高導(dǎo)數(shù)的概念

1、課程信息年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題導(dǎo)數(shù)的概念編稿老師胡居化、教學(xué)目標(biāo)：(1) 理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程(2) 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單的函數(shù)y = c,y=x, y=x2,y =丄，y =、x的導(dǎo)數(shù).x、知識(shí)要點(diǎn)分析:1.導(dǎo)數(shù)的含義(i)平均變化率：設(shè)函數(shù)y二f (x)在X=X0處附近有定義，當(dāng)自變量在X = Xo處有增量x時(shí)，函數(shù)y = f(X)相應(yīng)的增量 y = f(x x0) -f(x)，則竺 叫函數(shù)y = f (x)的平 LX均變化率-(*)，厶x,.胡可正、y = f(x)當(dāng) x > xo時(shí)的注意：(1)平均變化率還可以表示為勺=f(Xi *x) -

2、 f(x1)AxAx可負(fù)，ex 0,但二y可以是零.(2)當(dāng)f (x)是常數(shù)時(shí)，平均變化率=0.Ax= f'(X0)pm0f(X0 "f(X0)(ii)導(dǎo)數(shù)定義：當(dāng).x > 0時(shí)，平均變化率的極限值叫函數(shù) 導(dǎo)數(shù).X注: (1 )導(dǎo)數(shù)是局部概念，它只與函數(shù)y = f (x)在x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與以無關(guān).(2)在定義中，設(shè)x v xy .；X = X - xo，當(dāng)=Xr 0 時(shí)，x x0，故導(dǎo)數(shù)的定義可以寫成:f (xo)=lim f(Xo切-心0)= rm f(x)-f(xo)0LXx >XoxXox駅0(3)若極限f'(x0)二 limof(XoX

3、)f(Xo)不存在，則稱函數(shù)y = f (x) 在 X = X0處不可導(dǎo).2.導(dǎo)函數(shù)：若函數(shù)開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).記作：y = f (x)=爐y = f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每x (a,b)都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f (x),從而構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)f (x),貝U函數(shù)f (x)為在f(X X)- f (x)Ax3. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是 S = s（t），則物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度是V二s'（t），若運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化率是V二v（t），則物體在t時(shí)刻的加速度是 a二V （t）.4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y二f （x）在X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意

4、義是：在X。處的導(dǎo)數(shù)是曲線y = f （x），在點(diǎn)（xo, f （x。）處的切線的斜率.曲線在P（ Xo, f （x。）處的切線方程是Iy - f（x。）= f （xo）（x -x。）.注：若函數(shù)f （x）在點(diǎn)（Xo，y。）的切線的傾斜角是 ，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，此時(shí)切線2方程是x = X。.【典型例題】考點(diǎn)一：函數(shù)的變化率及其在實(shí)際中的應(yīng)用例1.國(guó)家環(huán)?？偩衷谝?guī)定的達(dá)標(biāo)排污之前，對(duì)甲，乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，檢查的結(jié)果如圖所示，問：哪個(gè)企業(yè)治理污染的效果較好？分析：用W表示治污量，利用甲乙兩企業(yè)治理的平均治污率（平均變化率）比較治理的效 果，即平均治污率大效果就好 解：由圖知：雖然W（ t。）to

5、）但.t。）一W甲（t。一 At）t。）一 W乙（t。一也t） -/:- t. :t所以，單位時(shí)間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大即企業(yè)甲比企業(yè)乙略好 注：y二w（t。）-w（t。- t）,故mt,不能誤寫成鳳.例2.槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)看作是勻加速運(yùn)動(dòng)，若其加速度a = 5 105m/s2，槍彈從槍口中射出時(shí)所用的時(shí)間是 1.6，求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度1 s分析：由物理學(xué)知識(shí)得：運(yùn)動(dòng)方程是S = at2，由此計(jì)算出 一，槍彈射出槍口的瞬時(shí)速2 At度是當(dāng)：t > 0時(shí)竺的極限值.1 2 1 2 解，at 2分(皿)at。2 二 at°. ：t a（ ：t）2.1 2 ato：t

