點(diǎn)F.請(qǐng)找出一組相等的線段(ABAC除外)并加以證明解：ADAF.證明如下：ABAC，BC.DEBC，BEFDEC90°.BFED.BFE

15、DFA，DFAD.AFAD.16(8分)如圖：已知等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為點(diǎn)M，求證：M是BE的中點(diǎn)證明：連接BD.三角形ABC為等邊三角形，且D是AC的中點(diǎn)，DBCABC×60°30°，ACB60°.CECD，CDEE.ACBCDEE，E30°.DBCE30°.BDED，BDE為等腰三角形又DMBC，M是BE的中點(diǎn)17(10分)如圖所示，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90°，D為AB邊上一點(diǎn)(1)求證：ACEBCD；(2)若AD5，BD12，求

16、DE的長(zhǎng)解：(1)證明：ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90°，ECDC，ACBC，ACBACDECDACD.ACEBCD.ACEBCD(SAS)(2)ACEBCD，EACB45°，AEBD12.EADEACBAC90°.在RtEAD中，DE2AE2AD212252169.DE13.18(12分)如圖，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.(1)求證：ABD是等腰三角形；(2)若A40°，求DBC的度數(shù)；(3)若AE6，CBD的周長(zhǎng)為20，求ABC的周長(zhǎng)解：(1)證明：AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，DBD

17、A.ABD是等腰三角形(2)ABD是等腰三角形，A40°，ABDA40°，ABCC(180°40°)÷270°.DBCABCABD70°40°30°.(3)AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AE6，AB2AE12，BDAD.CBD的周長(zhǎng)為20，BDCDBC20.ACBC20.ABC的周長(zhǎng)為ABACBC122032.19(14分)已知點(diǎn)O到ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OBOC.(1)如圖1，若點(diǎn)O在BC上，求證：ABAC.(2)如圖2，若點(diǎn)O在ABC內(nèi)部，求證：ABAC.(3)猜想，若點(diǎn)O在ABC的外部，ABAC成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D，OEAC于點(diǎn)E，則ODOE，ODBOEC90