初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何論證題中輔助線的添加方法

1、初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何論證題中輔助線的添加方法汶上縣白石鎮(zhèn)中學(xué) 邵華（一）輔助線的添加方法正確熟練地掌握輔助線的作法和規(guī)律，也是迅速解題的關(guān)鍵，如何準(zhǔn)確地作出需要的輔助線，簡(jiǎn)單介紹幾種方法：方法一：從已知出發(fā)作出輔助線：ABCDEFM例1已知：在ABC中，AD是BC邊的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，求證：AF=分析：題設(shè)中含有D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，由此可以聯(lián)想到三角形中與邊中點(diǎn)有密切聯(lián)系的中位線，所以，可有如下2種輔助線作法：（1）過(guò)D點(diǎn)作DNCA，交BF于N，可得N為BF中點(diǎn)，由中位線定理得DN=，再證AEFDEN，則有AF=DN，進(jìn)而有AF=（2）過(guò)D點(diǎn)作DMBF，交A

2、C于M，可得FM=CM，F(xiàn)M=AF，則有AF=DABCEFMN方法二：分析結(jié)論，作出輔助線 例2：如圖，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑，求證：AB·AC=AE·AD分析：要證AB·AC=AE·AD，需證（或），需證ABEADC（或ABDAEC），這就需要連結(jié)BE（或CE），形成所需要的三角形，同時(shí)得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得證。方法三：“兩頭湊”（即同時(shí)分析已知和結(jié)論）作出輔助線ABDCE例3：過(guò)ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E；求證：AEED=2AFFB分析：已知

3、D是BC中點(diǎn)，那么在三角形中可過(guò)中點(diǎn)作平行線得中位線；若要出現(xiàn)結(jié)論中的AEED，則應(yīng)有一條與EF平行的直線。所以，過(guò)D點(diǎn)作DMEF交AB于M，可得，再證BF=2FM即可。方法四：找出輔助線的一般規(guī)律，將對(duì)證題時(shí)能準(zhǔn)確地作出所需輔助線有很大幫助。例如：在“圓”部分就有許多規(guī)律性輔助線：（1）有弦，作“垂直于弦的直徑”ABCDEO·例4：已知，如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，求證：AC=BD分析：過(guò)O點(diǎn)作OEAB于E，則AE=BE，CE=DE，即可證得AC=BDABCDE12·O（2）有直徑，構(gòu)成直徑上的圓周角（直角）例5：已知：如圖，以ABC

4、的AC邊為直徑，作O交BC、BA于D、E兩點(diǎn)，且，求證：B=C 分析：連結(jié)AD，由于AC為直徑，則有ADBC，又，有1=2，由內(nèi)角和定理得B=C（3）見(jiàn)切線，連半徑，證垂直ABCDO123·例6：如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分DAB分析：連結(jié)OC，由于CD為切線，可知OCCD，易證：1=2，又因?yàn)?=3，所以1=3，則可得AC平分DAB（4）證切線時(shí)，“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”例7：已知，直線AB經(jīng)過(guò)O上的一點(diǎn)，并且OA=OB，CA=CB；ABCO求證：直線AB是O的切線分析：連結(jié)OC，要證AB是O的切線，需證OC

5、AB，由已知可證OACOBC，可得OCA=OCB=900，結(jié)論得證。例8：已知，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直徑，BC=CD+AB，求證：AD是O的切線分析：過(guò)O點(diǎn)作OEAD，垂足為E，要證AD是O的切線，只要證OE是O的半徑即可，ABCDO·E也就是說(shuō)需要證OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行線等分線段定理得DE=EA，進(jìn)而由梯形中位線定理得OE=，所以E點(diǎn)在O上，AD是O的切線。（二）練習(xí)1、已知： 如圖，在ABC中，ADDB，AEEC求證： DEBC，DEBC2、已知： 如圖27.3.12所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求證： EFBC，EF（ADBC）3、已知：如圖27.3.13所示,在ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求證：AE、DF互相平分。4、如圖：已知：AB為O的直徑，弦C