6、 -aC：t）2atg.：t1 . at,2當(dāng)：t > 0時(shí),S +石 >at0,523把 a =5 10 m/s ，tg -1.6 10 s代入 atg得：v = at。=800m/s ,即槍彈射出槍口的瞬時(shí)速度是800m/s.例3.路燈距離地面8米，一個(gè)身高為1. 6米的人以84m/min的速率在地面行走，從路燈在地上的射影點(diǎn)C,沿某直線離開路燈，求人影的長(zhǎng)度的變化速率D分析：設(shè)人影的長(zhǎng)度為y，根據(jù)幾何性質(zhì)求出 y=f(t)，則人影的長(zhǎng)度的變化速率是y對(duì)t的導(dǎo)數(shù).解：根據(jù)題意畫出圖形：設(shè)路燈距地平面的距離是DC人的身高是EB，假設(shè)人從點(diǎn)C走到點(diǎn)B的路程是x m，時(shí)間為t,(單位

7、：s) 人影的長(zhǎng)度為y,BE/CD= AB BE y16 ： y 二1 x,AC CDx + y 84又 84m/min=1 . 4m/s,故 x=1.4t= t ,5即 y=Zt20 ''77所以“二云，故人影長(zhǎng)度變化的速率是-m/s, 考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用例4.已知曲線C：旳仝(1) 求過曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程.(2) (1 )中的切線與曲線 C是否還有其他的公共點(diǎn)？分析：(1)由已知的曲線方程可求橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的坐標(biāo)P (1, 1),然后利用定義求在 x=1處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即點(diǎn) P處的切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程.y' = lim -=

8、lim 3x2 .x 0(X + Ax)3-X3=limlim.x 0；xx >02 23x. ：x (. ：x) = 3x 2233x . x 3x( .x)(. ：x)：x故切線的斜率k = y lx=3，即過P (1 , 1 )的切線方程是：y仁3 ( x- 1)(2)y = 3(： _1) +1把代入得:y=X3= 3x-2即有：(x -1)(x2x - 2) = 0，故 x=1 或 x = -2所以此時(shí)切線與曲線 C還有另一個(gè)公共點(diǎn)(一2， 8)例5.已知曲線f (x) = x2 1,g(x) = x3x在兩曲線交點(diǎn)處切線的夾角為求cosr的值.分析：先求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) P(

9、x0,y0)，分別再求在x = x0處的兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即兩切線的斜率，從而求出兩切線的方向向量利用向量的數(shù)量積求解解:2丄彳y =x +1由=3,y = x xx3 -x2 x _1 = 0= (x _1)(x21) = 0= x = 1 ,故兩曲線的交點(diǎn)為 P (1, 2)f'(1r2(1：X)21 _2zx切線 I ! : y - 2 = 2(x -1) = y = 2x ,(1 Lx)3 V 二X -(11)x=4,(2)由切線方程與曲線方程組成方程組可求解:(1)由曲線C的方程：y = x3，把x=1代入得切點(diǎn)p( 1, 1)的坐標(biāo)即切線 l2 ： y-2 = 4(x-1) =

10、 y=4x-2,所以切線h的方向向量a =(1,2),切線J的方向向量b= (1,4),9、8585則 cosH 二 9| a | |b|15J17【本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法】：本講主要講述函數(shù)的變化率的概念、 導(dǎo)數(shù)的含義、幾何意義及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用， 在應(yīng)用這 些知識(shí)的過程中充分現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想(例 5)方程的數(shù)學(xué)思想(例 4、例5)等數(shù) 學(xué)思想的應(yīng)用【模擬試題】(答題時(shí)間：100分鐘)、填空題(本題共10小題，每題6分，共60分)1 2 21 物體自由落體運(yùn)動(dòng)的方程是h gt2,g =9.8m/s2,在3,3 厶x這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是.2某物體做勻速運(yùn)動(dòng)的方程是s二vt b，則該物體在

11、運(yùn)動(dòng)過程中其平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度的關(guān)系是 .3.函數(shù)y =2x2十1在xo到x°+Ax之間的平均變化率 .廣 23t +2,（0 蘭t <3）一4 .物體運(yùn)動(dòng)的方程是s =2則物體在t=4時(shí)瞬時(shí)速度是29 +3（t _3） ,（t 啟 3）5.函數(shù)f （x）在X。處可導(dǎo)，則limof（X。 ：x） f（X。）6. 函數(shù)y = 1在點(diǎn)（1 ,2）處的切線的斜率是 .x27. 設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)（1, a）處 的切線與直線2x y 6=0平行，則a=1 23&已知曲線y = X2 2上一點(diǎn)P（1-）,則過點(diǎn)P的切線的傾斜角是.2 29.若 函 數(shù)f（x）在x二a處

12、的導(dǎo)數(shù)是A,則lim f（a+x） f（ax）_&m）2 也x=.3210.直線L ：=x+a,（a不等于零）和曲線C: y = x -x +1相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)是 .二、計(jì)算題（本題共3小題，共40分）11. 已知函數(shù)f（X）二X21 ,（1 ）利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f' （1）;（2）求過 P（1, 2） 點(diǎn)的切線方程.（13分）f （a + 4t） f （a 十 5t）12. 若函數(shù)f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)是 A,求 慎；（12分）3313. 曲線y=x在點(diǎn)（a, a）,（a=0）處的切線與x軸、直線x=a所圍成的三角形的面1積是丄，求a的值.（15分）6你熱愛主佈嗎？那么別

13、浪費(fèi)時(shí)間 > 因?yàn)闀r(shí)間是蛆咸生7/命的材料-富蘭克林【試題答案】、填空題（本題共10小題，每題6分,1. 4.9 （6 Lt）解析：.：h =丄（3：t）2 Zg 32共60分）1g（6 二t）二t2故平均速度Ahv 二.：t= 4.9（6：t）.2 22 相等解析：s（號(hào)-s（to ）v（t0 ： =t）-v（t0） V ：tAt- At=V，當(dāng)也t T 0 時(shí),v0 = V 3. 4x0，2=x,解析：函數(shù)的平均變化率逍 2（X0：x）2 1 -（2x 1）X _4x02x4. 6解析：當(dāng)t=4時(shí)，二§At2 229 3（4 譏 - 3） - 293（4 - 3）：t當(dāng)At

14、 > 0時(shí),5 f （Xo）原式?jīng)_0倔一小似）f（X。- ：x） - f（x。）=-lim二- f（Xo）6. 41 1XX故切線的斜率k= y' |解析：y二叭=lim.X 0_1X2 XX1 一 -4-X =27. a=1解析：切線在X=1處的斜率k= lim02a（1：x）-a 12=2ax 2a=2，即 a=1& 45°解析：設(shè)過P點(diǎn)的切線的傾斜角為-1 2 一 （1歆）22則 tan v - k 二 lim-3012-2- 12 -2 2 =1.x9. A解析:lim 住-心）”,.Hm x ）0；X' 上 0f （a - ：x） - f（a）

15、 _ Af (a；x) - f (a -, ；x)f(a ： _x)-f(a) f (a)f (a：x)Sim f(a：x)-f(a)2 -x Qxf (a) - f (a - . ：x)Ax)=A.1 23、10. （1, 1）或（-，）3 27解析：設(shè)直線L與曲線切于P（x0,y0）f（X。：x） f（X。）Z3232lim (x° +Ax) -(x° +Ax) +1-(x°-x°+1) 爐0：x=嘰2 2(3x0lx-2x0lx (3x0 -1)( = x)x(Ax)32=lim0 3x0-2X0 (3x0 -1). x C x)2=3x2 -2x

16、021由題意知：k=1,故 3x0 '2x0 =1= x0 = 1 或x0 :3故切點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1)或1 233 27二、計(jì)算題（本題共3小題，共40分）11 .解：(1) f (1) = lim。f(1"(1)=lim121=lim.x_0( i(1：x)2 1 - .2)( ., (1：x)21、2)：x( i (1 x)21#2)2(1：x) 12=limx Q % ,. (1 ，x)2 12)x " . (1x)2 T 222/(2)易知：P(1, 2)在曲線 y = . x2 1，切線方程為 y - 2 = 2 (x - 1)12.解：原式=ltim f(a+4t)-f(a)7a)-f(a+5t)tf(a+4t) f(a) f(a+5